第2课时 正弦函数、余弦函数的性质

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P34～P40的内容，回答下列问题．

(1)观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？

提示：具有“周而复始”的变换规律． (2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？

提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．

(3)诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，体现了正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的什么性质？

提示：正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数． (4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？ 提示：正、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．

?π3π?(5)正弦函数在?－，?上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值

2??2

的变化有什么特点？

?ππ?提示：y＝sin x在?－，?上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；?22?

在??π，3π?上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1.y＝cos x在[0，π]

2??2?上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.

2．归纳总结，核心必记 (1)函数的周期性

①对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

②如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做

f(x)的最小正周期．

③记f(x)＝sin x，则由sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π.

(2)正、余弦函数的性质

函数 图 名象与 称 性质 图象 y＝sin x y＝cos x 定义域 值域 周期性 奇偶性 R [－1,1] 最小正周期为2π R [－1,1] 最小正周期为2π 奇函数 ππ??在?2kπ－，2kπ＋? 22??偶函数 单调性 (k∈Z)上递增； π3π??在?2kπ＋，2kπ＋? 22??(k∈Z)上递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上递减 对称轴 对称中心 x＝kπ＋(k∈Z) π2x＝kπ(k∈Z) (kπ，0)(k∈Z) π2?kπ＋π，0?(k∈Z) ??2??x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ最值 －π，k∈Z时，ymin＝－1 2[问题思考] (1)若f(2x＋T)＝f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？

提示：不是．自变量x本身加非零常数T才可以，即f(x＋T)＝f(x)． (2)周期函数的定义域一定是x∈R吗？

提示：不一定，但周期函数的定义域一定是无限集． (3)周期函数的周期是唯一的吗？

提示：不唯一，若T是函数的周期，则kT(k∈Z)也是函数的周期．

(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？

提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．

[课前反思]

(1)周期及周期函数的定义： ；

(2)正弦函数和余弦函数的性质： .

知识点1 讲一讲 1．求下列三角函数的周期： (1)y＝3sin x，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R；

正、余弦函数的周期性 ?1π?(3)y＝sin?x－?，x∈R；

4??3

(4)y＝|cos x|，x∈R.

[尝试解答] (1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π.

(2)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.

(3)因为sin??1x＋6π?3π?1x＋2π－π?＝sin?1x－π?， －?＝sin?3?34?4?4??????

由周期函数的定义知，

?1π?y＝sin?x－?的周期为6π.

?3

4?

(4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.

类题·通法

求三角函数最小正周期的常用方法

(1)公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利2π用T＝求得；

|ω|

(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期． 练一练

1．求下列函数的最小正周期． (1)y＝sin 2x； 1

(2)y＝cos x；

2

?xπ?(3)y＝2sin?－?； ?36?

(4)y＝|sin x|.

解：(1)∵sin(2x＋2π)＝sin 2x， 即sin 2(x＋π)＝sin 2x， ∴y＝sin 2x的最小正周期为π. 1?1?(2)∵cos?x＋2π?＝cos x， 2?2?11

即cos (x＋4π)＝cos x，

221

∴y＝cos x的最小正周期为4π.

2

?xπ??xπ?(3)∵2sin?－＋2π?＝2sin?－?， ?36??36?

即2sin?

?1x＋6π?3π?xπ?－?＝2sin?－?， ?6??36?

?xπ?∴y＝2sin?－?的最小正周期为6π.

?36?

(4)作出y＝|sin x|的图象．