22
(1)设cn=????+1?????,n∈N,求证:数列{cn}是等差数列;
*
2(2)设a1=d,Tn=∑(-1)????,n∈N,求证:∑??<2. ??=1??=1??2??
k
*
2????
11
22
【解析】证明(1)由题意得????=anan+1,有cn=b2n+1?bn=an+1an+2-anan+1=2dan+1,
因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d, 所以{cn}是等差数列.
22222(2)Tn=(-b1+b22)+(-b3+b4)+…+(-b2n-1+b2n)=2d(a2+a4+…+a2n)=2d·
n
n(a2+a2n)12
=2dn(n+1).所以∑2k=1Tk
2
=
1
2∑k(k+1)2dk=1
1
n
=
∑(-)=2·(1-n+1)<2. 2dk=1kk+12d2d
2*
1
n
11111
28.(2016·天津·文T18)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N),且a?a=a,S6=63.
123(1)求{an}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)b2n}的前2n项和.
*
n
112
【解析】(1)设数列{an}的公比为q. 由已知,有a?aq=aq2,解得q=2,或q=-1.
111又由
1-q6
S6=a1·=63,知
1-q121
1
2
q≠-1,所以
1-26a1·=63,得
1-212n-1
a1=1.所以an=2.
n
n-1
(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22+log22)=n-, 即{bn}是首项为,公差为1的等差数列. 设数列{(-1)b2n}的前
n
1
212
n项和为Tn,则
2222
T2n=(-b1+b22)+(-b3+b4)+…+(-b2n-1+
b22n)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=
2n(b1+b2n)2
=2n. 21
29.(2016·全国1·文T17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=3,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和.
【解析】(1)由已知,得a1b2+b2=b1,又b1=1,b2=3,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=3n, 因此{bn}是首项为1,公比为3的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=
1
1-(3)1-311n
1
b
=2?
312×3n-1. 30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, a2n-(2an+1-1)an-2an+1=0.
41
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)由题意得a2=,a3=. n+1
(2)由a2=2.故{an}是首项为n-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以an
1214a1
1,公比为2的等比数列,因此an=
1
2
n-1.
1
31.(2016·全国3·理T17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=32,求λ.
【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=
1
,a1≠0. 1-λ31
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,两式相减得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以
an+1an
=
λ1λ1λn-1.因此{an}是首项为1-λ,公比为λ-1的等比数列,于是an=1-λ(λ-1). λ-1λn
Sn=1-().由
λ-131S5=得32λ51-()λ-1(2)由(1)得=
31λ5,即()32λ-1=
1
.解得λ=-1. 3232.(2015·北京·文T16)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等? 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…). (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4. 所以b6=4×2=128. 由128=2n+2得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=2. (1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
42
9
6-1
【解析】(1)设{a3×293
n}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+2d=2,化简得a1+2d=2,a1+d=2, 解得a11=1,d=2, 故通项公式a??-1??+1
n=1+2,即an=2. (2)由(1)得b1=1,b4=a15=
15+1
2=8. 设{bq,则q3
=??
n}的公比为4??1
=8,从而q=2,
故{b1-2??)n
n}的前n项和
T??1(1-????)1×(n=1-??=
1-2=2-1. 34.(2015·福建·文T17)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2????-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得{??1+??=4,
(??3??)+(??
1+1+6??)=15,解得{????1=3,=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得bn
n=2+n.
所以b2
3
10
1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(2+2)+(2+3)+…+(2+10) =(2+22
+23
+…+210
)+(1+2+3+…+10)
=2(1-210)(1+10)×101-2+2
=(211-2)+55=211
+53=2 101.
35.(2015·全国1·理T17)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,??2??+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式; (2)设bn=
1
????????+1
,求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)由??2
??+2an=4Sn+3,可知??2??+1+2an+1=4Sn+1+3.
可得??2??+1???2??+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=??2??+1???2??=(an+1+an)(an+1-an).
由于an>0,可得an+1-an=2.
又??21+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1. (2)由an=2n+1可知
43
bn=????=(2??+1)(2??+3)=2(2??+1-2??+3).
????+1
设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=2[(3-5)+(5-7)+…+
1
1
1
1
1
11
?
2??+12??+3
11111
=32??+3. ()
??
36.(2015·安徽·文T18)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式;
??+1
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=????,求数列{bn}的前n项和Tn.
????+1
??
【解析】(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8, ??=1,??=8,
又a1+a4=9,可解得{1或{1(舍去).
??4=8??4=1由a4=a1q得公比q=2,故an=a1q=2. (2)Sn=又bn=
??1(1-????)n
=2-1, 1-??3
n-1
n-1
????+1????????+1
=
????+1-????????????+1
=
1
1????1
?
1????+1
,
1
1
1
1
1
1
所以Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=?????=1-??+1. ??1??2??2??3????????+12-11??+1
37.(2015·天津·理T18)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=??22??,n∈N,求数列{bn}的前n项和.
2??-1
*
*
1
????????
【解析】(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2. 当n=2k-1(k∈N)时,an=a2k-1=2
*
k
*
k-1
??-1=22;
当n=2k(k∈N)时,an=a2k=2=22.
??-1
22,??为奇数,
??
所以,{an}的通项公式为an={??
22,??为偶数.(2)
由
1
(1)
1
得
1
bn=
??????2??2????2??-1
12
=
??2
??-1.
1
1
设{bn}
1
1
的前
1
n项
1
和为
12Sn,则
Sn=1×0+2×1+3×2+…+(n-1)×
2
2
2
1111
减,得2Sn=1+2+2+…+??-122
??
???2??-2+n×
2
??-1,2Sn=1×1+2×2+3×3+…+(n-1)×
2222
??-1+n×??,上述两式相
=
1-??21-211
?
??2??=2-??22?
????+2
??,整理得,Sn=4-??-1.所以,数列{bn}的前22
n项和为
44