而求出v的大小和方向．

(2)撤掉磁场后小球再次穿过P点所在直线，说明在竖直方向上位移为0.

[解析] (1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，则qvB＝qE＋mg①

22

22

代入数据解得v＝20 m/s②

速度v的方向斜向右上方，与电场E的方向之间的夹角θ满足 tan θ＝③

代入数据解得tan θ＝3，θ＝60°.④

(2)法一：撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有

qEmgq2E2＋m2g2

a＝⑤

m设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt⑥ 12

设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有y＝at⑦

2

ya与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又tan θ＝⑧

x联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t＝23 s≈3.5 s．

法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsin θ⑤

12

若使小球再次经过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有vyt－gt＝0

2⑥

联立④⑤⑥式，代入数据解得t＝23 s≈3.5 s．⑦ [答案] 见解析 易错展示

(1)小球v的方向原来未知，可先通过判断洛伦兹力来解决问题． (2)撤去磁场后小球做的是类平抛运动.

[对点演练]——练类题 提素养

(2020·安徽合肥一检)(多选)如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相

- 13 -

互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度大小为E＝

2mg，磁感应强度大小为B.一质量为m、

q电荷量为q的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ.现使圆环以初速度v0向下运动，经时间t0，圆环回到出发点．若圆环回到出发点之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g.则下列说法中正确的是( )

A．环经过时间刚好到达最低点

2B．环的最大加速度为am＝g＋

t0

μqv0B m22

mg?1?2

C．环在t0时间内损失的机械能为m?v0－222?

μqB?2?

D．环下降过程和上升过程系统因摩擦产生的内能相等

解析：BC [圆环下降时Eq－mg＋μBqv＝ma1，圆环下降的加速度大小为a1＝g＋圆环上升时Eq－mg－μBqv＝ma2，上升的加速度大小为a2＝g－μBqv，mμBqv，下降过程的平均加速m度大小大于上升过程的平均加速度大小，所以下降的时间小于上升的时间，A错误；圆环的最大加速度为am＝g＋

μBqv0

，B正确；圆环在回到出发点前已经开始做匀速直线运动，其速度mm2g2?mg12121?2

为v1＝，故圆环在运动过程中损失的机械能为Q＝mv0－mv1＝m?v0－222?，C正确；

μBq?μBq222?

圆环在下降过程中受到的平均摩擦力大小大于上升回到出发点过程中受到的平均摩擦力的大小，所以圆环在下降过程中损失的机械能大于上升回到出发点过程中损失的机械能，D错误．]

[题组一] 带电粒子在组合场中的运动

1．(2019·广西桂林、百色和崇左市第三次联考)(多选)如图所示，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．在该平面有一个质量为m、带正电q的粒子以初速度v0垂直x轴，从x轴上的P点进入匀强电场，恰好与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间恰好垂直于x轴进入下面的磁场，已知OP之间的距离为d，不计粒子重力，则( )

- 14 -

A．磁感应强度B＝

2mv0

4qdmv20

B．电场强度E＝ 2qd72πdC．自进入磁场至在磁场中第二次经过x轴所用时间为t＝

2v07πdD．自进入磁场至在磁场中第二次经过x轴所用时间为t＝

2v0解析：BD [粒子的轨迹如图所示：

带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，由题得知，出电场时，vx＝vy＝v0，根据：x＝t，y＝vyt＝v0t，得y＝2x＝2d，出电场时与y轴交

2点坐标为(0,2d)，设粒子在磁场中运动的半径为R，则有Rsin(180°－β)＝y＝2d，而β＝135°，解得：R＝22d，粒子在磁场中运动的速度为：v＝2v0，根据R＝，解得：B＝，qB2qdvxmvmv0

qEvxmv20

故A错误；根据vx＝at＝t＝v0，x＝t，联立解得：E＝，故B正确；在第一象限运动

m22qd135°3πd12πd时间为：t1＝T＝，在第四象限运动时间为：t2＝T＝，所以自进入磁场至在磁

360°2v02v07πd场中第二次经过x轴所用时间为：t＝t1＋t2＝，故D正确，C错误．]

2v0

2.(2019·百校联盟押题卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy的x轴上方存在着垂直坐标平面向里的匀强磁场，x轴下方存在着沿x轴正方向的匀强电场．一带正电粒子从y轴上的

A点以初速度v0出发，射入匀强磁场，经磁场偏转后恰好经x轴上的C点垂直x轴进入匀强电

场，一段时间后到达y轴上的D点．已知OC＝＝＝，不计粒子的重力．

222

OAODl - 15 -

(1)求粒子到达D点时的速度大小．

(2)求匀强磁场的磁感应强度大小B与匀强电场的电场强度大小E的比值．

(3)若撤去原来的匀强电场，然后在x轴下方添加一圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小是x轴上方匀强磁场磁感应强度大小的2倍，使带电粒子经过该磁场偏转后刚好也能够通过D点且速度与y轴负方向成θ＝60°角，试计算该圆形匀强磁场区域的最小面积．

解析：(1)由题意可知，粒子到达C点时的速度大小仍为v0，粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子到达D点所用时间为t，沿x轴方向的分速度的大小为vx，则有

lvxl＝v0t，＝t

2

2

以上两式联立可解得vx＝v0

所以粒子到达D点时的速度大小为vD＝2v0

(2)如图甲所示，设粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为R，则由几何关系有l＋?R－??2?

2

2

?

l?＝R2

5

解得R＝l

4

v20

又因为qv0B＝m R4mv0

所以B＝ 5ql在匀强电场中有vx＝· 2mv0B4

代入数据可得E＝，故＝

qlE5v0

qElmv0

- 16 -