【解析】(1)设数列{xn}的公比为q,由已知q>0. 由题意得{??1+??1??=3,2

????-??2.所以3q-5q-2=0. 12

1??=因为q>0,所以q=2,x1=1,

因此数列{xn-1

n}的通项公式为xn=2.

(2)过Pn

n-1

n-1

1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2-2=2, 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn, 由题意b(??+??+1)n=

2×2n-1=(2n+1)×2n-2

, 所以Tn=b1+b2+…+bn

=3×2-1

+5×20

+7×21

+…+(2n-1)×2n-3

+(2n+1)×2n-2

.

①

又2T0

1

2

n-2

n-1

n=3×2+5×2+7×2+…+(2n-1)×2+(2n+1)×2, ②

①-②得

-T-1

2

n-1

(1-2??-1)n=3×2+(2+2+…+2)-(2n+1)×2n-1

=3

22+1-2-(2n+1)×2n-1

. 所以

T=(2??-1)×2??+1n2

. 20.(2017·山东·文T19)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. 1)求数列{an}的通项公式;

(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为S??

n.已知S2n+1=bnbn+1,求数列{??????

}的前n项和Tn.

【解析】(1)设{a2

n}的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,??2

1q=a1q,又an

n>0,解得a1=2,q=2,所以an=2.

(2)由题意知:S2??+1)(??2n+1=

(1+??2??+1)

2=(2n+1)bn+1,

又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1. 令cn=??

??2??+1

????

,则cn=

2??, 因此Tn=c1+c2+…+cn =3

52??-12+

2

2+

72

3+…+2

??-1+

2??+1

2??. 37

又2Tn=

13

22

+

52

3+

72324+…+

2??-12??+1

+??+1, 2??212

2两式相减得Tn=+(+

1

212+…+

2

??-1)

1

?

2??+12

??+1,所以

Tn=5-

2??+5

. 2??*

21.(2017·天津·文T18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N).

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q)=12, 而b1=2,所以q+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,bn=2.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.① 由S11=11b4,可得a1+5d=16,②

联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.

所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2. (2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2, 有Tn=4×2+10×2+16×2+…+(6n-2)×2,

2Tn=4×2+10×2+16×2+…+(6n-8)×2+(6n-2)×2, 上述两式相减,得-Tn=4×2+6×2+6×2+…+6×2-(6n-2)×2Tn=(3n-4)2+16.

所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2+16.

22.(2016·全国2·理T17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101;

(2)求数列{bn}的前1 000项和.

【解析】(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.

所以{an}的通项公式为an=n.

b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. 0,1≤??<10,1,10≤??<100,

(2)因为bn={

2,100≤??<1000,3,??=1000,

所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.

38

n+2

n+2

2

3

n

n+1

2

3

4

n

n+1

2

3

n

n

n

2

2

*

12×(1-2??)n+1n+2=-4-(6n-2)×2=-(3n-4)2-16.得

1-223.(2016·全国2·文T17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d, 由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3, 解得a2

1=1,d=5. 所以{a2??+3

n}的通项公式为an=5

. (2)由(1)知,b2??+3

n=[5]. 当n=1,2,3时,1≤

2??+3

5<2,bn=1; 当n=4,5时,2≤2??+3

5<3,bn=2; 当n=6,7,8时,3≤2??+3

5<4,bn=3; 当n=9,10时,4≤

2??+3

5

<5,bn=4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.

24.(2016·浙江·文T17)设数列{a*

n}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N. (1)求通项公式an;

(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.

【解析】(1)由题意得{??+??2=4,??=1,

??12=2??1+1,则{??12=3.

又当n≥2时,

由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an. 所以,数列{an-1

*

n}的通项公式为an=3,n∈N. (2)设bn-1

*

n=|3-n-2|,n∈N,b1=2,b2=1. 当n≥3时,由于3n-1

>n+2,故bn-1

n=3-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n≥3

时,T9(1-3??-2)(??+7)(??-2)

n=3+1-3?2=

3??-??2-5??+11

2, 2,??=1,

所以Tn={3??-??2-5??+11

2,??≥2,??∈??*.

25.(2016·北京·文T15)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

39

(1)求{an}的通项公式;

(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 【解析】(1)等比数列{bn}的公比q=??3=3=3, 2所以b1=??2=1,b4=b3q=27. 设等差数列{an}的公差为d.

因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,…).

(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3.因此cn=an+bn=2n-1+3. 从而数列{cn}的前n项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3 =

??(1+2??-1)1-3??23??-1

+1-3=n+2. 22

n-1n-1

n-1

??9

??

26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令cn=

(????+1)

??+1??(????+2)

,求数列{cn}的前n项和Tn.

【解析】(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为d.

??=??1+??2,11=2??1+??,

由{1即{ ??2=??2+??3,17=2??1+3??,可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn=

(6??+6)

??+1??(3??+3)

=3(n+1)·2.

n+1

又Tn=c1+c2+…+cn,

得Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2], 2Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],

两式作差,得-Tn=3×[2×2+2+2+…+2-(n+1)×2=-3n·2,所以Tn=3n·2.

27.(2016·天津·理T18)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N,bn是an和an+1的等比中项.

*

n+2

n+22

3

4

n+1

n+2

3

4

n+2

2

3

n+1

4(1-2??)

]=3×[4+-(??+1)×2??+2]

1-240