2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷含答案 下载本文

2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷

一、选择题(共5小题,每题4分,满分20分)

1.(4分)下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+()2+2﹣1的结果相同的是( )

A. B. D.

2.(4分)如图,∠ACB=60°,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为( )

A.2π B.4π C.2 D.4

3.(4分)如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积,那么整数p的值可取多少个( ) A.4

B.5

C.6

D.8

4.(4分)小明、小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多多少道( ) A.15

B.20

C.25

D.30

5.(4分)已知BD是△ABC的中线,AC=6,且∠ADB=45° ,∠C=30°,则AB=( )A.

二、填空题(共6题,每小题5分,满分30分)

6.(5分)满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是 .

7.(5分)已知三个非负实数a,b,c满足:3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1,若m=3a+b﹣7c,则m的最小值为 .

8.(5分)如图所示,设M是△ABC的重心,过M的直线分别交边AB,AC于P,Q两

B.2

C.3

D.6

点,且=m,=n,则+= .

9.(5分)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数

的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部

及其边界上的整点个数有 个.

10.(5分)如图所示:在平面直角坐标系中,△OCB的外接圆与y轴交于A(0,∠OCB=60°,∠COB=45°,则OC= .

),

11.(5分)如图所示:两个同心圆,半径分别是和,矩形ABCD边AB,CD分

别为两圆的弦,当矩形ABCD面积取最大值时,矩形ABCD的周长是 .

三、简答题(共4小题,满分50分)

12.(12分)九年级(1)、(2)、(3)班各派4名代表参加射击比赛,每队每人打两枪,射中内环得50分,射中中环得35分,射中外环得25分,脱靶得0分.统计比赛结果,(1)班8枪全中,(2)班1枪脱靶,(3)班2枪脱靶,但三个班的积分完全相同,都是255分.

请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由: 班级

内环 中环 外环

(1)班 (2)班 (3)班

13.(12分)设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下,顶点落在第二象限.

2

(1)确定a,b,b﹣4ac的符号,简述理由.

(2)若此二次函数图象经过原点,且顶点在直线x+y=0上,顶点与原点的距离为3抛物线的解析式.

,求

14.(12分)如图,四边形ABCD为圆内接四边形,对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F,且∠CAD=60°,DC=DE. 求证: (1)AB=AF;

(2)A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心).

15.(14分)在平面直角坐标中,边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N(如图1).

(1)求边AB在旋转过程中所扫过的面积;

(2)设△MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?请证明你的结论;

(3)设MN=m,当m为何值时△OMN的面积最小,最小值是多少?并直接写出此时△BMN内切圆的半径.