第二章 圆锥曲线与方程
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离
2516
为( )
A．2 B．3 C．5 D．7
解析：选D.设另一个焦点为F，由椭圆定义知3＋|PF|＝10，∴|PF|＝7.
2
2．抛物线y＝－x的焦点坐标为( )
11
A．(0，－) B．(－，0)
8411
C．(0，－) D．(0，－)
42
12
解析：选C.方程化为标准形式为x＝－y，故其焦点坐标为(0，－)．
4
22
3．双曲线x－y＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) 12A. B. 22C．1 D.2
22
解析：选B.双曲线x－y＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y＝±x，∴x±y＝0，
|±1±0|2
∴顶点到渐近线的距离为d＝＝.
224．已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－4y－5＝0相切，则p的值为( )
A．10 B．6 11C. D. 824
1222
解析：选C.抛物线方程可化为x＝y(p>0)，由于圆x＋(y－2)＝9与抛物线的准线y2p111＝－相切，∴3－2＝，∴p＝.
8p8p8
5．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )
5
A．y＝±2x B．y＝±x
2
1
C．y＝±x D．y＝±6x
2解析：选C.由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
2
2
2
x2y2
abc2bb1e＝2＝1＋()2＝5，∴＝2，故渐近线方程为y＝±x.
aaa2
22
6．若直线l过点(3，0)与双曲线4x－9y＝36只有一个公共点，则这样的直线有( )
2
A．1条
B．2条
1
C．3条 D．4条
解析：选C.双曲线方程可化为－＝1，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求的
94
直线l有3条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行)．
7．已知定直线l与平面α成60°角，点P是平面α内的一动点，且点P到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆
解析：选D.以l为轴底面半径为3的圆柱被与l成60°的平面α所截，截线为椭圆． 8．设P为双曲线x－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝5∶
3
3，则△PF1F2的面积是( )
A．42 B．6 C．7 D．8
|PF1|5
解析：选B.a＝1，c＝2，|PF1|－|PF2|＝2①，＝，②
|PF2|3
由①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝4， ∴∠PF2F1＝90°，
11
故S△PF1F2＝|PF2||F1F2|＝×3×4＝6.
22
2
9．已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
17A. B．3
2
9
C.5 D.
2
1
解析：选A.如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦
2
点的距离|PF|.因此点P到点M(0，2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点M(0，
?1?2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0，2)到点F?，0?的距离，则距离之?2?和的最小值为
1174＋＝. 42
2
x2
y2
y2
10．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b，4b]，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
32
A．[，] 32
C．[53
，] 32
xa2
yb2
2
2
B．[2533，] D．[，] 2332
解析：选B.由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行x轴，y轴，设矩形在第一象
2
限的顶点坐标为(x，y)(x>0，y>0)，
xyx2y2
S矩形＝4xy＝2ab(2·)≤2ab(2＋2)＝2ab∈[3b2，4b2]，
abab2
1b22cb2535322
∴3b≤2ab≤4b，即≤≤，e＝2＝1－()∈[，]，故e∈[，]．
2a3aa9432
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
x2y2
11．椭圆2＋＝1的一个焦点为(0，1)，则m＝________．
m3－m22222222
解析：由题意a＝3－m，b＝m，又c＝1，∴1＝a－b＝3－m－m，即m＋m－2＝0，
2
∴m＝－2或m＝1，均满足3－m>m.
答案：－2或1
12．如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为________．
解析：对椭圆，离心率越小，椭圆越圆，∴0 对双曲线，离心率越大，张口越大，∴1 13．在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是________． 解析：由题意＝5，p＝10，故焦点为(5，0)的抛物线的标准方程为y＝20x. 22 答案：y＝20x p2 x2y2222 14．若椭圆2＋2＝1过抛物线y＝8x的焦点，且与双曲线x－y＝1有相同的焦点， ab则该椭圆的方程为________． 2 解析：y＝8x的焦点为(2，0)，∴a＝2.又双曲线的焦点为(±2，0)， ∴c＝2，∴b＝a－c＝4－2＝2，椭圆方程为＋＝1. 42 答案：＋＝1 42 2 15．抛物线y＝2x上距点M(m，0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m的取值范围是________． 22222 解析：设P(x，y)为抛物线上任一点，则|PM|＝(x－m)＋y＝x－2(m－1)x＋m 2 ＝[x－(m－1)]＋2m－1. ∵m>0，∴m－1>－1. 由于x≥0，且由题意知当x＝0时，|PM|最小． 则对称轴x＝m－1应满足－1 三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分．求椭圆的标准方程及其离心率． 2 2 2 x2y2 x2y2 x2y2 解：设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意知：2a＝18，2a＝6c，所以解得a＝9， abx2y2c31222 c＝3，故b＝a－c＝72，所以椭圆C的方程是＋＝1，离心率e＝＝＝. 8172a93 22 17．(本小题满分10分)k代表实数，讨论方程kx＋2y－8＝0所表示的曲线． 3 解：当k<0时，曲线－＝1为焦点在y轴上的双曲线； 48 － y2x2 k当k＝0时，曲线2y－8＝0为两条平行于x轴的直线y＝2或y＝－2； 当0 84 2 x2y2 k22 当k＝2时，曲线x＋y＝4为一个圆； y2x2 当k>2时，曲线＋＝1为焦点在y轴上的椭圆． 4 8 k18．(本小题满分10分)已知抛物线y＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点． (1)求证：OA⊥OB； (2)当△OAB的面积等于10时，求k的值． 解： 2 消去x后，整理，得ky＋y－k＝0. ?y＝k（x＋1）? 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1·y2＝－1. 2 ∵A，B在抛物线y＝－x上， 2222 ∴y1＝－x1，y2＝－x2.∴y1·y2＝x1x2. y1y2y1y21 ∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1， (1)证明：如图所示，由方程组? ?y＝－x，? 2 2 x1x2x1x2y1y2 ∴OA⊥OB. (2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0. 令y＝0，则x＝－1，即N(－1，0)． ∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN 11 ＝|ON||y1|＋|ON||y2| 221 ＝|ON|·|y1－y2|， 2 12 ∴S△OAB＝·1·（y1＋y2）－4y1y2 21＝ 2 ?－1?＋4. ?k??? 2 ∵S△OAB＝10， 11 ∴10＝ ＋4， 2k21 解得k＝±. 6 22 19．(本小题满分12分)已知：双曲线x－2y＝2的左、右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求：动点P的轨迹E的方程； (2)若M是曲线E上的一个动点，求|MF2|的最小值．并说明理由． 解：(1)F1(－3，0)，F2(3，0)， 4 且|PF1|＋|PF2|＝4>23， ∴P点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 且a＝2，c＝3，从而b＝1.∴动点P的轨迹方程为＋y＝1. 4(2)设M(x，y)，则|MF2|＝（x－3）＋y， ∵＋y＝1，∴y＝1－，∴|MF2|＝44∵M∈E，∴x∈[－2，2]， 3 ∴|MF2|＝2－x，x∈[－2，2]． 2 显然|MF2|在[－2，2]上为减函数， ∴|MF2|有最小值2－3. 2 2 x2 2 x2 22 x2 32 x－23x＋4＝4 （ 3?3?x－2）2＝?x－2?. 2?2? x2y2 20．(本小题满分13分)如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，Aab是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值． 1 解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. 2 2222 (2)法一：a＝4c，b＝3c， 直线AB的方程为y＝－3(x－c)， 33??8222 将其代入椭圆方程3x＋4y＝12c，得B?c，－c?， 5??5 ?8?16 所以|AB|＝1＋3·?c－0?＝c. ?5?511163232 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a＝403， 22525 解得a＝10，b＝53. 法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 8222 再由余弦定理(3a－t)＝a＋t－2atcos 60°可得，t＝a. 518323 由S△AF1B＝2a·5a·2＝5a2＝403知，a＝10，b＝53. 5