另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。

生产批量 650 340 400 800 300 600 单位成本 2.48 4.45 4.52 1.38 4.65 2.96 生产批量 720 480 440 540 750 单位成本 2.18 4.04 4.20 3.10 1.50

49 第11章 马氏链模型

11.1 在钢琴销售模型中，将存贮策略修改为：

（1）当周末库存量为0或1时，订购，使下周初的库存量达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。

（2）当周末库存量为0时，订购量为本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。（钢琴销售模型见姜启源《数学模型》第338页）

11.2 针对近亲繁殖模型，推导转移概率矩阵P的第4、5行。（近亲繁殖模型见姜启源《数学模型》第343页）

11.3 在基因遗传过程中，考虑3种基因类型：优种D(dd)，混种H(dr)和劣种R(rr)。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。11.4 色盲具有遗传性，由两种基因c和s的遗传规律决定。男性只有一个基因c或s，女性有两个基因cc，cs或ss，当某人具有基因c或cc时则呈色盲表征。基因遗传关系是：男孩等概率地继承母亲两个基因中的一个，女孩继承父亲的那一个基因，并等概率地继承母亲的一个基因。由此可以看出，当母亲色盲时男孩一定色盲，女孩却不一定。用马氏链模型研究非常极端的近亲结婚情况下的色盲遗传，即同一对父母的后代婚配。父母的基因组合共有6种类型，形成马氏链模型的6种状态，问哪些状态是吸收状态。若父亲非色盲而母亲为色盲，问平均经过多少代其后代就会变成全为色盲或全不为色盲的状态，变成这两种状态的

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概率各为多大？

11.5 两种不同的外部表征是由两种不同基因决定的，这两种基因的遗传关系是相互独立的。例如猪的毛有颜色表征（黑和白）与质地表征（粗和光）。对于每一种表征仍分为优种D(dd)，混种H(dr)和劣种R(rr)3种基因类型，两种表征的组合则有9种基因类型。在完全优势遗传中，优种和混种的猪毛颜色黑、质地粗，劣种则颜色白、质地光，这样共有4种外部表征组合，即黑粗、黑光、白粗、白光。假设群体的两种外部表征对应的基因中d和r的比例相同（即均为0.5），在随机交配的情况下构造马氏链模型。证明在稳定情况下上述4种外部表征组合的比例为9：3：3：1。

11.6 如果在等级结构模型中将距离函数的定义改为

kD(a(1),a(2))???i|a(1)i?a(2)i|

i?1试给出求解问题E1的方法。（等级结构模型见姜启源《数学模型》第345页）

51 第12章 动态优化模型

12.1 某工厂要对一种产品制订为期4个月的生产计划。根据市场调研，在今后4个月内，市场对于该产品的需求量如下表所示：

月份i 1 2 3 4 需求量pi 2 3 2 4

假定该厂生产每批产品的固定费用为3千元，若不生产，则为零。每单位产品的可变成本为1千元。同时，任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位。则任何时期生产x个单位产品的成本费用为：

生产成本???3?1?x,0?x￡6?0,x?0

又设每时期的每个单位产品库存费用为0.5千元，同时规定在第1个时期开始之初及在第4个时期之末，均无产品库存。

问：在满足上述条件下，该厂应如何安排各个时期的产量与库存，才能使总成本费用最低？

12.2 今有10单位资源可用于3种产品的制造，当将xi单位的资源用于制造第i种产品时（i?1,2,3），所获得的收益分别为：

g1(x1)?5x1 0￡x1￡10

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g2(x2)?x2 0￡x2￡10

g3(x3)?0.07x23

0￡x3￡10

假定这些资源可用非整数单位数量分配，那么，这些资源应如何分配，才能使总收益最大？最大收益是多少？

12.3 一旅行者必须在旅行中携带一些物品，现有n件物品，第i件物品的重量为ai公斤，携带的“价值”为c（ii?1,2,?,n）现在问他应带那些物品使得物品的总重量不超过6公斤，又使总的“价值”最大？

12.4 假定有一笔1000元的资金依次于三年年初分别用于工程A和工程B的投资。每年初如果投资工程A，则年末以0.6的概率回收本利2000元或以0.4的概率分文无收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000元或以0.9的概率回收1000元。假定每年只允许投资一次，每次投1000元（如果有多余资金只能闲置），试确定：

（1）第三年末期望资金总数为最大的投资策略；

（2）使第三年末至少有2000元的概率为最大的投资策略。 12.5 某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下生产时，产品年产量s1?8u1，式中u1为投入生产的机器数量，机器的年折损率为a?0.7，即年初完好的机器数量为u1，年终就只剩下0.7u1台是完好的，其余均需维修或报废。在低负

53 荷下生产时，产品年产量s2?5u2，式中u2为投入生产的机器数量，机器的年折损率为b?0.9。设开始时，完好的机器数为

x1?1000台，要求制定一个五年计划，在每年开始时决定如何

重新分配完好机器在两种不同负荷下工作的数量，使产品五年的总产量最高。

12.6 某工厂新添100台设备，打算生产A，B两种产品。如果生产产品A，每台设备每年可收入5万元，但损坏率达60％，如果生产产品B，每台设备每年仅收入3万元，而损坏率为30％， 三年后的设备完好情况不计，试问应如何安排每年的生产，使三年的总收入最大？

12.7 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成一定的经济损失。如果在零件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？

12.8 建立交货时间为随机变量的存储模型。设商品订货费为

c1，每件商品单位时间的存储费为c2，缺货费为c3，单位时间

需求量为r。下图中L称为订货点，当存储量降至L时订货，而交货时间X是随机的，如下图中X1，X2??，设X的概率密度为p(x)，订货量使下一周期初的储存量达到固定值Q。为了

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使总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确定最佳订货点。

q Q

r r L

o X1 t

X2

12.9 经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力。假设运

动员克服生理限制后能发挥的冲力f(t)满足f?(t)f(t)??1k，k是冲力限制系数，f(0)?F为最大冲力。

将上述关系代入下面的赛跑模型：

??(t)????f(t)， ?(0)?0 求出短跑比赛时速度?(t)和距离s(t)的表达式，及达到最高速度的时间，做出?(t)的示意图。

某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离s处所用的时间和当时的速度?如下表所示（平均值）：

55 s(m ) 0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 t(s ) 0 0.955 2.435 3.435 4.355 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575 ?(m s) 0 5.24 9.54 10.52 11.19 11.62 11.76 11.49 11.47 11.36 11.22 试从这组数据估计出参数?，k，F。算出?(t)的理论值与实际数据比较。你对这个模型有什么解释和评价。

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