4-
??+22
??-1,n∈N
*
.
1??
}的前n项和为. ????·????+12??+138.(2015·山东·文T19)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列{(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)·2????,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d. 令n=1,得
1
??1??21
=,所以a1a2=3.
1
2
13
令n=2,得????+????=5,所以a2a3=15.
1223解得a1=1,d=2,所以an=2n-1. (2)由(1)知bn=(an+1)·2????=2n·2所以Tn=1·4+2·4+…+n·4, 所以4Tn=1·4+2·4+…+n·4, 两式相减,得-3Tn=4+4+…+4-n·4所以
3??-1n+14
Tn=9×4+91
2
n
n+1
2
3
n+1
1
2
n
2n-1
=n·4,
n
4(1-4??)n+11-3??n+14=1-4-n·4=3×4-3.
=
4+(3??-1)4??+1
. 9*
39.(2015·浙江·文T17)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N).
(1)求an与bn;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn. 【解析】(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2(n∈N). 由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2; 当n≥2时,bn=bn+1-bn,整理得所以bn=n(n∈N). (2)由(1)知anbn=n·2,
因此Tn=2+2·2+3·2+…+n·2, 2Tn=2+2·2+3·2+…+n·2, 所以Tn-2Tn=2+2+2+…+2-n·2. 故Tn=(n-1)2+2(n∈N).
40.(2015·天津·文T18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且
45
n+1
*
2
3
n
n+1
2
3
4
n+1
2
3
n
n
*
n
*
*
1
2131??1??????+1??+1=
????, ??a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,n∈N,求数列{cn}的前n项和.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意q>0.由已 2??2-3??=2,42
知,有{4消去d,整理得q-2q-8=0.又因为q>0,解得q=2,
??-3??=10,所以d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2,n∈N;数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N.
(2)由(1)有cn=(2n-1)·2,设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2, 2Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×2,
上述两式相减,得-Sn=1+2+2+…+2-(2n-1)×2=2-3-(2n-1)×2=-(2n-3)×2-3, 所以,Sn=(2n-3)·2+3,n∈N.
41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=????,求数列{cn}的前n项和Tn.
??
n
*2
3
n
n
n+1
n
n
1
2
3
n-1
n
n-1
0
1
2
n-2
n-1
n-1
*
*
*
??
10??1+45??=100,2??+9??=20,
【解析】(1)由题意有,{即{1
??1??=2,??1??=2,??1=9,??1=1,
解得{或{2
??=2,??=.
9????=9(2??+79),????=2??-1,故{或{
2??-1????=2??-1,????=9·().
91
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2,故cn=于是Tn=1++
113
Tn=+2222
3
252
2n-1
2??-12??-1, ① ②
+
72
72
3+
92
92
4+…+??-1, 2??-12
+
52
3+
4+
5+…+
2??-1
. 2??①-②可得
1111Tn=2++2+…+??-22222
?
2??-12??+3
, ??=3-22??故Tn=6-
2??+32??-1.
42.(2014·全国2·理T17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
46
(1)证明:{????+2}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明:??+??+…+??<2.
??12
【解析】(1)(构造新数列)由an+1=3an+1,得an+1+=3(????+).又a1+=,所以{????+}是首项为,公比为3的1
1
1
3
1
3
1
1
1
3
1
222222等比数列.
a+1
n2=
3??
,因此{an}的通项公式为a3??-12n=2.
(2)(放缩法)由(1)知1
????
=
??2
3-1
. 因为当n≥1时,3n
-1≥2×3n-1
, 所以??13-1
≤
12×3??-1. 于是
1111??1
+
??2+…+????≤1+3+…+13
??-1 =3
2(1-13??)<3
2.
所以1
1
1
3
??1+??2
+…+????<2. 43.(2014·福建·文T17)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设{aq,依题意,得{??1??=3,
n}的公比为??,
1??4=81解得{????1=1,=3.因此,an-1
n=3.
(2)因为bn=log3an=n-1, 所以数列{bn}的前n项和S??n=
??(1+????)
2=
??2-??
2. 44.(2014·湖南·文T16)已知数列{an}的前n项和
S??2+??*n=2,n∈N.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn
n=2????+(-1)an,求数列{bn}的前2n项和.
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=1; 2
当n≥2
时,a??2+??(??-1)+(??-1)
n=Sn-Sn-1=2?2=n.故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由(1)知,bn
n
1
2
2n
n=2+(-1)n.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(2+2+…+2)+(-1+2-3+4-…+2n).
47
记A=2+2+…+2,B=-1+2-3+4-…+2n, 则
2(1-22??)2n+1
A=1-2=2-2,
122n
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=2
2n+1
+n-2.
45.(2014·北京·文T14)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)设等差数列{a????n}的公差为d,由题意得d=4-1-3
3=
123=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{bn-an}的公比为q, 由题意得q3
=
??4-??412
??1-??1
=
20-4-3=8,解得q=2.
所以b-a)qn-1
=2n-1
.从而bn-1
nn=(b1-a1n=3n+2(n=1,2,…). (2)由(1)知bn-1
n=3n+2(n=1,2,…). 数列{3n}的前
n项和为3n-1
2n(n+1),数列{2}的前
n项和为
1×1-2??n
1-2=2-1.
所以,数列{b3
n
n}的前n项和为2n(n+1)+2-1.
46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式;
(2)设b1
n=????????+1
,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数, 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0, 于是10+3d≥0,10+4d≤0. 解得-10
53≤d≤-2.因此d=-3. 数列{an}的通项公式为an=13-3n. (2)b1
1
1
1
n=(13-3??)(10-3??)=3(10-3??-13-3??). 于是Tn=b1+b2+…+bn
=1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
??
3[(7-10)+(4-7)+…+(10-3???13-3??)]=3(10-3??-10)=10(10-3??).
47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
48