（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）； （2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望． 【答案】（1）
，
；（2）
【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先
，再求
学期望．
详解：（1）根据题意，计算平均数为
；
（2）依题意
，
；
因为所以
.
,最后求的数
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的
关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出用二项分布性质简洁地计算出19. 如图，现以
是边长为6的正方形，已知
重合，记
. ，且
，其二是灵活利
并与对角线交于，
为折痕将正方形折起，且重合后记为，重合后记为.
（1）求证：面（2）求面
与面
面；
所成二面角的余弦值.
中点，连，取
中点,连
为轴，. 中点,连
，则
，易得
，再证明
面
，再证
【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取明面
面
.（2）以与与面
垂直的直线为轴，为轴建立坐标系，利用向
量法求得面所成二面角的余弦值为
.再取
详解：取中点，连，则，
于是，四边形那么
面
为平行四边形，得，又
面
，故面
,从而
面
.
，
（2）以与则,设面
垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，,
的法向量
，取
，得
.
， ，
,由，得：
所以面的法向量
的法向量
同理可得：面
则，
所以面与面所成二面角的余弦值为.
点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种， 方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量
；再代入公式
（其中
分别
是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号） 20. 已知
为椭圆
上三个不同的点，为坐标原点．
（1）若请说明理由； （2）若【答案】（1）
，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，
，求；（2）
的面积.
【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线
恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入详解：（1）设直线
设
，
，代入
得：
得，最后计算
的面积.
则；
由因为所以化简得：
，
,
得：
于是原点到的距离
特别地，当故存在圆（2）设
轴时，与直线，则
也符合， 恒相切.
代入得，，
于是
所以.
点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据
得到
，其二是化简
.