请打双面

习题与综合训练 第一章

2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子

高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，

可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k

则 mg?k?

其中?为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3??=24EJ

24EJ 则 k=h3

设静平衡位置水平向右为正方向，则有 \ mx??kx

p24EJn? 所以固有频率

mh3 ?

F F

h

?

mg

2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角?

a2?＝h?

2F＝mg

由动量矩定理： I????MI??112ml2??Fasin??cos?2??mga2???mga2M8ha

其中

sin???cos?2?1 1a212ml2????mg?4h??0p2?3ga2nl2h T?2πl2h2πlhp?2π?n3ga2a3g2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁

端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不

计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为

Fsin?

1k2k1k2?k 1???2k

k1?kk?2?k3?2，

k1?k2，

k?k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4 p2?k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4m(k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4)

2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭

转振动的固有频率。其中J1、J2和

J3是

三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。 解：

k1?GJ1/l1 （1） k2?GJ2/l2 （2） k3?GJ3/l3 （3）

（4）

dE?0dt??R1?3I??????0????m1?2m2?R2?xx??k1R?k2??xx2?2???

?得系统的运动方程为： 消去x??R1?3I??????m?m?x?k?k2??122R2??1R?x?02?2??? 系统的固有频率为：

Rk11?k2R2p??3I?m?m??122R22?k23?GJ2J3/(J2l3?J3l2)????

Pn2?(k1?k23)/I由（1）(2)(3)(4)知Pn2?G(J1J2l3?J3J1l2?J2J3l1)/Il1(J2l3?J3l2)

2-5 如题2-5图所示，质量为m2的均质圆

2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为

I0盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：

???111?11?x??x?2?m2x?2??m2r2????I?T?m1x222?22???r??R22，求系统的固

有频率。

解：设曲臂顺时针方向转动的?角为广义坐标，

系统作简谐运动，其运动方程为

???sinp(nt??)?。很小，系统的动能为

????

2T?111?2?m1(a??)2?m2(l??)2IO?222 ???pncosp(nt??)?系统的势能为：

U?1?x?12?k1?R?kx12?2?2?R2?

2

所以，

11122222222T?I?p?m?pa??pnlaxOn1n?131I?2?1R11?m2222??? E?T?U???2k1R?2k2??x?2m1?4m2?2R2??x2?? 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静2??总能量

由于能量守恒

平衡位置伸长为

?1,?2,?3，由

，

?mO(F)?0k1?1a?m1ga?k3?3b?k2?2l?0（A）

由题意可知，系统势能为

V?2-8l、质量为m的均质刚性杆铰

一长度为

接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8

图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数

111和阻尼固有频率的表达式。 k1[(?a??1)2??12]?k3[(?b??3)2??32]?k2[(?l??2)2??22]?m1g?a222解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力（B）

图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方

将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，

程为：

111???c??l2?k?a2?0I0?Vmax?k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2 222 1?I0?ml2T?Vmax3由， max

11122222IO?2pn?m1?2pna??2pnl?222得

?c3ka2??????????0mml23ka2?p?ml22n111k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2222

k1a2?k3b2?k2l22pn?22I?ma?mlO12所以，有

2-7 一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。

解：振动衰减曲线得包络方程为：X?Ae?nt2n?3cm

当n＝pn时，c＝cC

2nm2pnm2amk?cC???33l3

2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及

固有频率。

0.64?e20nTd振动20个循环后，振幅比为：0.16

ln4Td?20n ?Tln424?2Td?()?22220nP?N1?5n代入,得：

解：

Pn?又

g?10gdst

4?2ln42()2100g?N20n?＝

?c = 6.9 N s /m 2acc?lmk3ka22p?3，nml2

YO

XO

FK

O

?

FC

mg

I???kb?b?ca?aml2???kb2??ca2?kb2ca2???ml2??ml2??0?p2?kb2nml2p?bknlmca22n?ml2当n?pn时ca2bk2ml2?lm?c?2blca2mk224pd?p2kbcan?n2?ml2?4m2l4?12ml4kmb2l2?c2a422-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg

的重

物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?

解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为

?x??2nx??p2nx?0

ck所以有 x+mx+mx =0

196048020其特征方程为：r2+2000r+2000=0 r =-0.49?4.875i

所以：x =c1e?0.49tcos4.875t+c2e?0.49tsin4.875t 由于n < pn，由已知条件， n?c2m?19602?2000?0.49，

p2n?km?480202000?24.01，x0?0，x?0?0.03m/s。

故通解为

x?e?nt(C1cospdt?C2sinpdt)

其中，

pd?p2n?n2?4.875。

（代入初始条件，当t=0时，x=0, c1=0

当t=0时，x=0,

c2=0.006

x=0.006e?0.49tsin4.875t

x=0.006e?0.49t(-0.49) sin4.875t+0.006?4.875cos4.875

当x=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当 t=0.03s时，x=0.005m）

代入初始条件，得

Cnx0?x?01?x0?0,C?x?02?p?0.006dpd，得

x?Cnt2e?sinpdt

物体达到最大振幅时，有

x???nCnt2e?sinpdt?C2e?ntpdcospdt?0

既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为

x?0.006e?0.49?0.3sin(4.875?0.3)?0.528 cm

2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为

pd，在简谐激振力作用下出现最大位移值的

激振频率为

?m，求系统的无阻尼固有频率pn、

相对阻尼系数?及对数衰减率?。

?22??n解：m?pn1?2?， pd?pn?n2，

pn；

三个方程联立，解得：

p22??d??m2p22d??m p2n?2pd??2m

2?2?2??nT22d??pnp?d??m?2?1???dppd??m??p?d??

习题与综合训练 第二章

2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时

Ai4.的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值

A?2i?11，

若质量块受激振力F(t)?360cos3tN的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为

?x??p2nx?2nx??360mcos3t

得到稳态解

x?Bcos(3t??)

其中

B?B0360(1??2)2?4?2?2B0?k?0.45m

tg??2n?2??

p2?n??21??2

由

??AiA?4.2?enTdi?1 ln??nTdTd?1.8n?ln?

T?0.797pπd?2dT?3.489d

又

pd?p2n?n2

有

p222n?pd?npn?3.579

???p?33.579?0.838n??np?0.7973.579?0.223nB?0.45(1?0.838)2?4?0.2232?0.8382?0.450.408?1.103tg??2?0.223?0.8381?0.8382?0.3740.298?1.255??51.45?所以 x＝1.103 cos(3t－51?27?)

2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率?1?6rad/s时，系统发生共振；给质量块增

加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率?2?5.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k

pkn?kmpn??1?由

，共振时m 6?k所以 m

又由 当

p? n?2?km?1?5.86

②

①与②联立解出

m＝20.69 kg

k＝744.84 N/m

2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静

挠度

?st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以

不计，求转速为?时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得：

W?k(?st?x)?Q2gwesinwt?WgxWgx?kx?Qgw2esin(wt??)x?kgWx?QWw2esin(wt??)

所以：

kgWQh?w2eW Pn?WW?k?st即k??st

又因为

ka2katg??k?mw?kap0p0???arctgp0 k?mw2

1?x(t)?Bsin?wt????1??2?p02k2?asinwt?arctg?k2p?将结果代入B?h?P2?W2?2得：nB=Qw2e?stW(g?w2?st)

即为所求的振幅

2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力

F(t)?F0sin?t，弹簧支承端有运动

xs?acos?t，

写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

2-4图

解：选xs?0时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，

则 mx?k(x?xs)?p(t) 即mx?kx?kxs?p(t)即 mx?kx?ka

coswt?p0sinwt （*）p0改成F0，下面也都一样

利用复数求解 ， 用 ejwt代换sinwt 并设方程

（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。

x(t)?Bejwt 代入方程（*）得B?p0?jkak?mw2?Bej?其中B为振幅，?为响应与激励之间的相位差，有

22B?B???p0??k?mw2?????ka??k?mw2??=

p2p20p2200?ka2m2?p4p42?a2nmm2?p22?na2n?w2?p4??2?2?n?1?1??2?2

?1p201??2k2?a2。

??w其中

p,p?knnm

2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接

处有一激振力

F0sin?t，求质量块的振幅。

题2-5图

解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，

题

则有，

x?x1?x2

（A）

由图（1）和图（2）的受力分析，得到

k1x1?k2x2?P0sin?t

（B）

m?x???k2x2 （C）

联立解得，

m?x???k1k2kkx?k2?kP0sin?t1?2k12 ?x??k1k2(k)mx?k2(kP0sin?t1?k21?k2)m

pk2n?k1所以

m(k1k2)，n = 0，得，

B?hH1(p22?n??2)2?(2n?)k(1??2)2?(2??)2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力

F0sin?t，写出系统运动微分

方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2)?等于固有频率

pn的一半。

2-6图

解：图（1）为系统的静平衡位置，以?为系统的广义坐标，画受力如图（2）

I?????2l?c?(2l???)?3l?k(??3l)?3lP0sin?t

又 I＝ml2

?????4c

m????km??3mlP0sin?t

则

???p2?9kn?m?

?4c?2n?m,h?3p0ml

Bh??(p22n??)2?(2n?)2B?lBhl??(p22n??)2?(2n?)2

1）系统共振，即

pn??

?B?hl(3p0/ml)?l2np?n4c9km?m?p0m

4ck

??12）

2Pn

3p0ml?l?B?hl??32??27k2?4p2?2n???(npn)Y??4c29kA ?4m???m2m?4p

01P0sin?t

9kXA 64c21? A ?

81mk

题

mg B

FC

FK

2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率

pn、阻尼比?及稳态响应振幅。

题2-7图

解：以刚杆转角?为广义坐标，由系统的动

量矩定理

4l2m?????k(l??xs)l?cl2??

即

????c4m???k4m??kalsin?t

pk令，

n?4m，2n?c4m??n?c，

pn8mpn，h?ka4ml???，pn得到

B??h(p2n??2)2?(2n?)2

kaB?B?2l?4ml?2l?2?2ap22(1??2)2?n(1?n?2p2)?(2np)npn2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力

F?20?2.254gN，其中?是激励频率，g是重力加速

度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)

机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x， 则

?E?证明

?F02k2??mx?kx?F0?1?????2???222

x?即又有

Fkx?0mm

k?mg 则

?E???c?2B2cos(?t??)dt???c?B20T?st（1）

F0?2B?k1??2（2）且所以机器的振幅为

mg?k?stB?F0/k?1???22?4?2?2F02/k22?E???c??1??2??4?2?2??F02k2??2?1??2???2??????pradn，??40?s（3）

p2?kgn又有

m??st（4）

将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅

B=0.584 mm 则传入地基的力为

pT?kB?514.7N

2-9一个粘性阻尼系统在激振力

F(t)?F0sin?tx(t)?Bsin???t?π??作用下的强迫振动力为?6?，已知

F0?19.6N，B =5 cm ，??20πrad/s，求最初1秒及

1/4秒内，激振力作的功W1及W2。

由已知可得:P(t)?P0sinwt?19.6sin20?tx(t)?Bwcos(wt???6)??cos(20?t?6)W11=?0P(t)x(t)dt??1?019.6sin20?t??cos(20?t?6)dt??4.93cos40?t1140|0?4.9??0(1?cos80??15.39J同理可得:1W2??400P(t)x(t)dt1???40019.6sin20?t??cos(20?t??6)dt?0.0395J2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为

2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在

??pn时振幅达最大值。

证明：设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量

Ws??B2?

为与材料有关的常数与频率?无关，则等效粘性阻尼系数

c?B2?

e???B2??? B?H由于振幅(k?m?2)2?(c2e?)

所

以

，

B?H1(k?m?2)2?(??H)2k?(1??2)2?(?2?k)

??? 其中，

pn

B?ht)dt?221/?(p222c??2n??)?2?对?m?求导得

dB-2hp22dp?n(pn??)n?223/2??(p2n??2)2?c??m2??， dB当pn??时，dp?0n，振幅B达到最大值 2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知x(0)?x?(0)?0，求系统响应。

?

题2-12图

解：由图得激振力方程为

?P10?t?t1F(t)????P?1t1?t?t2?0t?t2

当 0 < t < t1时，F(?)?P1，则有

x(t)??tP10mpsinpd??P1n(t??)2[1?cospntnmp]n 由于p2?knm，所以有 x(t)?P1k[1?cospnt]

当t1 < t < t2时，F(?)??P1，则有

x(t)??t1P10mpsinpn(t??)d?n??t?P1tsinpn(t??)d?1mpn

?P1k[cospt)?cospPn(t1?nt]?1k[1?cospn(t1?t)] 当 t < t2时，F(?)?0，则有

x(t)??t1P10mpsinpn(t??)d?n??t?P1tsinp1mpn(t??)d?n+ 0

?P1k[cosptPn(1?t)?cospnt]?1k[cospn(t2?t)?cos 2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度bu(t)，

初始条件为x(0)?x?(0)?0，求质量m的相对位移。

题2-13图

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为

m?x???c(x??x?s)?k(x?xs)

令

xr?(x?xs)，则有

m?x?r?cx?r?kxr??mbu(t) 得到系统的激振力为，F(?)??mbu(?)，可得响应为

xr(t)??t?mb?n(t??)0mpesinpd(t??)d?d??bpe?nt[n22en?sinppdn?d(t??)?22ecosdn?pdn?Pd?bne?nt?n2?p2(1?sinpdt?e?ntcospddpt)d22其中

pd?pn?np2，

n?km，2n?cm。

2-14上题系统中，若基础有阶跃位移au(t)，求零初始条件下的绝对位移。

解：系统振动的微分方程为

m?x???c(x??x?s)?k(x?xs)

即

mx?cx?kx?kxs?cxs

基础有阶跃位移au(t),故

xs=0

xs=

au?t?，则有

m?x??cx??kx?kau(t) 得到系统的激振力为，F(?)?kau(?)，可得响应为

tF????n(tx?t??1?t)]?0e?t???sinpd mp?t???dtd??tkau?t?0mpe?n?t???sinpd?t???dtdx(t)??tka0mpe?n(t??)sinpd(t??)d?d?kapdpdmpe?ntnn2?p2en?[2nt?(1dnensinpdt?n2cospdtd?a[1?e??pnt(?pnpsinpdt?cospdt)]dpn?????pnt??pn?a?1?esinpdt?cospdt???p?d?? ?其中

pd?kcp?2n?p?nm，m。 ，

2n22n2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。

题

2-15图

??P0??F(t)??P0??0??tt1t2?tt2?t10?t?t1t1?t?t2t?t2

F(?)?P0?t1，则有

当 0 < t < t1时，

x(t)??tP0?Ptsinpn(t??)d??0[?cospnt]0mptkt1n1F(?)?P0t2??t2?t1

当t1 < t < t2时，

x(t)????)t1，则有

tt10，则有

解：由图得激振力方程为

t?P(1?)?0t1F(t)???0?0?t?t1t?t1

P0?sinpn(t??)d?mpnt1P0t2??sinpn(t??)d?t1mpt?tn21

P0tsinpntt2(t?t1)t2sinpn(t?t1)[???]kt1pnt1t1(t2?t1)pnt1(t2?t1) t1P0?t1x(t)??P0(1?)sinpn(t??)d??[1??cospnt?sinpF]?)?0nt(0mptktpt当 t < t，则有 n11n21时，

t1P?0当t < t1时，F(?)?0，则有 x(t)??sinpn(t??)d?0mptn1t11?tPx(t)??P0(1?)sinpn(t??)d??00t2??0mp?tn1?t1mpnt2?t1sinpn(t??)d? + 0 P01?{?cospnt?[sinpnt?sinpn(t?t1)]}kpnt1 ?P0[?sinpnt?sinpn(t?t2)?t2sinpn(t?t1)]kpnt1pn(t2?t1)pnt1(t2?t1)2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力

F(?)?P0(1??

?当 0 < t < t1时，

作用，求系统响应。

题2-16图

解：由图得激振力方程为

?F0?tt,0?t?t1?1Ft?FtF?t???0?02,t1?t?t2?t1?t2t2?t1?0,t?t2??解：

运动微分方程为

mx?kx?F?t?当

0?t?t1F?t??时，

F0tt1

x?t???tF???0mpsinpn?t???d?n??tF00mp?sinpn?t???d?nt1?F0tmp(1cosp|t1n(t??)?0?nt1pnp0n(t??)d?)n?cosp?F0tkt?F0tktcospn(t??)d?11?0?F0t?F0?1sinpn(t??)|tkt01kt1pn?F0t?F0ktsinpnt1kt1pn?F0?tsinpnt?k??t??1pnt1?F

0t当t1?t?tF?t???t?F0t22时，

t12t2?t1 算法同上，

所以有

x?t???tF???0mpsinpn?t???d?n??t1F0?t0mpntsinp?d??1?1?F0?F0t2?n?t??t1mp??n?t1?t2t?sin2?t1??F0?t2?tsinpntt2sinpn?t?t1k??t?????t?21pnt1pnt1?t2?t1??

当

t?t2时，

F?t??0

x?t???t1F0?0mptsinpn?t???d?n1??t2F0?t1mp?tt?t2???sinpn?t???d?n?1?t2t2?t1+0

?F0???sinpntt2sinpn?t?t1?sinpn?t?t2?k?pnt?1pnt???1?t2?t1?pn?t2?t1??

?

系统响应为

??F0?tsinpnt??k?t??,0?t?t1??1pnt1?x?t????F0??k?t2?t?sinpntt2sinpn?t?t1??p??,t1?tnt1??t2?t1pnt1?t2?t1???F0?tsinpn?t?t1?sinpn?t?t??k??sinpnt?2?pnt1pt?nt1?t2?1?pn?t2?t12-17 零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正??πt?pn弦脉冲作用，若

1，求系统响应。

题

2-17图

解：由图得激振力方程为

F(t)???P0sin?t0?t?t1?0t?t2 当 0 < t < t1时，

F(?)?P0sin?t，则有

x(t)??tP0sin?tsinp?)d??P010mpn(t?(sinnk1?(?p)2n当 t > t1时，F(?)?0，则有

n?t???d??x(t)??t1P0mp 0sin?tsinpt??)d??0?P0pnn([sinnk1?(?p2p)n2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力

F(t)?F?t2?0??1??2?t1??的响应，已知x(0)?x?(0)?0。

题2-18图

解：由图得激振力方程为

?F(t)???Pt20?P0t20?t?t1?1?0t?t1 t22F(?)?P?0?P0?当 0 < t < t1时，t21，则有 ?,t?t?2x(t )??tP00mp[1??22]sinpn(t??)d??P0[(1?222)(1nt1kpnt1p?2??当 t < t2时，F(?)?0，则有

?sinpn(t?t1)?sinpnt?b[1?]2pnt1pn

x(t)??t10P0?2[1?2]sinpn(t??)d??0mpnt1

2-20 求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。

?P022{22[cospn(t?t1)?cospnt]?sinpn(t?t1)?cospnt}kpnt1pnt1

2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，

求零初始条件下系统的相对位移。

题2-19图

解：系统运

动的微分方程为

m?x???k(x?xs)

令

xr?x?xs，则

m?x?r?kxr??m?x?s

由图得支承运动加速度方程为

??x??bt0?t?t1s??t?1?bt?t1

F(?)??m?x??s??mb当 0 < t < t1时，t1，则

有

xt?mb??btsinpr(t)??0mpsinpn(t??)ntd??1p2(?nt1pnt当 t > t1

时，F(?)?0，则有

xr(t)?

?t1?mb?0mpsinpn(t??)d?nt1??t?mbtsinpn(t??)d?1mpn

题2-20图

解：系统运动的微分方程为

m?x???k(x?xs)

m?x??kx?kxs

由图得支承运动方程为

?x?a1?(a1?at2)t0?t?t1s???1?0t?t1 当

0

<

t

<

t1时

，

F(?)?kxs?ka1?k(a1?a2)?t1，则有

x(t)??tka1?k(a1?a2)?0mpsinpn(t??)d??a1(1?cosnt1当 t < t1时，F(?)?0，则有

x(t)??t1ka1?k(a1?a2)?0mpsinpn(t??)d??0nt1??aa1?a21cospnt?p[sinpnt?sinpn(t?t1)]?a2nt2-21 题2-21图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v，

ya?2π?s??1?cos道路前方有一隆起的曲形地面∶

?lx??)。 (1)

求车通过曲形地面时的振动； (2) 求车通过曲形地面后的振动。

nt1车通过曲形地面后t?t1以初位移

?(t1)y(t1)和初速度y作自由振动，即

y(t1)?a?a(?2cosp22

题2-21图

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，

m?y???k(y?ys)

y??2??s?a由曲形地面∶

?1?coslx??，得到 m?y??ky?kys

得到系统的激振力为，

F(?)?ka(1?cos2?lx)。

x?vt?F(?)?ka(1?cos2?lvt)

（1）车通过曲形地面时0?t?t1的振动为

y(t)??tF(?)0mpsinpn(t??)d??nkamp[tsinp?)d??tn(t?n?0?0cos??sinpn(t??)d?]?a(1?cospnt)?

apsin(pn??)tn{sinpnt[2(p??)?sin(pn??)t2(p]?cospcos(nt[nn??)2?a(1?cosp?appcos?tpncosn[n22?2nt)(pn??)(pn???a?ap2?2cospnt?p22(ncos?t)n?? （2）车通过曲形地面后的振动

pn??y?(t1)?ap22(??2p2nsinpnt1??pnsin?t1)n??

由

公

式

y(t)?y(tyt1)1)cospn(t?t1)??(psinpn(t?t1)n，得到

车通过曲形地面后的振动响应为

y(t)??2ap2??2[cospnt?cospn(t?t1)n

其中，

p2kn?m，??2?lv。

或积分为

y(t)??t1F(?)0mpsinpn(t??)d??nkamp[?t1sinpt1n(t??)d???cos??sinpn(t??)dn00?]??2ap2?2[cospnt?cospn(t?t1)n?

习题与综合训练 第三章

n??)t??)?cos(pn??)t2(p?pn22]nn??)pn??t)]p(ppn2

3-1 复摆重P，对质心的回转半径为

外力矩中不出现，所以对转动轴取矩可直接建立刚体运

?C，质心距

动微分方程。这是绕定轴转动微分方程的一般用法。在某些情况下也可用此方程求解未知力。如图(c)所示，若

题3-1图

转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如例图3-1（a）中所示。复摆在任意位置的外力图如题3-1(a)图。

根据刚体绕定轴转动微分方程 JO????MO

JO?P(?22其中 gC?a)

得到复摆运动微分方程为 P g(?2C?a2)????Pacos?或

(?22C?a)????gacos??0

??????d??由d?和初始条件t?0,?0?0,??0?0

将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。

?ga ??0??d?????0?2?a2cos?d?C??2?2ga

所以

?22sin?C?a

???????0,??2?2ga当

2时，?2C?a2，此瞬时复摆的外

力图如图（b）。由质心运动定理

aC??a????0??maC??N?2a2?maCn?NaCn?a??2?n?P22g ?所以

N ? C?a ?0，

(1?2a2Nn?P

?2)C?a2

要点及讨论

（1）刚体绕定轴转动微分方程

JO????MO可与质

点运动基本定律ma?F类比。运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题，因通过转动轴的未知约束力在

已知皮带轮角加速度?，可用定轴转动微分方程求皮带拉力T，T?之间的关系。

（2）当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力，可用质心运动定理，即

maC???F???

ma?F?Cn?n??

aC式中

C??dvdt?a?，aCn?a?2，a为质心距转动

轴的距离。

约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。 （3）刚体运动微分方程列出后，根据给出的初始

条件进行积分，可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度，积分式为

???d???

??0??2ga0?2?a2cos?d?c。

在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程，可求出此位置的角加速度，即JO??MO，此时外力矩MO为

零，所以??0。

（4）在本题中也可选例图13-2(d)所示?角为广义坐标，此时微分方程为 P2g??C?a2??????pasin?

。

读者试解释方程中的“一”号表示什么？并给出对应于?角的初始条件，然后求解问题（2）。

3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为

e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为?C，

在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

题3-2图

（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程

解：系统具有一个自由度，选?为广义坐标。 ?m??C??Fx??C?N?mgy?m??2???m?C??F(R?ecos?)?Ne半圆柱体在任意位置的动能为：

T?1mv212 2C?2JC?

用瞬心法求v

C： v2C?(CC*??)2?(e2?R2?2Recos?)??2

????

J2C?m?C故

T?12m(e2?R2?2Recos?)??2?12m?2C??2

系统具有理想约束，重力的元功为 ?W??mgesin?d? 应用动能定理的微分形式

dT??W

d??1?2m(e2?R2?2Recos?)??2?12m?2C??2?????mgesin m

(e2?R2??2C)??d???2mRecos???d???mRe??2sin?d?等式两边同除dt，

m

(e2?R2??2C)??????2mRecos???????mRe??2sin???????0，等式两边同除?? 故微分方程为 m (e2?R2?2Recos???2C)????mRe??2sin??mgesin

①

若为小摆动sin???，cos??1，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为

[(R?r)2??2C]????ge??0

要点及讨论

上述方程包含

?x?C，

?y?C，???，F，N五个未知

量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标?之间的关系

??xC?R??esin??yC?R?ecos?，

???x?C?R??ecos????y?C?esin???所以

??x??C?R????ecos?????esin???2⑤???y??C?esin?????ecos???2⑥

运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约

束力N，F，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理

的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运d动的问题更简便、直接。?

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。

系统的动能?mgesin? d

T?12m(e2?R2?2Recos?)??2?1m?2??22C

选半圆柱体中心sin??O1所在平面为零势面，系统的势能

V??mgecos? 由

T?V?E

1?2m(e2?R2?2Recos?)??2?122m?C??2?mgecos??E

两边对时间t求导数，即可得到与式①相同的运动

微分方程。

3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。

???mge?

题3-3图

解：系统具有一个自由度，选?为广义坐标。系统在任一位置的动能为

T?1mv2122C?2JC?由瞬心法求质心的速度

vlC?2??J12，C?12ml，????

T?11所以

2?3ml2??2

系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为

?W?mg?drmglC?2sin?d?由动能定理

dT??W

所以

d(1122l

2?3ml??)?mg2sin?d?系统的运动微分方程为

????3g

2lsin??0

要点及讨论

T?1J2（1）平面运动刚体可用式2C*?计算刚体

动能，式中

JC*?JC?md2为刚体对瞬心的转动惯量，d为质心与瞬心间的距离。

2在本题中质心的速度vCvC?x?2?y2也可用式

C?C计

算。其中

?l?xC??2sin??

?ylC?2cos?

??x?lC??cos??2??l?y?C??2??sin?

（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角?为

广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为 v?l?l

C2?drC?d?，2 系统的动能

T?1?1ml2?2

23?

主动力的元功

?W??mgl

2cos?d?

根据动能定理建立的方程为 d(112?3ml2??2)??mgl2cos?d?

所以

?????3g 2cos?“—”号说明当?取正值时???l 为负，即反时针方向。

（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。

3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为?的三角块作无滑动滚动，质量为

M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动

微分方程。

题3-4图

解：系统具有两个自由度，选x、xr为广义坐标。

系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系

统机械能守恒：

T?V?E

11112xr2 222T?Mx?m[(x?xrcos?)?(xrsin?)]??mr?22222r

1111??Mx2??mx2??mxr2?mxxrcos??mxr22224

?12Mx2?34mx21r?2mx2?mxxrcos?V??mgx

rsin?

，水平方向动量守恒。

px?C

Mx??m(x??x?rcos?)?C 整理后可分别列写两个方程

12(M?m)x?2?12?32mx?2r?mx?x?rcos??mgxrsin??E ①M

x??m(x??x?rcos?)?C 式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t求导后，即可得到系统运动微分方程。

[3(m?M)g2mcos2??1]x?sin?cos??0

要点及讨论

（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间

t求导一次可得到系统的运动微分方程。

（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为： ①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。

②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。

③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。

④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。

⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。 （3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。

（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。

②

题3-5图

3-5题3-5(a)图所示为刚性建筑模型。刚性基础质

量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统

微幅运动微分方程。图中kkc2?2,c1?2。

解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。

对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为 m?x???k(x?z)?c(x??z?)?FOx

(1)

对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程

为 M?x?C??FOx

M?y?C?FOy?Mg

IC?????k1??FOyasin??FOxacos?

(4)

其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到

微小运动的假说，于是有 xC?x?asin??x?a?

(5)

yC?acos??a

由方程(1)、(2)消去未知力，FOx并考虑式(5)得 (M?m)?x??Ma????cx??kx?cz??kz

(7)

又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考虑式(5)

和(6)，得 Ma?x??(IC?Ma2)????(k1?Mga)??0

(8)

方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x和?为确

定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式

q???x???

??????

那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：

??(M?m)Ma????x???0????x?????Ma(I?Ma)??c?????C2??????????00??????????????k0???x????cz??kz?? ??0(k???1?Mga)????????????0??

(9)

由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的

运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。

由动静法得,以整体为研究对象：

?X?0

?mx?Mx?k(x?z)?c(x?z)?Ma?cos??M?2asin?以M为研究对象：

?题3-6图

mo?0Mxacos??Ma?a?Ic??Mgasin??k1?

?0?很小 ?sin?＝?，cos?＝1

?

又忽略高阶小量2，所以以上两式化简后得：

(m?M)x?Ma??c(x?z)?k(x?z)?0 Max?(Ic?Ma2)??(k1?Mga)??0化成矩阵形式为：

??(M?m)Ma????x????c0????x???k?Ma(I2???????????C?Ma)?????????00????????0(k1?

(6)

3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y, t)。试用哈密顿原理求运动方程。

解：若梁的挠曲函数为w(y, t)，则动能为 T?12?lmw?20(y,t)

(a)

应变（势能）为

??12(y,t)dy?0?l0EIw??2

(b)

外力功为 A??l0F(y,t)w(y,t)dy (c)

将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式 δI??t2t(T??)dt?δ1?t2tAdt?01 (d)

得到

?t2t?l??mxw???δw?d??ycdz?t??kzt2?l????t21?)?0?????t?EIwδwdydt?1??0?t1?l0F(y,t)δwdydt?0?? ??????0? (e)

对式(e)进行分部积分运算，得到

0Mga ??????δwdy?mw?0?t2lt1

?(2)

系统的势能为

t2??t1t2l0t2??δwdydt?mwl?t2t1(EIw??)δw?]l0dt?[(EIw??)?δw]l0dt???(EIw??)??δwdydt???t2l dydt?F(y,t)δwt1t10t10 (f)

由于，t?t1?t2时，哈密顿原理要求?w = 0，因而式(f)

变为 ??t2ltmw???1?0δwdydt??t2?t(EIw?)δw?]l0dt1?t2??t[(EIw)?δw]l01??t2?lt(EIw??)??δwdydt?10?t2lty,t)δwdydt?01?0F( (f)

因为，t1与t2区间的虚位移?w不可能为零，由此，得到梁的边界条件

(CEIm??)δW??l0?0

(CEIW??)?δWl0?0

与运动方程 mw???(EIw??)???F(y,t)

(i)

两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。

3-7 应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。

题3-7图

解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即 qi?xii?1,2,3,4

(1)

则系统的动能 2m1x?2?222

T?111112m2x?2?2m3x?3?2m4x?4V?12k212(x111x1?k22?x1)2?2k3(x3?x2)?2k4(x4?x3)2

(3)

计算拉格朗日方程中的各项导数如下：

q1?xd??T?1dt????m??x?1?x??T1;?01???x1?V?x?k1x1?k2(x2?x1)?(k1?k2)x1?k2x21qd???2?x2dt?T????m???2?x??T?x2;?x?022?V?x?k2(x2?x1)?k3(x3?x2)??k2x1?(k2?k3)x2qd?dt??T?3?x3??????T??x?3?m?3x3;?x?03?V(h)

?x?k3(x3?x2)?k4(x4?x3)??k3x2?(k3?k4)x3qd??4?x4dt??T????T??x4??m?x?;?0?44?x4?V?x?k4(x4?x3)??k4x3?k4x44将以上各项导数代入拉格朗日方程得

m1?x?1?(k1?k2)x1?k2x2?0m2?x?2?k2x1?(k2?k3)x2?k3x3?0m3?x?3?k3x2?(k3?k4)x3?k4x4?0

m4?x?4?k4x3?k4x4?0

(4)

写成矩阵形式 m?q??kq?0

其中

??m1000??m??0m200?????00m30?

???000m4?? 质量矩阵

dt??k1?k2?k200??k???k2k2?k3?k30?????0?k3k3?k4?k4??

??00?k4k4?? 刚度矩阵

qT??x1x2x3x4? 位移列阵

3-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹

簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标?，求出运动方程。 （a） 题3-8图

运动的分离体图如图（b）所示。 地震中可设?为微小角度，因此

??m(?x??h???)??kx?

??IG????m(x???h???)h??kT??mgh?

因此运动方程为

??mh????h?x??kx?0?

??mhx???(mh2?IG)????(mgh?kT)??0

如果??Asin?t,x?A2sin?t,则

???mh?2A1?m?2A2?kA2?0?

???mh?2A222?(mh?IG)?A1?(mgh?kT)A1?0

则频率方程为

?mh?2k?m?22

(mh?IG)?2?(mgh?kT)mh?2

即

(mh?2)2?(k?m?2)[(mh2?IG)?2?(mgh?kT)]?0 或

mIG?4??2(mkh2?IGk?m2gh?mkT)?mghk?kkT?0

由动静法得，以刚体m为研究对象：

?X?0 m?hcos??mx?m?2hsin??kx?0?

mo?0m?h2

?IG??kT??mxhcos??mghsin??0?很小 ?sin?＝?，cos?＝1

又忽略高阶小量?2

，所以以上两式化简后得：

mh??mx?kx?0

（b）

?mhx?(mh2?IG)??(mgh?kT)??0

图中：kx、mx??

应反向。方程应为 ??x???kx?0?mh??h?????(mgh?k)??0??(mh2?IG)??xT?mh?

?V?2k2q2?2k2aq3?q3

?V?k1b(q1?bq3)?k1d(q1?dq3)?ak2(q2?aq3)?ak2(?3-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。

题3-9图

题3-10图

选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相

互独立。设机器和机座的总质量为M，总质量对质心G

点的惯性矩为IG，则

T?12Mq?2?12Mq?2?12Iq212G?3

V?12kbq111(q1?3)2?2k1(q1?dq3)2?2k2(q2?aq3)2?式中，V为贮存在弹簧中的势能。

有：

x1?q2?aq3y1?y4?0x4??q2?aq3y2?q1?bq3x2?x3?0y3?q1?dq3由拉格朗日方程得

ddt(?T?q)?mq11ddt(?T?q)?mq22ddt(?T?q)?Ioq33?T

?q?0?T?0?T1?q?02?V ?q3

?q?k1(q1?bq3)?k1(q1?dq3)1

?q3则运动方程为

M?q?1?2k1q1?k1(b?d)q3?0M?q? 2?2k2q2?2ak2q3?0

IG?q?3?k1(b?d)q1?2ak2q2?(b2?d2)k1q3?2a2k2q3?0

因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定qi?Aisin?t，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。 3-10 题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的

约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标，写出系统运动的作用力方程。

解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。x,x 设1?12?0，分别画出m1与m2的受力图，并施加二物块力k11,k21，列平衡方程，

对m1：

?X?0，k11?T1sin?1?T2sin?2?k1?0 ?Y?0，

T1cos?1?T2cos?2?m1g?0

对m2：

?X?0， k21?T2sin?2?0

?Y?0， T2cos?2?m2g?0kq2

x

2(2设?aqx13?)0,2?1，分别画出m1与m2的受力图，

并施加二物块力k12,k22，列 平衡方程，

对m1：

?X?0， k12?T2sin??0

?Y?0， T1?T2cos??m1g?0 对m2：

?X?0， k22?k2?T2sin??0

?Y?0， T2cos??m2g?0

sin?1sin?11?tan?1?2?tan?2由，l?1，l2，cos?1?cos?2?1，cos??1，

12

sin??tan??1l2， 解得， (m?m2)gm2gk11?k1?1?l1l2

k12??m2gk22l2，

mgk21??2l2，，

mg?k2?2l2

C

ll2l2k22?N?k1?k2?0244

llk21?(k2?k1)k12?(k2?k1)k11?k1?k2，2，2，

?Y?0， N?mg?0

?M?0，

得作用力方程为

k22m2g????x1??P1(t)? ?m1l2得作用力方程为

??????0?mgl?P(t)2??x2?2??k?0??lA(m1?m2)gm2g?k???1??10???xl1l2????mg?2??m2?x????2l2mgl?(k1?k2)?42

??l2l3-11 题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力PC和扭矩

MC的作用。设刚杆长度、横截面积

题3-12图

题3-11图

和质量密度分别为l、A及?，以质心C的微小位移xC与

?C为坐标，列出系统运动的作用力方程。

解：设xC质心的水平位移与?C相对于质心的

转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设xC?1,?C?0，画出受力图，并施加物体力与力偶k11,k21，列平衡方程，

?X?0，k11?k1?k2?0 ?MC?0， k21?kl12?kl22?0

设xC?0,?C?1，画出受力图，并施加物体

力与力偶k12,k22，列平衡方程， ?X?0， k?kll1212?k22?0

???????x?C??k1?k2(k2?k1)??0?Al3? ?12?????????C??ll22l?(k2?k1)2(k1?k2)4?mg23-12 题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为

EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，

列出系统运动的位移方程。

解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角12时，其梁的等效刚度为k?EJl3，由此可将题

3-12图等效为(a)图，其中

k2?12EJ112EJ21?h3k2?2?，h312 广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设x1?1,x2?0，画出受力图，并施加物体力

k11,k21，列平衡方程，可得到

k11?k1?k2，k21??k2

同理可求得k12,k22。最后求得刚度矩阵为

?k1?k2?kK=?2???k2k?2?

由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为

????11??k?11k11????k?1k?1k12??得到系统的位移方程为 ?h31h31?????P?? ?x1??? x???24EJ124EJ12???h333???1??m10??1h1h2???P?2??0m??2???24EJ?124EJ124EJ2??也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的m1施加单位力，而m2不受力，此时

l2 1第一个弹簧变形为k1，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为， ??1k?11121?1，k1 ?112??1122?同理求出

k1，k?1k2。最后得到????12?柔度矩阵为??11???21?22?

?h33?1Δ??24EJ h1??124EJ1???h331??24EJ h31?h2?124EJ124EJ?2?? A、B两点的受力分别为：

FA?F1?m1?x?1 FB?F2?m2?x?2系统运动的位移方程为：

?h331h1???x?24EJ ?1??124EJ1??F1?mx?1??x??? ?1?2??h3331h1h2?x??2??24EJ ?F2?m2?124EJ?EJ??1242??

3-13 质量m1、m2以及长为l1、l2的无重刚杆构成的复合摆，如题3-13 (a)、(b) 图所示。假设摆在其铅垂平衡位置附近作微幅振动。试分别取?1、?2和x1，x2为广义坐标，求刚度矩阵。

题3-14图

解：首先求对于广义坐标?1、?2的刚度矩阵。 令?1 = 1、?2 = 0。如题3-13 (c) 图所示.此时是k11，k21分别代表施加于两个刚杆上的力矩，由静力平衡条件得 k21?k11?(m1?m2)gl1 (1)

k21?0

由式(1)、(2)得

k11?(m1?m2)gl1 3-14 在题3-14图所示系统

中，刚杆AB不计质量，当质量M与m位于铅垂线上时为系统的平衡位置。试以x，?为

广义坐标导出线性系统运动微分方程。

解：令q1?x,q2??，则质量m的坐标为

x2?x?lsin?y2?lcos?

质量m的速度为 v2?x?22?y?22?(x??l??cos?)2?(?lsin???)2

(1)

系统动能为

T?1题23-15Mx?2图?1 2mv2

将式(1)代入式(2)，并整理得

T?11?2 2(M?m)x?2?2ml2??mlcos?x???

(3)

考虑到微幅振动，令cos?≈1，则将动能T写为x?,??的齐二次函数，有

题3-15图

3-15 质量为m2长为l的均质杆AB，其一端铰接于半径为R质量为m1的均质圆轮的中心A，圆轮在水平面上作纯滚动，如题3-15 (a) 图所示，试列写系统运动微分方程。

解：系统具有两个自由度，选图示AB与铅垂线的

夹角?及圆轮中心A的位移xA为广义坐标。

分析圆轮A，受力图如图（b）所示。列写圆轮A的运动微分方程： m1?x?A?XA?F 0?YA?N?m1g

1

2m21R??FR

运动学方程 ?x?A?R? ④

分析杆AB，列写AB的运动微分方程，如图（c） m2?x?C??XA ⑤ m

2?y?C??YA?m2g ⑥

1m2122l????Xll

(2) A2cos??YA2sin?⑦

运动学方程 xlC?xA?2sin?,x??l

C?xA?2??cos?yl C??2cos?,y??lC2??sin??x?xl C???A?2??2sin??l2???cos?

⑧

题3-15图

?y?lC?2???sin??l2??2cos?

⑨

上述9个方程包含

?x?A,?,?x?C,?y?C,???,XA,YA,F,N等9个未知量，由上述9个方程消去未知的约束力可得到系统的运动微分方程。

由①③④⑤⑧得

??3?2m?1?m2???x?1A?2m2l??2sin??12m2l???cos??0

由①③④⑥⑦⑨得

① 1②?1 2?2??3m2l?m2lsin??????32m1?x?Acos?

?③1? 2m2l??2sin?cos??m2gsin??0 将 (a) 式代入 (b) (b) 式，化简后得

2

3l?????x?Acos??gsin??0

式(a)(c)为系统的运动微分方程。

要点及讨论

运用平面运动微分方程求解刚体动力学问题时，需分别分析每个刚体的运动与受力，列写每个刚体的运动微分方程及补充的运动学方程。未知量的数目应与方程

的数目相等。联立求解所列写的方程，即可得到所要求的结果。

用本题中的方法求解刚体系统动力学问题时，由于要将系统拆开成单个刚体，方程中出现了许多未知约束力，为消去未知力增加了许多繁冗的演算。这种方法不是列写刚体系统微分方程唯一的方法，但如果要求刚体间相互的约束力，其中某些方程可应用。

习 题 四

4-1 题4-1图所示的均匀刚性杆质量为

m1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角?和物块位移x为广

题4-1图

义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设??1,x?0，画出受力图，并施加物体力

偶与力k11,k21，由平衡条件得到，

k11?k1b2?k2a2， k21??k2a

设??0,x?1，画出受力图，并施加物体力偶与力k12,k22，由平衡条件得到，

k12??k2a， k22?k2a 得作用力方程为 ??12???3m1a0??????????k1b2?k2a2?k2a??????0??0m2????x????k??????0?2ak2a??x?

由频率方程K?p2M?0，得

kb2?k112a2?3m1a2p2?k2a?0?k2ak2a?m2p2

4-2

题

4-2图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为

m1 题4-2图

及

m2，求系

统的刚度矩

阵和柔度矩阵，并求出当m1?m2?m和k1?k2?k时系统的固有频率。

解：如图取?1,?2为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，

I1???1??k314l?314l?k314l?324l

I2???2?k314l?314l?k314l?324l?kl22?l22整理得到，

I1???1?k9116l2?1?k9116l2?2?0

I92292l2???2?k116l?1?(k116l?k24)?2?0则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，

?9l2k92?K??1?lk1?1616??929212???16lk116lk1?4lk2??，

???K?1?1?4164?kl2?9k1l2k2l2?KadjK??2?44???k22?2lk2l??系统的质量矩阵

为

M???I10???13m?1l20??0I???2??7??0248m2l??

由频率方程K?p2M?0，并代入已知条件得，

9l2k?193ml2p2?16kl216?0?9kl21316kl2?748ml2p216

整理得到112p4?813p2km?324k2m2?0,求得

p1?0.6505kkmp2?2.6145，m。

解：

2k??3l?911?k1?4???16k1l2k?k9

1221??k1l2

16

k99?l?k22?k2???k1l2?2l2?k1l2416?2?16

?2?92kl?161k??9??k1l2?16?9?k1l2?16?9122k1l?k2l?164?

?2813?488601k266m ?

kk

p1?0.48p2?5.6m， m ?

p2?

4-3 题4-3图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动

惯量为2mR，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子219?9??9??9?k??k1l2??k1l2?k2l2???k1l2??k1k2l4?0?16??164??16?64? ??k?1做

增

广

矩

阵

?9?9kk??1l210??16k1l2???9k916?161l2kl2?11k21642l01???

??9k291l?k2?1l10?16?0116? 4kl211?? =?2?

??1?1160??9k??41l24?2? =

??01k2l2k2l??

=

??104164?2?k?2l9kk22l??41l24???01k2l2kl2?2??

?164?k?1????4?k2l2?9kl21k2l2??44???

??k22lk22l??

当m1?m2?m ， k1?k2?k时， ??120???3mlM??7?048ml2???

921B?k?p2M?16kl?3p2ml2?916kl2?22 133x?813xy?324y?o ，

其中

x?p2m ， y?k 的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。

题4-3图

解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚

度影响系数法求刚度矩阵k。

设x1?1,x2?x3?0，画出受力图，并施加物体k11,k21,k31，由平衡条件得到，

k11?k， k21?0，k31??kR 设x2?1,x1?x3?0，画出受力图，并施加物体k12,k22,k32，由平衡条件得到，

k12= 0， k22?k，k32?kR 设x3?1,x1?x2?0，画出受力图，并施加物体k13,k23,k33，由平衡条件得到，

k13??kR，k23?kR，k33?2kR2

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

??k0?kR?K??0kkR????kRkR2kR2???，

?m00?M???0m0???002mR2???

由频率方程K?p2M?0，得 k?mp20?kR0k?mp2kR?0??kR9kl2kR2kR2?2mR2p2916kl 16?0 2展开为?14kl22m?7(48k?p2mpml22)p2(mp2?2k)R2?0，解

pp?k出频率为21?0，

m， 2kp3?m。

2B?K?pM的伴随矩阵的第一由特征矩阵

?ml2?M??0?0?列，

adjB(1)?(k?mp2)(2kR2?2mR2p2)?k2R2?????k2R2?(k?mp2)(2kR2?2mR2p2)?2??kR(k?mp)??0??0?0ml2??

K?p2M?0由频率方程，得 kh2?mgl?ml2p2?kh2?kh22kh2?mgl?ml2p20ml20?kh20?kh并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

?111???A???11?1?

kh2?mgl?

展开为

(mgl?ml2p2)[(mgl?ml2p2)2?4kh2(mgl?ml2p2)?4k2??11??R0?R??

4-4 三个单摆用两个弹簧联结，如

题4-4图所示。

令

m1?m2?m3?及题4-4图

k1?k2?k。试用微小的角?1、?2和?3为坐标，以作用力方程方法

求系统的固有频率及主振型。

解：如图选?1,?2,?3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵K。 设?1?1,?2??3?0，画出受力图，并施加物

体于k11,k21,k31，由平衡条件得到， kkh2?mgl， k211?21??kh，k31?0 设?2?1,?1??3?0，画出受力图，并施加物体k12,k22,k32，由平衡条件得到，

k?kh2， k2?kh212?22?2kh?mgl，k32?

设?3?1,?1??2?0，画出受力图，并施加物

体k13,k23,k33，由平衡条件得到，

k213?0，k23??kh，k33?kh2?mgl

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

?kh2?mgl??K??kh20??kh22kh2?mgl?kh2???0?kh2kh2??mgl??，

，

p?gpgkh2解出频率为

1l，

2?l?ml2，

?g3kh2p3l?ml2。

由特征矩阵

B?K?p2M的伴随矩阵的第一列，

?(2kh2?mgl?ml2p2)(kh2?mgl?ml2p2)?adjB(1)???kh2(kh2?mgl?ml2p2)??k2h4并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为 ?A??1?11??10?2????111??

??ml2 0 0??0 ml2 0???2解：质量矩阵M=?0 0 ml?? 使?1逆时针方向旋转弧度1,保持m2,m3不动, m1,m2,m3受力如图： m F=kh

?M?o1??k11?Fh?mgl?0

k11?Fh?mgl?kh2

?mgl?

M?o2??Fh?k21?02

k21??Fh??kh?M?o3??k31?0

,m3使?2逆时针旋转弧度1，保持m1不动，对m1,m2,m3受力分析入图：

该系统的刚度矩阵为：

?kh2?mgl ?kh2 ? 0??K???kh2 2kh2?mgl ?kh2?22?0 ? ?kh kh?mgl??特征矩阵：

?kh2?mgl?mp2l2 ?kh2 0?B???kh2 2kh2?mgl ?mp2l2 ?kh222?0 ?kh kh?mgl??M?o1??Fh?k12?kh2?k12?0

k2

12??kh?

M?o2??k22?2Fh?mgl?0

k222?2kh?mgl?

M?o3??k32?Fh?0

k32??kh2?

使

3逆时针旋转弧度1，保持m1,m2不动，对

m1,m2,m3受力分析入图：

?M?o1??k13?0?

M?o2??k23?Fh?02

k23??kh? M?o3??k33?Fh?mgl?0

k33?kh2

?mgl

kh2?mgl?mp2l2 ?kh2 0B??kh2 2kh2?mgl ?mp2l2 ?kh20 ?kh2 kh2?mgl??kh2?mgl?mp2l2? ?? 2kh2?mgl ?mp2l2??kh2?mgl?m???kh2?2? kh2?mgl?mp2l2???kh2?mgl?mp2l2???kh2?mgl

?mp2l2?2?kh2??mgl?mp?kh2?mgl?mp2l2??mgl?mp2l2??3kh2?mgl?mp2l2?令

B?0，得

Pg1?lPkh2 ，

2?gl?ml2 ，

Pg3kh23?l?ml2

???? kh2?mgl?mp2l2?? ? 2kh2?mgl ?mp2l2?-?k?????????adjB??? kh2??222 ?? kh?mgl?mpl?????2?2???kh?? ??kh2? 2 ?1 将各频率依次带入伴随矩阵的第一列，令

???即得各阶主振型 ?1A?1?????1????1??

题4-5图

??1?

A?2????0????1???1?A?3?????2???

?1??

4-5 题4-5图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和

x3为坐标，用位移

方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设

m1?m2?m3?m。

解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。

在m1处施加单位力，其余各质量块处不受力，解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用

刚度影响系数法求刚度矩阵为

题4-6图

则由材料力学知识，得到三集中质量块处的静挠

度即为?11,?21,?31。

同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为

??l3??9117?768EJ?111611??9??711??得到系统的位移方程为

??x?9117???m00???x??x1?2????l3?1???111611???????0m0?????x?2????x768EJ3????7119??????00m????x???3????L??M?1由系统的特征矩阵p2I，得频率方

程

L?0，即

9???11?7?11?16???11??07?11?9?????ml3

其中

768EJ,??1p2，展开频率方程为 (??2?)(?2?32???14?2)?0解出?1?31.556?,? 2?2?,?3?0.444?。 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列?(16???)(9???)?adjL??121?2??77?2?11?(9???)????121?2?7?(16???)??，分别代入特

征值，得到主振型为

?1.0001.0001.000?A???1.4140.000?1.414????1.000?1.0001.000??。

4-6 如题4-6图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设

m1?m2?m3?m4?m和

k1?k2?k3?k，试用作

用力方程计算系统的固有频率及主振型。

??k?k00?K???k2k?k0???0?k2k?k???00?kk??，

??m000?0m00?M????00m0???000m?? 由频率方程K?p2M?0，得 k?mp2?k00?k2k?mp2?k00?k2k?mp2?k?000?kk?mp2因此可得到频率方程

p2?p6m4?6kp4m3?10k2p2m2?4k3m??0解出

p2 p2?1?0 ,

2?2?2?km，p23?2kmp2(2?2)k， 4?m

p解出频率为p2?(2?2)k1?0，m，

p2kk3?mp4?(2?2)。m

由特征矩阵B?K?p2M,??k?p2m?k00?B???k2k?p2m?k0????0?k2k?p2m?k??00?kk?p2m??特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

?(2k?mp2)(k?mp2)?k2(2k?mp2)?k2(k?mp2)?? ?1?????223k(2k?mp)(k?mp)?k 1?2??(4)??adjB(1)?? A????k2(k?mp2)?(1?2)????3??k??? 1?? 归一化 得3224263?k?6kpm?5kpm?pm? ??k3?3k2p2m?kp4m2得系统的主振型矩阵为 ????k3?k2p2m???k3??? ??k3?3A(1)??k???3将

p?k?1?0?3??代入，即得

?k? 归一化 得

??1?A(1)??1???1???1??

?? ?k3? A(2)??? ?1?2?k3???? p2??(1?2)k3?将

2??2?2?km代入，得

?? k3???

?? ?1?A(2)?? 1?2?????(1?2)???归一化 得

? 1??

??k??A(3)???k?p22k??k??将

3?m代入，得 ?k?? 归一化 得

?? 1?A(3)???1????1??? 1??

?? ?k? A(4)??1?2k?????p?4?(2?2)k将

m??(1?2)k??代入，得

? k??

??1?11?1?A??11?2?11?2???12?1?1?1?2???1111??各阶主振型如下图所示：

4-7 题4-7图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设

m1?m2?m3?m，h1?h2?h3?h，

EJ1?3EJ，EJ2?2EJ，

题4-7图

EJ3?EJ。用微小的水平平动x1、x2和

x3为坐标，

用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。

解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为

k?12EJl3，由此可将题4-7图等效为(a)图，其中 k12EJ112EJ21?2?h3k2?2?31，h2，k?2?12EJ33h33广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法 求柔度矩阵。即，对图（a）中的m1施加单位力，

1其余不受力，此时第一个弹簧变形为k1，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为，??1111 k?21?1，k1，??131k1同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为

2??h3??22?144EJ?255????2511??

?m00M????0m0?系统的质量矩阵为?00m???? 得到系统的位移方程为 ??x?222?m00??x1?2????h3???255?????????0m0??x??1???x?2?????x3??144EJ??2511???????00m??????x?3????L??M?1由系统的特征矩阵p2I，得频率方程L?0，即 2???2?2?2?5???5??02?5?11???3 ??mh其中

144EJ,??1p2，展开频率方程为 ?3?18??2?54?2??36?3?0解出?1?14.43?,? 2?2.62?,?3?0.954?。 p解出固有频率为

1?9.979EJmh3p.07EJEJ2?55mh3p3?151mh3由特征矩阵的伴随矩

阵的第一列?(5???)(11???)?251?2?adjL???10?2?2?(11???)???10?2??2?(5???)??，分别代入特征值，得到主振型为

?1.0001.0001.000?A???2.2951.377?0.645??.929?1.0370.1220??3??。 主质量振型为

??21.6508m00?M?03.9243m0?P?ATMA???001.4303m??? Ai?1AiN正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为 ?0.2149?0.50490.8361?AN?1?m?0.4927?0.6848?0.5390????0.84320.52780.1017?? ?m100?M???0m0?解：质量矩阵为?2??00 m3?? F1?1，F2?F3?0时：

h33?1h31h111?24EJ?12??13?1，24EJ1，24EJ1 F2?1,F1?F3?0时： h3333?1h2h1h222?24EJ??23??124EJ2，24EJ124EJ2 F3?1，F1?F2?0时：

h333?1h31?24EJ??1h2321，

24EJ?124EJ2，h3h3?2h21333?24EJ??124EJ224EJ3

?h13??24EJ1?h3???1?24EJ1?h3?1??24EJ1

h1324EJ1h13h23?24EJ124EJ2

矩阵。

解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

h13h23?24EJ124EJ2

?m00??3k?k?K???k3kM??0m0????k??k??h31?24EJ?1?h3h312?24EJ??124EJ2?h331h2h2?324EJ???124EJ224EJ3??

?M?mh3??222?144EJ?255???mh3?2??, 5 11?? 设 144

1p2??

??2???2?2???M?1?p2I??2?5???5???2?

5? 11?????? ??2???2?2??2?5?5??B??????2? 5?

11??????= 0

?38??2??3?54?2??36?3?0

mh3mh3??

1?9.979EJ? ， 2?55.07EJ ， mh3?3?551.0EJ

9.979EJP255.07EJ?P21?mh3 ，

2?mh3 ，

P2151.0EJ3?mh3

4-8 在题4-8图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设

m1?m2?m3?m，

k1?k2?k3?k4?k5?k6?k，试求系统的固有频率及振型

题4-8图

??00m??，???k?k3k??

由频率方程K?p2M?0，得

3k?mp2?k?k?k3k?mp2?k?0?k?k3k?mp2

解出频率为

pkkk1?mp2?2mp3?2，，m

由特征矩阵

B?K?p2M的伴随矩阵的第一列，

?(3k?mp2)2?k2adjB(1)????k2?k(3k?mp2)????k2?k(3k?mp2)??

pk将

1?m代入得系统的第一阶主振型为

A(1)??111?T

A(2)满足如下关系：

(A(1))TMA(2)?0，(K?p22M)A(2)?0

以上二式得，A(2)(2)(2)展开1?A2?A3?0。取

A(2)(2)(2)2?0，A1??1，可得到A3?1。即有

A(2)???101?T(3)

A满足如下关系：

(A(1))TMA(3)?0，(A(2))TMA(3)?0(K?p23M)A(3)?0展开以上二式得，A(3)( 3)(3)1?A2?A3?0，

?A(3)?A(3)(3)13?0，联立得A(3)1?A3。取A(3)1?1，A(3)3?1，可得到

A(3)2??2。即得 A(3)??1?21?T主振型矩阵为

?1?11?A???10?2???111???

4-9 试计算题4-4的系统对初始条件

???000?T?0??0?0?T和?0的响应。 解：在习题4-4中已求得系统的主振型矩阵和

质量矩阵分别为

Ap?A??1?A?2?A?3?A?4???1?1???1???1?1 1 1?2?1?(1?2)?1 1 1 ?1 1?(1 ?1?11??ml200?A???10?2?M??0ml20?????111??，???00ml2?? 主

质

量振型为

?300?MT??P?AMA?ml2?020?6??00??

A(i)1(i)N?A正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为

?2?31?A1??N?6ml2?20?2???231??初始条件为

?ml2???2??0???(0)?ATM?6??NN0??2?，

??N(0)?ATNM??0= 0

?m正则坐标的响应为N1?3l?cosp1t，?N2?0，

?N3??2m3l?cosp3t由??A(1)

3)N?N1?A(2)N?N2?A(N?N3，展开得

到

???1????????1????1???1??2??cosp1t??2?cosp?3??3t3??3??1?????1?? pggkh2g3kh2其中

1?lp?，2l?ml2p，3?l?ml2。

4-10 试计算题4-6的系统对初始条件

x0000?T0??和 x?0??v00v?T的响

应。

解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为

??1?11?1?11?2?11?2?A????12?1?1?1?2???1111??，

??m000?M??0m00???00m0???000m??主质 量振型为

??4.000000?MATMA?m?0?0.41400?P????004.0000??00013.657??A(i)1

N?A(i)正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为

?0.5000?0.65730.5000?0.2706?A1??0.5000?0.2706?0.50000.6533?N???0.50000.2706?0.5000?0.6533?m??0.50000.65330.50000.2706??正则坐标初始条件为

??0.50000.50000.5000x(0)?AT?0.6533?0.27060.2706NNMx0?m???0.5000?0.5000?0.5000??0.27060.6533?0.6533??0.50000.50000.50000.5000xT?0.6533?0.27060.27060.653N(0)?ANMx0?m???0.5000?0.5000?0.50000.5000??0.27060.6533?0.65330.2706xN(0)?ATNMx0= 0，x?TN(0)?ANMx?0=

m?v0v0?T

正则坐标的响应为xN1?mvt，xN2?0，

xvmN3?psinp3t3，xN4?0其中频率为

p2k3?m。

最终得到响应,由

x?A(1)Nx2)N1?A(NxN2?

3)A(NxN3?A(N4)xN4，展开得到

?x1??1??1??x?????v??1??2?vt?1??cosp3t????x3?2?1?2p3??1???????x1???1??4?于是

于是得

XN?0??AN?1X0??0000?XN?0??ANX0?vm?1T

?0vm0?T

XN1?XN1?0?t?vtm?1??2??3??4?x?ANxN1?ANxN2?ANxN3?ANxN4

?v?2(t???v?2(t????v1?XN2sinp3t)?p3

?X?0?vm1?XN3?N3sinp3t?sinp3tsinp3t)?p3p3 p3

??X?XN4?0?sinpt?01XN2?0??sinp2t?0p2 ?(t??2p3??v1?2(t?p3解：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为

p1?0 , p2??2?2?km,p2k3?m , pk4?(2?2)m?m000

??M??0m00???00m0??由质量矩阵?000m??，可求出主质量矩阵

??1000?MT?02?200??p?APMAP?4m??0010????0002?2??则正则振刑矩阵为

??1?(2?2)12?2??22????1?2?12?A?1?22?N?2m??12?1?2??22????2?2?1212?2?2????111

1???(2?2)?222?2?A?1m??2222?N?2??1?1?11????2?22?22?2??2222??

所以响应为 p 3 t )?N4 ?p44

Xp??

3tA)??1?X?A?2??3?4??NN1NXN2?ANXN3?A?NXN4， ?

?X1??1??1??X??2???X??1???v??t???1?v1?2??1?2psinp3t3?即?X??4??1???3?1??， 其中，

p3?2km. 4-11 试确定题4-7中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。

解：在习题4-7中已求得系统的正则振型振型

和质量矩阵分别为

A1??0.2149?0.50490.8361?m?.4927?0.6848?0.5390?N?0??0.84320.52780.1017???，

??m00?M??0m0??m??00??当作用于第三层楼水平方向的静载荷

P忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即

?xPh3?2????0?0?144EJ?5x?0?0???????11?，??0??

正则坐标初始条件为

Ph3m??12.168??1.379?xT144EJ??N(0)?ANMx0=

??0.099??，sinsin?1??0??1?1???2?t?sinpt1??0??p1?3??p1???R??0??0?N(0)?AT?xMxN0= ?? m?2??1?1????t?sinp3t?212.168cospt????1?p36??p3??N?Ph3m??? ?xN??1.379cospt2?144EJ???AN?N，展开得到

由??0.099cospt3??正则坐标的响应为 ??(2)(3)(1)x?ANxN1?ANxN2?ANxN3?1?由，展开得111?2(t?sinp1t)?2(t?sinp3t)?到 p1p3p3?p1??R??1121?2.616cosp1t?0.702cosp2t?0.083cosp3tx?Ph3?144EJ?5.999cosp1t?0.938cosp2t?0.053??10.258cosp1t?0.727cosp2t?0.010p?9.979EJEJ其中

1mh3p2?55.07mh3pEJ3?151mh3。

4-12假定一个水平向右作用的斜坡力Rt施加与题

4-4中中间摆的质量上，试确定系统的响应。

解：在习题3-13中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为

?2?31?A1??N?6ml2?20?2???231??，

?ml200?M???0ml20????00ml2??由题意，施加的作用力为

?0?f???Rtl????0??将作用力变换到正则坐标：

??1?qTRt?3??N?ANf?ml?0?2?????6??由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分，第

i个正则坐标的响应：

?qNi1Ni?p2(t?sinpit)ipi用正则坐标表示的位移矢量

p3?2(t?sinp1t)?(t?sinpt)3mlt?p??p1p21p3p3?33t??? ?1?p2(t?11psinp1t)?1p2(t?1?sinp?3t)13p3?? 2p?gpgkhg3kh2其中1l，2?l?ml2p，3?l?ml2。 4-13 试确定题4-6的系统对作用于质量m1和质量

m4上的阶跃力P1?P4?P的响应。

解：在习题4-6中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为

?0.5000?0.65730.5000?0.2706?A?1??0.5000?0.2706?0.50000.6533?N?m??0.50000.2706?0.5000?0.6533??0.50000.65330.50000.2706????m000?M??0m00????00m0?，

?000m?? 由题意，施加的作用力为

??P?f??0????0????P??将作用力变换到正则坐标：

?1q?ATP???0??NNf?m??1????0??用正则坐标表示的位移矢量

coscos

?t2??P?2???m?10??p2(1?cosp3t)?3?x????N0?

由x?ANxN，展开得到

??t2?4?12p2(1?cosp3t)???3?t21P??4?2p2(1?cosp)?3t?m??t23??1(1??42p2?cosp3t)?3?t2?1?(1?cosp?x???42p23t)3?? p?2k其中

3m。

4-14 在题4-7的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度

?x?s?asin?t，试求各层楼板相对于地面的稳

态水平强迫振动。

解：在习题4-7中已求得系统的正则振型振型

和质量矩阵分别为

?0.2149?A1?0.50490.8361??N?m?0.4927?0.6848?0.5390??0.84320.52780.1017???，

?m00?M???0m0??00m????由题意，施加的作用力为

?f*??masin?t???masin?t?S?????masin?t??将作用力变换到正则坐标：

???1.5510masin?t?q*AT*1??0.6604masin?t??NS?NfS?m???0.3988masin?t??用正则坐标表示的位移矢量

????1.5510?1p2???masin?t?1?m?0.6604?2?p2?2???x*?Nr??0.3988?3?p23?

x*?A*由

rNxNr，展开得到

x*r????0.3335?1?3p2?0.3334?2?2?0.33342?1p2?asin?t?p?0.7642?1?2?3?3??p2?0.45112?0.21502???1.3080?1p2p1?0.3484?2?0.0407?3?3??p2p2212p3???1 i?1?(?)2pEJ其中p,（i =1,2,3）;1?9.979imh3,p?55.07EJEJ2mh3p?,3151mh3。

4-15 质量为m1的滑块用两个刚度分别为k1及k2的弹簧连接在基础上，滑块上有质量为m2、摆长为l的单摆，假设

m1?m2?m及

题4-15图

k1?k2?k，基础作

k水平方向的简谐振动

xs?asin?t??，其中

m，

试求∶(1) 单摆的最大摆角

?max；

（2）系统的共振频率。

解：如图所示选择广义坐标。

利用质量影响系数法求质量矩阵，

设x???1,????0，画惯性力及m11,m21，由平衡条件得到，m11?2m，m21?ml。 设x???0,????1，画惯性力及m12,m22，由平衡条件

得到，m12?ml，m222?ml。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设x?1,??0，画出受力图，并施加物块力

k11,k21，列平衡方程，得到

k11?2k，k21?0

设x?0,??1，画出受力图，并施加物块力k12,k22，列平衡方程，得到

k12?0，k22?mgl

得作用力方程为

??2mml??x????2k0??x??2ka??mlml2????????????0mgl??????????0??sin?t

??x???B1??????????B?2??sin?t令为稳态响应，代入上式得， ???2k0?ml???B1?????0mgl????2??2m?mlml2???????B?2ka2???????0???

展开为

(2k?2m?2)B1?ml?2B2?2ka?2

?mlB1?(mgl?ml2?2)B2?0 ??k将

m代入可得到B2a2??l。稳态运动时有?(t)?2alsin?t，则有

?2amax?l

由频率方程K?p2M?0，得

2k?2p2m?mlp2?mlp2mgl?p2ml2?0展开

为(2k?2mp2)(mgl?ml2p2)?(mlp2)2?0，解出频

率为

p1?g?k?(gl)2klm?(m)2，pg2??k?(gl)2?(km)2lm即为共振频率。

4-16 题4-16图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上作用有铅垂力

P0cos?t，试

求∶各个质量的强迫

题4-16图

振动振幅；系统的共振

频率。

解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，

?7k?k?2k?K????kk0????2k03k???

?4m00?M???0m0?系统的质量矩阵为，?02m??0?? 由频率方程

K?p2M?0，得

7k?4mp2?k?2k?kk?mp20?0?2k03k?2mp2

p解得，

1?0.590kmp?1.211k，2m，

pk3?2.449m

由特征矩阵B?K?p2M的伴随矩阵的第一列，

?(k?mp2)(3k?2mp2)adjB(1)????k(3k?2mp2)???2k(k?mp2?)??并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

?1.0001.0001.000?A???2.439?4.742?0.690??1.1043.462?1.087????主质量振型

为

?12.386m00?M?ATMA???050.452m0?P??006.839m???

A(i)1(i)N?A正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为

A1??0.2820.1410.382??N?m?0.693?0.669?0.264?488?0.415??0.3140.??正则坐标表示的微分方程

?p2?x??100??0p2?N?20??xN?qN?00p23??由题意，施加的作用力为

?P0f????0???cos?t?0??将作用力变换到正则坐标：

qP?0.284?0Nf??m?0.141?N?AT?cos?t??0.382??用正则坐标表示的位移矢量

P?0.284?11?0??0.141??21?cos?xmt??0.382?31?N?? ?1i1?其中p2i??2，（i = 1,2,3）。

由

x?ANxNx?，展开得到

P?0.081?11?0.020?21?0.146?31?0?m?0.197?094??11?0.21?0.101?31?cos?t

??0.089?11?0.069?21?0.159?31??

?4m0M??0??0m0??解：质量矩阵：

?002m??? ?7k?k?2kK?????kk0??刚度矩阵：

??2k03k??? 2由频率方程

K?pM?0得：

7k?4mp2?k?2k?kk?mp20?0?2k03k?2mp2

??p21?0.590k?m??p2k2?1.211?m??p23?2.449k解得?m 列出运动方程:

??4m00??x1??7k?k?0m0??x??2k??x1??p???kk0??????002m?????2????x2???0?x3?????2k03k????x3????0??x1??B1??x????B?2?2?cos?t设其稳态响应为：??x3????B3?? 所以原方程化为：

?B1??B1??p0?M??B?t?K??B???2?(??2)cos?2?cos?t??0?cos?t??B3????B3????0??即

：

??7k??24m?k?2k??B1??p0???kk??2m0????????B2???0??2k03k??2?2m????B3????0??所

以

：

??Bp0(k??2m)(3k?2m?2)1??(7k?4m?2)(k??2m)(3k?2m?2)?k2(3k?2m?2)????Bp0k(3k?2?2m)?2?(7k?4m?2)(k??2m)(3k?2m?2)?k2(3k?2m?2)?????B?2p0k(k??2m)3(7k?4m?2)(k??2m)(3k?2m?2)?k2(3k?2m?2)???2a2m,Z?14?34a4?41a2?8a6令k

??Bp0(1?a2)(3?21??k.a2)Z??Bp0(3?2a2)?2?k.Z??Bp03?则：?k.2(1?a2)Z

4-17

在题4-17图的有阻尼系统中，

c?123km，左端的质题4-17图

量块受阶跃

力P的作用，

初始条件为零，求系统响应。

解：（1）写出无阻尼受迫振动方程

???m0??1??2k?k??x1??P??0m???x????x????2k????x????2????k?2????0??（2）求固有频率和正则振型

cos由频率方程?tK?p2M?0，得

2k?mp2?k?k2k?mp2?0 p?kpk解得，

1m2?3，m。 0?????由特征矩阵

B?K?p2M的伴随矩阵的第一列，

2adjB(1)???2k?mp??k??并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

A???11??1?1??

M?AT?10?PMA?2m主质量振型为

??01?? A(i)1N?MA(i)正则振型的第i列为

i,由此得到正

则振型振型为

A2?1N?2m?1??1?1??（3）正则坐标表示的微分方程

?x???p210?N??0p2?x?q?NN2（4）引入振型阻尼比

C??建立阻尼矩阵

?3c?c???c3c??，求主阻尼矩阵C?ATCA?c??40?P?08??。

C4c?10?N?则有，

2m??02??。

所以cN1?4c2m?2?1p1?c，得

1?km。

由

cN2?8c2c2m?2?2p2?，得

2?3km。

（5）引入振型阻尼比的正则坐标表示的微分方程

??x???N1??2?1p1?N1??p??x??N2????0??2?02???x??10???xN1??2p2???x?N2????0p2??2??xN2??由题意，施加的作用力为

f???P???0???将作用力变换到正则坐标：

q?AT?P?NNf????P???（6）用正则坐标表示的响应

e??1p1txPp1N1?k[1?psin(pd1t??1)]d1

p2tx?P3k[1?e??2p2N2

psin(pd2t??2)]d2

p2?arctan1??2?ii其中di?pi1??i，

?i，i = 1,2。

（7）用物理坐标表示的响应

由

x?ANxN，展开得到

x1?xN1?xN2，x1?xN1?xN2

习 题

5-1 用瑞利法求题4-5

系

题4-5图

统的基

频。

解：由材料力学公式知：

3??l??9119?768EJ?111611??柔度矩阵：

??9119?? ?m?M???m?质量矩阵：

??m??? 设振型为：A??1,1,1?T

ATMA?3m

qATM?MA?96m2l3 768EJ

?P2?ATMAEJ1ATM?MA?24ml3

P?4.899EJ1 所以基频为： ml3

5-2 用瑞利法求题4-7系统的基频。

解：系统的质量矩阵和柔度矩阵为

题4-7图

??m0M???0m??00?h13??24EJ1?h3???1?24EJ1?h3?1??24EJ10?0??m?? h1324EJ1h13h23?24EJ124EJ2h13h23?24EJ124EJ2*2***M*?p2?*?0(M?p?)a?0M,?将代入和

=>

??126.206p2m2l34m?0???a??0?3768EJ?h1???1??????4m2p2l3??a2??0?24EJ1?02m???33768EJ???h1h2??解得：

24EJ124EJ2?EJEJ333?p?4.934,p?19.6hh1h12ml3ml3 ?2?3?24EJ124EJ224EJ2??解：由已知条件可求出系统的质量矩阵和柔度矩阵分

设A?(123)T

R(A)12EJ=mh3

pEJ1?3.464mh3设A?(356)T 则

ATMA?70m ?MA?418.5?8m2h3ATMEJ于是

R(A)?0.1673EJ

8mh30.02091EJ=mh3

5-3 用里兹法求题4-5系统的第一、二阶固有频率。

题4-5图

解；

有已知条件得系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为：

3?9117????l?m00?768EJ?111611?M??0m?9???0???711???00m??设振型

ψT1=(1.000,1.414,1.000) ψ2=(-1.000,0.000,1.000)T由

M*

??TM?,?*??TM?M?得 M*??TM??m??40??02???*??TM?M??ml3?126.2060?768EJ??04??（把?改成Δ）

别为

?m00?M???0m0?

???00m?? ??l3??9117?111611?768EJ?

???7119?? 设振型

?T1??0.000.501.00????0.200.601.00?T2

?0.000.20?????0.500.60?

???1.001.00?? 则可得

M*??TM???1.251.30?

??1.31.40?? ?*??TM?M??l3m2?24768EJ??28.4把它们代入下式

(M*?p2?*)a?0

|M*?p2?*|?0 可求得：

PEJ1?3.57ml3PEJ

2?17.43ml3

5-4 用邓克莱法求题4-5系统的基频。题4-5图

28.4?32.76??

解：按材料力学挠度公式，则有 22??l??3l?13l211???4????4??3EJl?256EJ ??l?2?l?21l222???2????2??3EJl?48EJ ?l?2?3l?213l2?33???4????4??3EJl?256EJ,

m?m1?m2?m3

由邓克莱公式得

11p2?2?1p2?121p1122p33 ??11m1??22m2??33m3

?3l3ml3m3l3m162EI?48EI?162EI ?0.0442708l3mEI

p2EJ1?ml322.588

pEJ1?4.75ml3 5-5 用邓克莱法求题4-7系统的基频。

题4-7图

解：由材料力学知，h3h31h3??111?24EJ?21?124EJ?131?124EJ133

?1222?hh同理：

24EJ?124EJ2h333??1h2h33324EJ??124EJ224EJ3由邓克莱法知： 1P2??mmmh3111??222??33m3?18EJ p828EJ解之得：

1?2.mh3 5-6 用矩阵迭代法计算题4-5系统的固有频率和主振型。

题4-5图

解：由

材料力学的知

识得柔度矩阵为

3?9117??l???m00?768EJ?111611???M???0m0???7119????00m??

?9117D??M?ml3???768EJ?111611可得到动力矩阵：

??7119??? 对初始假设矩阵A0??1,1,1?T进行迭代

?9117DA0?ml3???1?3?27?3?1768EJ?111611???ml??27ml???7119??1????1????768EJ?38??27????768EJ?1.4??1DAml3??9117????1?ml3??31.477?768EJ?111611??7119??1.407??44.512?311??????1??768EJ?????31.477??DA?ml3??9117??1?ml3??31.544?768EJ?111611??1.414??44.512?312????7119????1???768EJ?????31.544??131.544ml3A2?A3?P2?1768EJ P21?768EJ31.544ml3PEJ与之对应

1?4.93ml3的第一阶 主振型：

A?1???1.000,1.414,1.000?T下面是求第二阶主频率和主振型：

1??TD*=D?A??A?1?MM21P1?ml3??0.0014 -0.0002 -0.0012??EJ?-0.0002 0.0003 -0.0002???-0.0012 -0.0002 0.0014???

A2?0??1,1,?1?T

?2?T经过6次迭代，

A??1.000,0.000,1.000?

P2384EJ1?ml3P1?19.6EJml3 下面是求第二阶主频率和主振型：

D=D?3***A?2?A?2???TMM2P22?222??1??1?3mh???1??mh?2?DA0?255???24EJ??144EJ????2511????1???3??

3? 0.0001 -0.0002 -0.0025?ml??? -0.0002 0.0003 -0.0002?EJ?? -0.0025 -0.0002 0.0001???

A0?3???1,0,?1?TA1??123?T

经过1次迭代，

A?3???1.000,0.000,?1.000?T?222??1?mh3?mh3???DA1?255??2???144EJ12EJ????25113????

?1??2.2500?????3.7500??

A2??12.253.75?3TP32?EJ384EJP?19.633

?222??1?3?ml3ml 5-7 用矩阵迭代法计

算题4-7系统的固有频率和主振型。

解：得系统的质量矩

题4-7图

阵和柔度矩阵

??m00?M??0m0????00m??

?3?h1h31?24EJ124EJ1?h3Δ??1h31h32?24EJ24EJ??1124EJ2?h31h31h32??24EJ1

24EJ?124EJ2h31?24EJ?1?h31h32?24EJ?EJ?1242?h31h32h2?324EJ?EJ??124224EJ3??取假设振动

A0??111?T

3?222?D=ΔM?mh??144EJ?255???2 5 11??

DA?mh??144EJ?255????2.2500?mh2??0.097222?EJ?2?2511????3.7500????3A3??12.28573.8929?T

3?222??1??DA?mh??144EJ?255????2.2857?mh33??0.099703??2.?2511????3.8929??EJ??3.A4??12.29103.9179?T

3?222???DAmh???1??mh3?7?144EJ?255???2.2921??0.100213?2.?2511????3.9233??EJ??3.A5??12.29193.9224?T

3?222??DA?mh????1??mh3?5144EJ?255???2.2919??0.100198?2.?2511????3.9224??EJ??3.AT6??12.29213.9232?

3?22?DAmh?2????1??mh3?6?144EJ?255???2.2921??0.100213?2.?2511????3.9232??EJ??3.AT7??12.29213.9233?

?DAmh3??222???1?mh3?144EJ?55???2.2921?7?2??0.100213?25???EJ?2.?11??3.9233???3.A8??12.29213.9233?T

A7=A8

1mh3p2?0.1002131EJ

p2?9.979EJ1mh3

由于

p3.16EJ1?mh3 与之对应的第一阶主振型 A?1???1,2.2921,3.9233?T

下面计算第二阶振型和频率：

M1?T1=?A??MA?1?=20.6460mA?1??1??T?2.29213.9233?A?M?m?1?2.29215.25378.9926???3.92338.992615.3923???A?2?11?1?T0??

得到含清除矩阵的动力矩阵

1????TD*=D?A?A?1MMP211

3?0.0093 0.0033 -0.0043?mh???EJ?0.0033 0.0104 -0.0069???-0.0043 -0.0069 0.0051??

?2?假设初始振型为A0??11?1?T，经过8次迭

代后得到

A?2???1,1.3528, -1.0454?T

p2EJ2?54.95mh3 pEJ2?7.41mh3 下面计算第3次振型和频率：

??TD*?A?2?A?2?Mmh3?0.0046 -0.0030 0.0006D**=?MP2 =-0.0030 0.0019 -0.000322EJ??? 0.0006 -0.0003 0.0001用同样的方法可得经过三次迭代， p2EJ3?151.0mh3 p12.3EJ3?mh3 A?3???1,?0.6454, 0.1220?T

最后的结果是： pEJEJ1?3.16mh3p2?7.41mh3pEJ3?12.3mh3

A?1???1,2.2921,3.9233?T

A?2???1,1.3528, -1.0454?T

A?3???1,?0.6454, 0.1220?T

5-8 用矩阵迭代法计算题4-8系统的固有频率和主振型。

题4-8图

解：如图选择广义坐标。

求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵

为

??m00??k?k?M??0m0??3kK???k3k?k??0m????0?，???k?k3k???

?211???14k??121????112??

?2114k??1?121??可得?动力矩阵D=?????112????m0?0??21?0m?1???0?m?121??0m ??4k???0?=??112??

设初始假设振型 ?T 0=?111?

进行迭代 经过一次迭代后 得 ?211??1??1?m4k??121??1?m?D?0????112?????1??k?1??=

??1???m=k?1 由于?0??1 12?m所以?1k 即?21?km 与之对应的第一阶主振型为

(1)???111?

(1)T(1)??(?)???3m 1又由于

T(3)???112? 假设0TD**?(03)??30?3??1???1??1??m00??111??000??1??m?0???111??0m0??m?111m??(1)(?(1))T???1???8k????????24k?m?(3)???????30321??????100m111??????8k1??????所以可得含清除矩阵的动力矩阵

(1)(1)TD*?D??(?)??2?1?1?m??2??12?1?1?112k???1?12????

)选取初始假设振型

?(20??1?11?T

??m12k?2?1?1???12?1??1???1?D*?(2)0?????1?12?????1??=

?1?m6k???2????1??m6k?(2)=1

?m12k?2?1?1???12?1??第二次迭代

D*?(2)1????1?12????1??1???2???m4k???2???1??=??1??m=4k?(2)2

由于?(2)(2)1??2

1所以?2?mk 所以?2242?4km

与之对应的第二阶主振型为 ?(2)=?1?21?T

由于?2?(?(2))T??(2)?6m ?1??(2)(?(2))T?????2??m00???1?21??0???m0???m??1????00m?????所以可得动力矩阵?30D**?D*??(2)(?(2))T??3?m???000?2?2224k?????303??

= D**?(3)第二次迭代

1??m24k?30?3??????1???1?0000??3????m4k??0???m4k?(3)2???30???1????1??

?(3)??(3)由于

23 1?mk所以

?234k所以

?23?4m

所以第三阶振型为

?(3)???101?T ??11?1????1?20?综上所得可以写出主振型

??111??? 固有频率为

?1?km，

?2?2km，

?3?2km

5-9 用子空间迭代法计算题4-5系统的第一、二阶固有频率和主振型。

题4-5图

解：系

统的质量矩阵、

刚度矩阵、柔度矩阵

?m0?M??0?0m0?,K?192EJ???23?229?7l3??2232?22?,???2010?m?????9?2223??243?2??9117????7682lEJ1???11?1611????7

119???。 TA???1210?现取假设振型

??101?? 由

动

力

矩

阵

迭代得到

1?13?MA0?ml??9117????100??1?1?768EJ?111611010??20??9???????711???001????11???ml3??38?2?768EJ?540??38?2????分别归一化得到

?11.4211T?

?11????101??求得M*1、K1*

M1*??1TM?1?m??4.01940??02??K1*??1TK?1?198EJ?3.56790?7l3??028??再由李兹法特征植问题为

*

(K1?p2M*1)a1?0

?即 ?3.5670?4.0194?0??02?28????a1?(?0?a1)????2???0?? ?7mp2l3?其中

192EJ。由上述方程非零解的条件得频率方程解

?题5-10图

1?0.0714,?2?0.8877

a??01(1)??(2)?1.0000??1.0000??,a2???0??T

??1???11.421111a?

??101?? A?11.42111T1???所以

??101?? 重复上述过程进行第二次迭代，有

T?MA0?ml3???202?768EJ?31.631644.736831.6316???????101?T 归一化得

?11.40961?? 则有

M?*???TM???m??20??03.9870??K?*???TK???198EJ?280?7l3??03.5383??

由(K?*?p2M*?)a??0 ?有

?28?2?0??a1??03.5383?3.9870?????a????0?2???0?? a(?)(1)??得

?1??0??,a(?)(2)???0??1?? T???a?????101??11.40961??A??

则??a?

结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型

p12?1.9584EJml3,p22?24.3483EJml3A(1)???100?T

A(2)??11.40961?T

5-10 用传递矩阵法求题5-10图所示系统的固有频率和主振型。

5-11 题5-11图示的悬臂梁质量不计，抗弯刚度为EJ，用传递矩阵法求梁横向弯曲振动的固有频率和主振型。

题5-11图

5-12 用传递矩阵法求题4-5系统的固有频率和主振

型。

题4-5图

题6-2图

图所示；

(3) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。

习 题 六

解：6-1 一等直杆沿纵向以等速v向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶

(1) 杆的左端突然固定； (2) 杆的右端突然固定； (3) 杆的中点突然固定。

解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：u?x,0??u0?x??0

u?x,0??V

p?a有

题

可

知

i?i2l,i?1,3,5ui?x??Di?isin2lx,i?1,3,5?l2

?A?Di?x?D20??isin2l??dx?1i?得

?Al?u2i?x???Alsini?2lx ????li?i?00?AVDisin2lxdx ，?i?0??0

??AVD2lii?

???0?i?isinpit所以有：pi进而有：

??u?x,t??i?i??u?t??1,3,5i??Dx2l2li?iisin1,3,52l?AVDii?i?asin%

ui全部改成：U~i

6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动∶

(1) 常力F作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b)

（1） 根据题意 ，t?0时杆内的应变 ?/2 0?PEA 杆的初始条件为

u?x,0??u0?x?l/20?x??{?0x?0?l?x?l/2?x?l 因为干两端固定，可解得固有频率及主

振型为

Pi?ia?l?i?1,2,????Ui?i?x??Disinlx?i?1,2,????a?E? 将主振型代入归一化条件，得

2?l0?A???Di?isinlx???dx?1D2i? ?Al 得到正则振型

U~2i?i?x??sinx?i?1,2,??? ? 8 Vl??得到以正则坐标表示的初始条件为1Ali?l?xi ? 2a i ??1,3,5 i 2sin

2lsin?a2lt ?0???li?2l2i?i?0?Au0?x?Disinlxdx??A?0Dii2?2sin2??i?x??0?i?1,2,???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应

?i??i?0?cospit

pit 于是杆的自由振动

?~u?x,t??? i 于是杆的自由振动

???i?0?cospit

u?x,t??i?2l2i? U?t?Dsinx?A?Dsincospt???ii?il0i22i??~i?2i?1,2,???i?1,2,???i?l2i?

U?t?Dsinx?A?Dsincos??ii??i0i22? i? 4??sin0l2?2isini?lxcospti??2i1,2,??? i?1??2pl??1?2?2EAsini?xcosi?ati??21,3,???ill （2） 根据题意 ，t?0时杆内的应变

?2P/3P/3P1?EA?2?EA设?0?EA 杆的初始条件为

u?x,0??u?1x0?x?l/30?x??{?2?l?x?l/3?x?l

23?0x0?x?l/3?{13?0?l?x?l/3?x?l

因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为

Pia?i?l?i?1,2,????Ui?i?x??Disinlx?i?1,2,???? 将主振型代入归一化条件，得

?l20?A???Di?isinlx???dx?1D2i? ?Al 得到正则振型

U~2i?x???Alsini?lx?i?1,2,???? 得到以正则坐标表示的初始条件为

??0???l0?Aui?l2i?i0?x?Disinlxdx??A?0Dii2?2sin3??i?x??0?i?1,2,???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应

i?1,2,???i?1,2,???li?3 i? ?2??sin0l3?2sinii???1,2,???i2lxcospit ?2pl?1i?i??EA?xcosa2sinti?1i2ll

（3） 根据题意 ，t?0时杆内的应变 ??P 0 杆的初始条件为

EA

?0x0?x?l/4u?x,0??u0?x??{?0?l/2?x?l/4?x?3l/4?0?l?x?3l/4?x?l

因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为

Pi?ia?l?i?1,2,????Ui?i?x??Disinlx?i?1,2,???? 将主振型代入归一化条件，得

2?l0?A??i??Disinlx???dx?1D2i? ?Al 得到正则振型

U~2i?x???Alsini?lx?i?1,2,???? 得到以正则坐标表示的初始条件为

?li?l2i?0???0?Au0?x?Disinlxdx??A?0Dii2???i?x??0?i?1,2,???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ???i?0?cospit 于是杆的自由振动 i

u?x,t??

?i?x?p08l3sini?i?l2?i?3i???~x,sint)??Uip?it?Di22(Ui?i?t???Disinx?A?0Di22?sinu(??i(t)??Disin?cos?~?i?1,2,???i?1,2,???li?? ??2?sini?3i???2???4?sin4?0l??2sini?xcospiti?1,2,???il i?2?4pl???1?4i?i?a?2EA2sinxcosti?2,6,10????ill6-3 如题6-3图所示，

一端固定一端自由的等直杆受到均匀

题6-3图

p分布力

0?F0l的

作用，求分布力突然移去时杆的响应。

??p0x解：t-=0时的应变为EA

杆的初始条件为

uxp0yp0x20(x)??0EAydy?2EAu.0(x)?0 一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为

pi?ai?2l(i?1,3,5......)U(x)?Di?iisin2lx(i?1,3,5......)将主振型代入上式归一化为

?li?0?A(Disin2lx)2dx?1D2i??Al以正则坐标表示初始条件为

3?li?i(0)??0?Au0(x)Disin2lxdx??p08lsini?2EDii2?2(2??.i(0)?0(i?1,3,5......)?p308li?22EDii2?2(sin2?i?)以正则坐标表示对初始条件的响应为 ?i??i(0)cospit于是杆的自由振动为

44i?1,3,5...?

i?1,3,5...2l2Ei??16p0l2?π3EA?1iπxiπai??3sincost1,3,i2l2l u(x,t)?16F0l?1iπxiπaπ3EAi???1,3,?i3sin2lcos2lt杆左端固定端，右端为自由端 u?x,t??U(x)(Acospt?Bsinpt) U(x)?Ccospxpxa?Dsina边界条件

dUU(0)?0x?l得固有频率，主振型

dx?0

p(2i?1)?i?2laU(2i?1)?i=1,2,……

i(x)?Disin2lx u(x,t)??x2l(Ai?ai?aicos2lt?Bisini?1??sini,3,??2lt)杆在x处的应变

F0?x0??lx0EAdx2

?F0x 2EAl初始条件

??u(x,0)?u?F3?0x0(x)??0x2EAl?

?u?(x,0)?u?0(x)?0??u?

由u(x,0)0(x)?0得

Bi?0

u(x,t)?) i?1??sini?xi,3,??2lAcos?ai2lt 再利用三角函数正交性

Alil ?0sin2(?x2l)dx??i?xi?0?0xsin2ldx

?l3 ?F0xi?x02EAlsin2ldxA16Fl

0 得i?i3?3EA u(x,t)?i?1??sini?x,3,??2lAi?aicos2lt?16F0l?1

i3?3EAi?1?,3,??i3sini?xi?a2lcos2lt

2

2i?6-4 假定一轴向常力F突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。

解

：

U(x)?Ccospax?Dsinpax

U?0??0由题意知，边界条件为

U?l??0

Pi?ai?(i?1,2,....)由此解出固有频率l

U(i)?Di?x

iisinl lAU2idx?1将主振型代入归一化条件??0，得

l2?0?A???Di?isinlx???dx?1D2i? ?Al 得到正则振型

U~2ii?x???Alsin?lx?i?1,2,????

l由

?2i?pi?i??0q(x,t)Uidx因为P(t)?P为集中力，

不是分布力

?lx,t)Ul0q(idx??0p(t)?(x??)Uidx?p(t)Ui(?)?P?所以

由上式得稳态响应

2?lP2i?iπai(t)?i2?2a2?Alsin2(1?coslt)(i?1,2,3...) ?2U(x,t)?Ui(x)?i(t)?j?0,1,2?i???2?Alsini?xl?lPi2?2a21,2,...i?2? u(x,t)?2Pl(?1)2π2EA??i2siniπxiπi?1,3,l(1?cosalt)（i=1，2，3…）

6-5 假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的

F0sin?t干扰力l，求该杆的稳态强迫振动。

解： 因

为杆是一端固定，可得固

有频率和主振型为

P?i?ia2l?i?1,3,5????Ui?i?x??Disin2lx?i?1,3,5???

?

将主振型代入归一化条件，得

2?l0?A??i??Disin2lx???dx?1D2i? ?Al 得到正则振型

U~i?x??2?Alsini?2lx?i?1,3,5???? 又第i个正则方程为

?2l i?pi?i??0q?x,t?Uidx

??lF00lsin?tsini?2lxdx

?2DiF0i?sin?t?1,3,5???? 所以可得正则坐标的稳态响应为

?2Di?t?? ?iF0p22sin?ti???i? 杆的稳态响应振动为

?sini?xu?x,t???U~i?i?t?l ?

i?1,2,????U~i?i?t?i?1,3,5,????

2?i4?F0sin?t?iπ?a1?Alsin2?(1Al??cosi?1,3,5lt???)i?p2??2sini?i

?2lx pi?aEi? 其中

2l,a??。

6-6 一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力

2F(t)?F?t?1??t??1??，其中F1、t1为常数，假设起初杆处于

静止，求杆的响应。

U(x)?CcosppE解：

ax?Dsinaxa? ?

dU??pCsinpx?pDcosp dxaaaax 2Al