永州市2020年高考第一次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D A B C D C A D B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上.
333?4 16． 102三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
解：（1）在D……………2分 ABC中，由正弦定理得sinBcosA-sinAsinB=0，
……………4分 QsinB?0，?tanA?1，
13．2
14．5
15．
因为A?(0，?)，所以A?（2）QAB?AD，且?BAC??.
4 ，??CAD?……………6分 ……………7分
?4?4，
4由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC鬃ADcos?CAD， ……………9分
2即5=8+AD2-2创，解得：AD?1或AD?3 …………11分 22AD?2\\AD的长为1或3. ……………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）如图连接DE，易知ΔDCE，?PCE均为正三角形，取CE中点Q，
连接PQ， DQ，则PQ⊥CE，DQ⊥CE ……………2分 又?DQ?PQ?Q， PQ,DQ?平面DPQ，
在DACD中，AC=22，CD=5， ?CAD???EC?平面PDQ，
……………4分 ……………5分
又?PD?平面PDQ，所以EC⊥PD.
（2）因为二面角P?EC?D为直二面角，所以平面PEC?平面AECD，
又因为平面PEC?平面AECD?EC，且PQ⊥EC，所以PQ⊥平面AEC.
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又因为EC⊥DQ，故以点Q为坐标原点，QC，QD，QP所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Q?xyz. ……………6分
uuuruuur则A(?2,3,0)，E(?1,0,0)，P(0,0,3).所以AE?(1,-3,0)，AP?(2,-3,3)
uruuurìm?AE0ì??x-3y=0设平面PAC的法向量为m?(x，y，z).由íu得í ruuur???m?AP0?2x-3y+3z=0ur取z=-1，所以m=(3,1,-1). ……………9分 uuur又因为直线PQ^平面AEC，所以PQ=(0,0,3)是平面AEC的一个法向量，
uruuururuuurm?PQ35所以cos
3???a?2?14解：（1）由题意知?2?2?1，解得?
abb?1????a?25. 5 ……………12分
x2所以椭圆C的方程为?y2?1.
4 ……………4分
（2）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx+2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?kx+2??21?2联立?x2，消去，整理得：y?k??x?4kx?3?0 24??y?1???4永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案 第 2 页 （共 7页）
∴x1?x2??4k1k?42,x1?x2?31k?42……………6分
1?332?由???4k??4?k2???3?4k2?3?0得：k?或k??…………7分
4?22?因为坐标原点O在以线段AB为直径的圆外
uuuruuur∴OA?OB?x1x2?y1y2?0 又y1y2??kx1?2??kx2?2??k2x1x2?2k?x1?x2??4?8k2?k2?1???4?
111222k?k?k?4443k2
……………9分
?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2. ∵
11k2?k2?443 ……………11分
故?2?k??20．（本小题满分12分）
33或……………12分 ?k?2. 22
解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为
121?87?421?，用频率估计概率，则
50021.
2
任取一件产品为优等品的概率为P?……………2分
（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为
1， 2由题意X?(1600?1000)?80?250?4?47000，或
X?(1500?1000)?80?250?4?39000 ……………3分
5414314； ……………4分 P(X?47000)?C4()?C4()?221611014114214……………5分 P(X?39000)?C4()?C4()?C4()?22216
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故X的分布列为：
X P 47000 39000 5 1611 16所以数学期望EX?47000?511……………6分 ?39000??415001616
（3）机器人在第0格为必然事件，P0?1，第一次掷硬币出现正面，机器人移到
第1格，其概率P1?1.机器人移到第n(2?n?49)格的情况只有两种： 21①先到第n?2格，又出现反面，其概率Pn?2，
21②先到第n?1格，又出现正面，其概率Pn?1
2所以Pn?111……………8分 Pn?1?Pn?2，故Pn?Pn?1??(Pn?1?Pn?2)222
1所以1?n?49时，数列{Pn?Pn?1}为首项P1?P0??，
2公比为?1的等比数列. 211213所以P1?P0??，P2?P1?(?)，P3?P2?(?)，??，
2221Pn?Pn?1?(?)n， ……………9分
2111以上各式累加，得Pn?1?(?)1?(?)2???(?)n，
22211121所Pn?1?(?)1?(?)2???(?)n?[1?(?)n?1](n?0,1,?,49)…10分
22232 2121所以获胜概率P49?[1?(?)50]?[1?()50]，
3232失败概率P50?11111……………11分P48?[1?(?)49]?[1?()49] 23232
211111P49?P50?[1?()50]?[1?()49]?[1?()48]?0，所以获胜概率更大，
323232故此方案能吸引顾客购买该款产品. ……………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）函数f?x?的定义域为?0,???．f'?x??ex?a， …………1分
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