10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N},B={x|x=2,n∈N}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为 . 【答案】27
【解析】①若an+1=2(k∈N),则Sn=2+2+…+2+1+3+…+2-1=2-2+(2)?(2)+2-2>12·2. 令2=t?t+t-2>12t?t(t-44)>8.
4
k
k
*
1
2
k-1
k
k
k-12
k-12
k
k
*n*
1
2
∴t≥64?k≥6.此时,n=k-1+2=37. ②若an+1=2k+1(k∈N),
则Sn=2+2+…+2+1+3+…+2k-1(2<2k+1,t∈N), ∴Sn=2-2+k>12(2k+1)?2>-k+24k+14. ∴-k+24k+14<2<4k+2?k(k-20)>12.
取k=21,此时2<2<43(舍),取k=22,29<2<45,t=5,n=5+22=27. 由①②,得nmin=27.
11.(2017·全国2·理T15)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则∑【答案】??+1 【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知{
??(??-1)??(1+??)
d=. 222
1
1
2??
1
=____________. ??=1????
??
2
t+1
t+1
2
t+1
2
1
2
t
t
*
*
k-1
77
tt
??1+2??=3,
4×3
4??1+2??
??=1,解得{1 =10,??=1.
所以Sn=na1+
1
所以??=??(??+1)=2(??-??+1).
??所以∑
1111111=2[(1-)+(-)+…+(-]=2(1-))223????+1??+1??=1????
??
=
2??
. ??+112.(2017·全国3·理T14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= . 【答案】-8
【解析】设{an}的公比为q,则由题意, ??(1+??)=-1,??1=1,3得{1解得{故a4=a1q=-8. 2??=-2,??1(1-??)=-3,
13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=4,S6=4,则a8= . 【答案】32
【解析】设该等比数列的公比为q,则S6-S3=4?4=14,即a4+a5+a6=14.①
63
7
7
63
21
∵S3=4,∴a1+a2+a3=4. 由①得(a1+a2+a3)q=14,∴q=∴a1+2a1+4a1=4,a1=4. ∴a8=a1·q=×2=32.
14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N,则a1= ,S5= . 【答案】1 121
【解析】由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1, 所以a1=1,a2=3.
再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).
又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以
1-35S5==121. 1-3*
7
3
3
77
1474=8,即q=2.
71
14
7
15.(2016·北京·理T12)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= . 【答案】6
【解析】∵{an}是等差数列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0. ∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2. ∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.
16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 . 【答案】64
【解析】由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,
13
两式相除得??(??=5=2,解得q=2,a1=8, +??13)
??+??101
所以a1a2…an=8
n
11+2+…+(??-1)
·(2)
=2
-??2+
127??
2,函数
127
f(n)=-2n+2n
12的对称轴为n=-
722×(-2)1=3.5, 又n∈N,所以当n=3或4时,a1a2…an取最大值为2
*
-×32+
7×3
6
2=2=64.
17.(2015·全国1·文T13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n= . 【答案】6
??+1
【解析】∵an+1=2an,即??=2,
??
??
∴{an}是以2为公比的等比数列.
22
又
2(1-2??)n
a1=2,∴Sn=1-2=126.∴2=64,∴n=6.
18.(2015·湖南·理T14)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= . 【答案】3
【解析】设等比数列{an}的公比为q,则an=a1q=q.
因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q),
整理得q-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).
所以等比数列{an}的首项为a1=1,公比为q=3,故an=3.
19.(2015·福建·文T16)若a,b是函数f(x)=x-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 . 【答案】9
??+??=??>0,??>0,
【解析】由题意,得{∴{
????=??>0,??>0.
-2+??=2??,??=1,??=5,
不妨设a ??=4.????=4,??=4.20.(2015·江苏·理T11)设数列{an}满足a1=1,且an+1- an=n+1(n∈N).则数列{}前10项的和为____________. 【答案】 【解析】a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n, 以上(n-1)个式子相加,得an-a1=2+3+4+…+n. ∵a1=1,∴an=1+2+3+…+n=∴ 1 ???? ??(??+1) . 220 11 * 2 n-1 2 2 n-1 n-1 n-1 1???? = 211 =2(-). ??(??+1)????+11 1 1 1 1 ∴S10=2[(1-2)+(2-3)+(3-4)+…+ (9-10)+(10-11)]=2(1-11)=11. 21.(2015·全国2·理T16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= . 【答案】?n 【解析】由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,两边同除以SnSn+1得?????=1,即?????=-1,则{??}为等差数列,首项为 ????????+1??+1 1 =-1,公差为??1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 d=-1,∴??=-n.∴Sn=-??. ?? 11 23 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= . 【答案】10 【解析】根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10. 23.(2015·陕西·文T13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 【答案】5 【解析】由等差数列的性质,得a1+an 2=1 010, 又∵an=2 015,∴a1=5. 24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 . 【答案】4 【解析】设公比为q,则由a7 5 3 4 2 2 2 4 8=a6+2a4,得a1q=a1q+2a1q,q-q-2=0,解得q=2(q=-1舍去),所以a6=a2q=4. 25.(2014·广东·文 T13)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= . 【答案】5 【解析】由等比数列性质知a1a5=a2a4=??2 3=4. ∵an>0,∴a3=2. ∴a1a2a3a4a5=(a5 1a5)·(a2·a4)·a3=2. ∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log5 2(a1a2a3a4a5)=log22=5. 26.(2014·安徽·理T12)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= . 【答案】1 【解析】设数列{an}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d, 由题意得,(a2 2 2 1+1)(a5+5)=(a3+3),即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3),整理,得(d+1)=0, ∴d=-1,则a1+1=a3+3, 故q=1. 27.(2014·全国2·文T16)数列{an}满足a1 n+1=1-an ,a8=2,则a1=____________. 【答案】1 2 【解析】将a11 8=2代入an+1=1-an ,可求得a7=2; 则 24