高考复习——数学

不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cn种，依分类原理有

1mCm?n?Cmn?Cn?1.

m?排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是―排成一排‖，后者是―并成一组‖，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式 012nCn?Cn?Cn???n?2 n024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cm?C?C?C?Cnm?1m?2m?nm?n?1k?1kCkn?nCn?1

11?1Ck?Cknn?1k?1n?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

123n1n?111?????1???） （利用2!3!4!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!n!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m?1mC3?C4?C5??Cn?Cn?1. v. 递推法（即用Cmn?Cn?Cn?1递推）如：

33334vi. 构造二项式. 如：(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n

证明：这里构造二项式(x?1)n(1?x)n?(1?x)2n其中xn的系数，左边为

01n?12n?2n00212n2?C2n Cn?Cnn?Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)，而右边

0212n2nn四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们―局部‖的排列.它主要用于解决―元素相邻问题‖，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m?n)?m?1mn?m?1m个元素必相邻的排列有Ann?m?1?Am个.其中An?m?1是一个―整体排列‖，而Am则是―局部排列‖.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An. ?An?11?A2?12. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有Ann?1?A22?1. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An?Ann?1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，2有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决―元素不相邻问题‖.

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?mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插空法），n?m?An?m?1当n – m+1≥m, 即m≤n?1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用―先特殊后一般‖的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m?n)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

m解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）Ann/Am.

nnCkn?C(k?1)nn?CnAnnAmm种排列方法.

⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

Akk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有4?3（平均分组就用不着管

2!组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有An?m?An?m?1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤n?1时有意义.

n?mmm2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式，故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组

3数等于插隔板的方法数C11.

注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi?1，有

x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化为求a的正整数解的个数为CA?n .

n?1⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有

?rArrAkn?r.

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一

位置上，共有多少种排法？

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?1m1m?1固定在某一位置上：Am不在某一位置上：An?An?1或An?（一类是不取出特殊元素a，n?1；1?Am?1?An?1mm?1有

mAn?1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用

插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C

k?rkrk?r后A策略，排列CrrCn?rAk；组合CrCn?r.

ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C

k后A策略，排列Cn?rkAkk；组合Cn?r.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某

sk?ssk?skCCCAr个元素中的s个元素。先C后A策略，排列rn?rk；组合rCn?r.

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨―小集团‖排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak. rk244例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10C8C4/A22?1575.若分成六组，各组1122224人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C10C9C8C6C4C2/A22?A4

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为

A?Amm233例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10?C8?C55?A3种.

若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C10C8C5?A3种 ③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为

m. A/Arr?Am2343244C10C8C43?A3 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为2A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间

m2m1mkCA?C顺序，不管是否分尽，其分法种数为nn-m1…Cn-(m1?m2?...?mk-1)

235例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C10C8C5?2520若从10人中选出6人分成

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3三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C7?12600.

五、二项式定理.

0n01n?1rn?rrn0n1. ?二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.

展开式具有以下特点： ① 项数：共有n?1项；

012r② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.

（a?b)n展开式中的第r?1项为：Tr?1?Cnarn?rrb(0?r?n,r?Z).

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项―等距离‖的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．nI. 当n是偶数时，中间项是第?1项，它的二项式系数C2n最大；

2n?1n?1II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第?1项，它们的二项式系数C22③系数和：

01nCn?Cn???Cnn?202413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1n?1n?12?C2最大. nnn

附：一般来说(ax?by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当．．．．．．．．．．．

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak为Tk?1的系数或系数的绝对值）的办法a?1或b?1时，一般采用解不等式组?A?AA?Ak?1k?1?k?k来求解.

?如何来求(a?b?c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把

r先找出含有Cr的项Cn另一方面在(a?b)n?r中含有bq(a?b?c)n?[(a?b)?c]n视为二项式，(a?b)n?rCr，pqrnqn?r?qqqpq的项为Cn?rab?Cn?rab，故在(a?b?c)中含abc的项为CnCn?rabc.其系数为

rqpqrrCnCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr.

r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1?a)n?1?na，因为这时展开式的后面部分

2233nnCna?Cna???Cna很小，可以忽略不计。类似地，有(1?a)n?1?na但使用这两个公式时应注意a的

条件，以及对计算精确度的要求.

高中数学第十一章-概率

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