2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）

1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（ ）

A． B． D．

2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）

A．2π B．4π C．2 D．4

3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（ ） A．4

B．5

C．6

D．8

4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ） A．15

B．20

C．25

D．30

5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45° ，∠C=30°，则AB=（ ）A．

二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）

6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是 ．

7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为 ．

8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两

B．2

C．3

D．6

点，且=m，=n，则+= ．

9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数

的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部

及其边界上的整点个数有 个．

10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= ．

），

11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分

别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 ．

三、简答题（共4小题，满分50分）

12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．

请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级

内环 中环 外环

（1）班 （2）班 （3）班

13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．

2

（1）确定a，b，b﹣4ac的符号，简述理由．

（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3抛物线的解析式．

，求

14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE． 求证： （1）AB=AF；

（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．

15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．

（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；

（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；

（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．