十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题08 数列
一、选择题
1.(2019·全国1·理T9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( ) A.an=2n-5 C.Sn=2n-8n 【答案】A
【解析】由题意可知,{
S4=4a1+
4×3
·d22
B.an=3n-10
D.Sn=n-2n
122
a5=a1+4d=5,
=0,
a=-3,2
解得{1故an=2n-5,Sn=n-4n,故选A.
d=2.
2
2.(2019·浙江·T10)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=????+b,n∈N,则( )
*
A.当b=2时,a10>10 C.当b=-2时,a10>10 【答案】A
1
B.当b=4时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10
1
22222【解析】当b=2时,a2=??1+2≥2,a3=??2+2≥4,a4=??3+2≥16≥1,当n≥4时,an+1=????+2≥????≥1,则
111131171
lo??17an+1>2lo??17an?lo??17an+1>2,则
161616n-1
217
an+1≥（16 ）
??-1
(n≥4),则a10≥（16） 2=（1+16）=1+16+
64
17
6
164
64×631
×+…>1+4+7>10,故选A. 21623.(2018·全国1·理T4)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 【答案】B
【解析】因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.
4.(2018·浙江·T10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( ) A.a1
【解析】设等比数列的公比为q,则 a1+a2+a3+a4=
??1(1-??4)??1(1-??3)
,a. 1+a2+a3=1-??1-??
D.12
13
∵a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),
∴a1+a2+a3=????1+??2+??3+??4,即a1(1+q+q)=????1(1+??+??
2
2+??3)
.
又a1>1,∴q<0.
假设1+q+q>1,即q+q>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a1>1,可知a1(1+q+q)>1, ∴a1(1+q+q+q)>0,即1+q+q+q>0,
即(1+q)+q(1+q)>0,即(1+q)(1+q)>0,这与q<-1相矛盾. ∴1+q+q<1,即-1 5.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√2f 【答案】D 【解析】设第n个单音的频率为an,由题意,??a8=a1×(√2)=√27f,故选D. 7 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12 3 B.√22f 3 C.√25f 12 D.√27f 12 ???? ??-1 =√2(n≥2),所以{an}为等比数列,因为a1=f,所以 12 1212 6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2,接下来的两项是2,2,再接下来的三项是2,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 【答案】A 【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n ??(1+??) 组的项数和为.第 2 ??(1+??) >100,得21-2??n2(1-2??)n+1 n组的和为=2-1,前n组总共的和为-n=2-2-n. 1-21-2 * 0 0 1 0 1 2 由题意,N>100,令n≥14且n∈N,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且 k * 前N项和为2的整数幂,则SN-????(1+??)应与-2-n互为相反数,即2-1=2+n(k∈N,n≥14),所以k=log2(n+3),解 2得n=29,k=5. 14 所以N= 29×(1+29) +5=440,故选A. 27.(2017·全国3·理T9)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a23=a2·a6, 即(1+2d)2 =(1+d)(1+5d), 解得d=-2, 所以S6×5 6=6×1+2×(-2)=-24,故选A. 8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 【答案】C 【解析】因为S(a+a9= 19)×9 2=27,a1+a9=2a5, 所以aa5=3.又因为a10=8,所以d=10-a10-55=1. 故a100=a10+(100-10)×1=98. 9.(2015·浙江·理T13)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 【答案】B 【解析】设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d. ∵a3,a4,a8成等比数列, ∴(a2 2 1+3d)=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d=0. ∵d≠0,∴a5 2 5 1d=-3d<0,且a1=-3d. ∵dS4= 4d(a1+a4)22 2=2d(2a1+3d)=-3d<0. 10.(2015·全国2·文T5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A 【解析】由a1+a3+a5=3及等差中项,得3a3=3,解得a3=1.故 ) 15 S5= 5(a1+a5) =5a3=5. 211.(2015·全国1·文T7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( ) A. 【答案】B 【解析】∵公差d=1,S8=4S4, ∴ 8(a1+a8) 2172B. 192C.10 D.12 = 4×4(a1+a4) , 21 即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=2. ∴a10=a1+9d=+9=. 12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 12192【答案】B 【解析】由题意知 ??1+??3+??52421 =1+q+q=3=7,解得??1 q=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q=21×2=42. 1 22 13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{an}满足a1=4,a3a5=4(a4-1),则a2=( ) A.2 【答案】C 2 【解析】∵a3a5=4(a4-1),∴??4=4(a4-1),解得a4=2. B.1 C.2 1 D.8 1 又a4=a1q,且a1=4,∴q=2.∴a2=a1q=2. 14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 【答案】C 【解析】由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)=S2(S6-S4),即(15-3)=3(S6-15),解得S6=63,故选C. 15.(2014·全国2·文T5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.n(n+1) C. ??(??+1) 22 2 3 11 C.63 D.64 B.n(n-1) D. ??(??-1) 2 【答案】A 16