当a?0时，f'?x??ex?a在?0,???单调递增， xf'?a??ea?1?0，x?0时f'?x??-?，

∴存在唯一正数x0，使得f'?x0??0，

……………3分

函数f?x?在?0,x0?单调递减，在?x0,???单调递增， ∴函数f?x?有唯一极小值点x0，没有极大值点，

∴当a?0时，f?x?有唯一极小值点，没有极大值点． ……………5分

（2）由（1）知，当a?0时，f?x?有唯一极小值点x0，

∴f?x?min?f?x0??ex0?alnx0，f?x??0恒成立?f?x0??0 ∵

?1?aa?alnx0?a??lnx0??0， ?ex0，∴f?x0??x0x0?x0?∴

1?lnx0?0． ……………6分

x0令h?x??1?lnx，则h?x?在?0,???单调递减， x11?ln1.74?0，h?1.8???ln1.8?0， 1.741.8由于h?1.74??∴存在唯一正数m??1.74,1.8?，使得h?m??0，从而x0??0,m?．……8分

由于f?x0??ex0?alnx0?0恒成立，

①当x0??0,1?时，f?x0??ex0?alnx0?0成立； ex0②当x0??1,m?时，由于e?alnx0?0，∴a?．

lnx0x01?x?elnx???exx???0， 令g?x??，当x??1,m?时，g??x??2lnx?lnx?ex∴g?x??在?1,m?单调递减，从而a?g?m?．

lnx永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案 第 5 页 （共 7页）

e1.74∵g?m??g?1.74?，且g?1.74???10.3，且a?N?，

ln1.74∴a?10． ……………10分

下面证明a?10时，f?x??ex?10lnx?0．

10，且f??x?在?0,???单调递增，由于f'?1.74??0，f'?1.8??0， x10∴存在唯一x0??1.74,1.8?，使得f'?x0??ex0??0，

x0f??x??ex?∴f?x?min?f?x0??ex0?10lnx0?令u?x??10(x0?101?10?ln10?x0??10(x0??ln10)． x0x01 ?ln10)，x??1.74,1.8?，易知u?x?在?1.74,1.8?单调递增，

x0∴u?x??u?1.74??10(1.74?∴f?x?min?f?x0??10(x0?1?ln10)?10?2.31?2.303??0， 1.741即a?10时，f?x??ex?10lnx?0． ?ln10)?0，

x0 22．（本小题满分10分）

2解：（1）曲线C的极坐标方程可化为?（cos2??2sin2?）=2 ……………………2分

将?cos??x,?sin??y 代入上式得x2+2y2?2，

x22所以曲线C的直角坐标方程为+y?1. ………………………………5分

2（2）将直线l的参数方程代入x2+2y2?2得

∴a的最大值是10． ……………12分

315t?m)2?2?(t)2?2 ，化简得t2?3mt?m2?2?0 ； ………6分 2245由??(3m)2?4??(m2?2)??2m2?10?0，得?5?m?5 ；

4434t1?t2??m,t1?t2?(m2?2)， ………………………8分

5532323222AB?t1?t2=(t1?t2)2?4t1?t2??m2= ，

52525所以m??2. ………………………………10分

23. （本小题满分10分）

(永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案 第 6 页 （共 7页）

?2,x??1?解：（1）f(x)?x?1?x?1???2x,?1?x?1

??2,x?1? .……2分

当x??1时，f(x)?1无解；

1当?1?x?1时，由f(x)?1得?2x?1，解得??x?1；

2当x?1时，f(x)?1恒成立，则x?1；

1综上所述，不等式f(x)?1的解集为(?,??). …………………………5分

2（2）?不等式f(x)?x2?x?m恒成立,

?m?f(x)?x2?x恒成立. ………………………………7分

当x??1时，f(x)?x2?x??x2?x?2?2；

当?1?x?1时，f(x)?x2?x??x2?x?2x??x2?3x?2； 当x?1时，f(x)?x2?x??x2?x?2??4,

?f(x)?x2?x?2， ………………………………9分 ?m?2，即实数m的取值范围m?2. ………………………………10分

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