§5.3 三角函数的图象与性质
最新考纲 考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质． 2.了解三角函数的周期性. 单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
?π?(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，?，1?，(π，0)，
?2??3π，－1?，(2π，0)．
?2???
?π?(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，?，0?，(π，－
?2?
1)，?
?3π，0?，(2π，1)．
?
?2?
函数 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性
R [－1,1] 2π 偶函数 错误! R π 奇函数 R [－1,1] 2π 奇函数 1
递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 方程
概念方法微思考
错误! 错误! (kπ，0) π2[2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] ?kπ－π，kπ＋π? ?22???无 ?kπ＋π，0? ??2??x＝kπ ?kπ，0? ?2???无 x＝kπ＋ 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ π
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
2(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．( × )
π2π?π2π?(2)由sin?＋?＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．( × )
3?63?6(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin|x|是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编
π??2．[P35例2]函数f(x)＝cos?2x＋?的最小正周期是________．
4??答案 π
π???π?3．[P46A组T2]y＝3sin?2x－?在区间?0，?上的值域是________． 6?2???
?3?答案 ?－，3?
?2?
π?π5π??π?解析 当x∈?0，?时，2x－∈?－，?，
2?6?6?6?
2
sin???2x－π6???∈??1?－2，1???， 故3sin??π?2x－6???∈???－32，3???，
即y＝3sin??π?2x－6???的值域为???－32，3???
.
4．[P47B组T2]函数y＝－tan??3π?2x－4???的单调递减区间为________________．
答案 ?
?π?8
＋kπ2，5π8＋kπ2???(k∈Z)
解析 由－π2＋kπ<2x－3π4<π
2＋kπ(k∈Z)，
得π8＋kπ2 2 (k∈Z)， 所以y＝－tan??3π? 2x－4???的单调递减区间为 ??π＋kπ，5π?828＋kπ2??? (k∈Z)． 题组三 易错自纠 5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝π 3对称的是( ) A．y＝2sin??π? 2x＋3??? B．y＝2sin??π?2x－6??? C．y＝2sin??x?2＋π3??? D．y＝2sin??? 2x－π3??? 答案 B 解析 函数y＝2sin??π? 2x－6??2π?的最小正周期T＝2＝π， 又sin??? 2×π3－π6???＝1， ∴函数y＝2sin??π?2x－?π6??的图象关于直线x＝3对称． 6．函数f(x)＝4sin? ?π?3－2x?? ? 的单调递减区间是______________________． 答案 ??π5?kπ－12，kπ＋12π???(k∈Z) 解析 f(x)＝4sin??π?3－2x???＝－4sin??π?2x－3???. 所以要求f(x)的单调递减区间， 3 π??只需求y＝4sin?2x－?的单调递增区间． 3??πππ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得 232π5 －＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)． 1212所以函数f(x)的单调递减区间是 ?－π＋kπ，5π＋kπ?(k∈Z)． ?12?12?? 7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________． 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°＝cos22°， 又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数， ∴sin68°>cos23°>cos97°. 题型一 三角函数的定义域 π??1．函数f(x)＝－2tan?2x＋?的定义域是( ) 6?? ???π A.?x?x≠ 6??? ???π B.?x?x≠－12??? ??? ?? ??? ?? ???π C.?x?x≠kπ＋?k∈Z? 6??? ???kππ D.?x?x≠＋?k∈Z? 26??? ??? ????? ?? 答案 D ππkππ 解析 由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D. 62262．函数y＝sinx－cosx的定义域为________． π5π??答案 ?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z) 44 ?? 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示． 4