（3）如图4，点E，F在正方形ABCD的对角线BD上，∠EAF=45°，若BE=2，DF=1，请直接写出

EF的长．

【考点】四边形综合题．

△ADF，∠BAG=∠DAF，【分析】（1）在BE上截取BG=DF，连接AG；先由SAS证明△ABG≌得出AG=AF，△AEF，得出EG=EF，即可得出结论；（2）在CD上截再证出∠EAG=∠EAF，由SAS证明△AEG≌

△ADG，取DG=BE，连接AG；先由SAS证明△ABE≌得出∠EAB=∠GAD，AE=AG，再证出∠GAF=∠EAF，△AGF，得出EF=GF，即可得出结论； 由SAS证明△AEF≌

（3）作BM⊥BD，并在BM上截取BG=DF=1，连接AG、EG；先由勾股定理求出EG，求出∠ABG=∠ADF，△ADF，得出AG=AF，∠BAG=∠DAF，证出∠EAG=∠EAF，证明△AEG≌△AEF，由SAS证明△ABG≌得出EF=EG即可．

【解答】（1）解：BE=DF+EF；理由如下： 在BE上截取BG=DF，连接AG；如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=∠ADF=90°，

在△ABG和△ADF中，，

∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG=AF，∠BAG=∠DAF， ∴∠GAF=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAG=45°， ∴∠EAG=∠EAF，

在△AEG和△AEF中，，

∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF， ∴EG+BG=EF+DF， 即BE=EF+DF；

（2）解：DF=EF+BE；理由如下：

在CD上截取DG=BE，连接AG；如图3所示： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABE=90°， 在△ABE和△ADG

中，△ADG（SAS）， ，∴△ABE≌

∴∠EAB=∠GAD，AE=AG，

∴∠EAG=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠GAF=45°，

∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=GF， ∵DF=GF+GD， ∴DF=EF+BE； （3）解：EF的长为

，理由如下：

作BM⊥BD，并在BM上截取BG=DF=1，连接AG、EG；如图4所示： 则∠EBG=90°， ∴EG=

=

=

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADF=45°， ∴∠ABG=45°， ∴∠ABG=∠ADF，

在△ABG和△ADF中，，

∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG=AF，∠BAG=∠DAF， ∴∠GAF=90°，

∵∠EAF=45°， ∴∠EAG=45°， ∴∠EAG=∠EAF，

在△AEG和△AEF中，，

∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF， ∴EF=

．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强；每小题都需要通过作辅助线证明两次三角形全等才能得出结论．