解析 由题意,μ=78,σ=4,在区间(66,90)的概率为0.9974,成绩不小于90的学生所占的百分比为

(1-0.9974)=0.13%,故选A.

6.先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=

( )

A.

B.

C.

D.

答案 A 解析 设事件A为“x+y为偶数”中包含的基本事件为

(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3)(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,事件A中含有的B事件为

(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6个,所以P(B|A)= ,故选A.

7.已知随机变量ξ~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形OABC中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )

注:P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.

A.6 038 答案 B B.6 587 C.7 028 D.7 539

解析 ∵随机变量ξ~N(1,1),∴P(0<ξ<1)= P(μ-σ<ξ<μ+σ)=34.13%,

33

∴S阴影=12-0.3413=0.6587,∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.6587=6587(个).选B.

8.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有( )

(附:若X服从N(μ,σ),则P(μ-σ

B.4 772件

2

C.6 826件 答案 D D.8 185件

解析 由题意可得,该正态分布的对称轴为x=100,且σ=2,则质量在[96,104]内的产品的概率为

P(μ-2σ

结合对称性可知,质量在[98,104]内的产品估计有0.6826+数量为10000×0.8185=8185件.故选D.

. - .

=0.8185,据此估计产品的

9.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,50).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为(参考数据:若X~N(μ,σ),有P(μ-σ

2

2

2

B.0.682 6 D.0.954 4

∴μ=800,σ=50,∴P(700

34

∴根据正态分布的对称性可得

p0=P(X≤ =P(X≤ +P(800

命题角度6期望与方差的求解

高考真题体验·对方向

1.(2019浙江·7)设0

X P 0 a

1 则当a在(0,1)内增大时,( ) A.D(X)增大

B.D(X)减小

D.D(X)先减小后增大

C.D(X)先增大后减小 答案 D 解析 由分布列得E(X)= ,则D(X)=(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.

2

-0× +

2

-a× +

22

-1×a-+ ,所以当a在

2.(2017全国Ⅱ·13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)= . 答案 1.96

解析 由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则

D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.

35

3.(2016四川·12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .

答案 解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1- .

所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,

其中P(X=0)= ,

P(X=1)= ,

P(X=2)= ,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0× +1× +2× .

典题演练提能·刷高分

1.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则n,p分别等于( )

A.n=45,p=

B.n=45,p=

C.n=90,p= 答案 C

D.n=90,p=

解析 随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得np=30,np(1-p)=20,

解得p= ,n=90,故选C.

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