直射变换与对射变换，射影群 考虑一个平面上的二维射影变换。平面既是点场的底，又是线场的底，因此，它上面的一个射影变换可以把点变成点（或线变成线），也可以把点变成线（或线变成点），前一种叫做直射变换，后一种叫做对射变换。

直射变换的逆变换和它们的积（即两个直射变换接连作用所形成的变换）都是直射变换。因此，平面上一切直射变换构成群，叫做平面直射群。直射变换的特征是，它把共线的点变成共线的点，因而可以说，也把直线变成直线。一个直射变换可以用关于点坐标的线性变换(2)代表。如果它把直线(□)变成(□)，则通过关联条件可得

□ (4)式中□□是□□在方阵(□□)中的余因子，□是比例常数。可以认为，(2)和(4)代表着同一个直射变换，它们的区别只是在于：一个用了点坐标，一个用了线坐标。

与此类似,对射变换把共点的直线变成共线的点,把共线的点变成共点的直线，即把线变成点，把点变成线。两个对射变换之积是一个直射变换。对射变换不构成群，但是平面上一切直射变换和对射变换在一起构成群，叫做射影群。直射群是射影群的子群。但有时射影群这个名词也用来指直射群。

由于平面对射变换把点变成线，把线变成点，而又保持关联关系，它就体现了平面上的对偶原理。

同样，空间也有直射变换和对射变换，前者把点变成点，面变成面，后者把点变成面，面变成点；它们都把直线变成直线。空间一切直射变换构成直射群，一切直射变换和对射变换构成射影群。空间对射变换体现空间对偶原理。

直线上的一切点变点的射影变换构成直线上的射影群。 其他基本形里都有各自的射影群。

二次曲线与二次曲面 扩大平面上的二次曲线 □的齐次方程是

□ (5)式中□□=□□□表明(□□)是对称方阵。

在射影平面上,方程(5)所确定的点的轨迹就叫做一条二次曲线。与此相对偶，含线坐标的齐二次方程

□ (6)代表一个直线的集合,也叫做二次曲线。为了区别(5)和(6),它们所代表的点集和线集依次就叫做点（素）二次曲线和线（素）二次曲线。 用Г表示点二次曲线（5），并假定它是满秩的, 即det(□□)≠0。在它上面的一点(□)，Г的切线方程是

□这些切线构成线二次曲线□，式中□□是□□在方阵(□□)里的余因子。按照对偶原理，点曲线的切线的对偶是线曲线的切点（两条“相邻”直线交点的极限位置），因而满秩线二次曲线的切点构成一个点二次曲线。

设□为不在满秩点二次曲线Γ上的任意点，经过□作直线□交Г于□1, □2两点（图5极点和极线）。设在□上，□点对于□1，□2的调和共轭是□,即(□1,□2;□,□)=-1。这样的两点□,□□叫做对于Г的共轭点。当□固定而令□转动时,□□的共轭□总是在一条直线□上，叫做□点对于Г的极线,而□就叫做直线□对于Г的极点。特殊地，若□为Г上的点，它的极线□就是Г在□的切线。显然，若□的极线经过□,则□的极线经过□。若□和□的齐次坐标依次为(□)和(□)，则

□ (7)这是一种特殊的对射对应，其特殊性在于(□□)是对称方阵，它叫做对于Γ的配极对应。配极变换的平方，即它和自己的乘积是幺变换（或叫恒等变换）。配极对应也可以体现对偶原理。

二次曲线可以通过射影产生法产生。若在平面上有两个射影相关的线束（即线束间建立了一宗射影对应），它们有不同的中心，而且它们的公共直线不对应于自己，则两线束中对应直线交点的轨迹是一条满秩点二次曲线。用对偶方法可以产生线二次曲线。

射影几何中，关于二次曲线一个最早的著名定理是帕斯卡定理（图6帕斯卡定理示意图）:满秩二次曲线的一个内接六边形□□□□□□的三对对边□□□和□□,□□和□□,□□和□□交于一条直线上。倒转来，若一个六边形的三对对边交点在一条直线上，则六边形顶点在一个二次曲线上，但这个二次曲线可能退化成直线偶。帕斯卡定理在平面上的对偶叫做布里昂雄定理。

帕斯卡定理的一个特款是帕普斯定理：若□,□,□ 和□□,□□,□□分别是两条直线上的三点，它们都不重合，则□□□和□□□，□□□和□□□，□□□和□□□交于共线的三点。在三维射影空间,设(□),(□)依次为齐次点坐标和面坐标,则含□□的一个齐二次方程□代表一个点

（素）二次曲面，而含□□的一个齐二次方程代表一个面（素）二次曲面。满秩点二次曲面的切面构成一个满秩面二次曲面，而满秩面二次曲面的切点构成一个满秩点二次曲面。

关于满秩二次曲面也有配极对应，它使极点和极面互相对应，是空间的特殊对射对应。

直纹二次曲面也可以通过射影产生法产生。若两个射影相关的面束的轴是相错（即不共面）直线，则它们对应平面的交线构成一个直纹二次曲面的一族母线。

射影几何的子几何 射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样的子群有一种几何，叫做射影几何的子几何。

为了简单明确起见，下面所说的射影群就是直射群，所说的射影变换是指直射变换，而且主要分析平面上的情况。

在扩大仿射平面上，令无穷远线□0=0不变的射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换的方程可以写成

□ (8)一切仿射变换所构成的仿射群，是射影群的一个子群。仿射变换保持平行性。

在扩大仿射平面的无穷远线□0□=0上，取两个共轭虚点

□1(0,1,i),□2(0,1,-i),式中i2=-1。令点偶□1,I2（即□,□0＝0）不变的仿射变换叫做相似变换；它们的方程可以写成 (8)的形状，但其中(□□)是正交方阵乘以一个常数:□一切相似变换构成相似群（也叫欧氏群或度量群）,它是仿射群的子群,也是射影群的子群。有了□1,□2两点后，就可以通过射影方法在平面上引进距离和角的概念（见绝对形），相似变换把每个图形变成一个和它相似的图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就可以叫做扩大欧氏平面,它上面的一切圆都经过□1□,□2。这两点就叫做无穷远圆点。

在相似变换中，系数□□□构成正交方阵 (即□□＝±1)的，叫做全等变换（或运动）；式中det(□□)＝1的叫做正常运动，det(□□)=-1的叫做反常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等的图形。全等变换群（或运动群）是射影群、仿射群和相似群的子群。

已给一个空间□ 以及作用于它上面的变换所构成的一个群□,就可以判断,在□里,哪些图形性质经过□中的变换不变,研究这些性质的几何就叫做属于□的几何。若□1是□的子群，属于□1的几何就叫做属于□的几何的子几何。射影几何和仿射几何依次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则可以认为属于相似群,但又部分地属于全等群;因为它既研究相似图形,又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何；由于它研究图形的度量性质(长度、角度、面积、??)，它也叫做度量几何。

群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰富具体。这样，就可以通过不同的群之间的关系来理解不同的几何之间的关系。

空间□的图形还可以通过变换群□分类：把一切可以经过□的变换互相转化的图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点的）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）的是椭圆，相切的是抛物线，相交于两（个实）点的是双曲线。每一个仿射类里的二次曲线又可以分为无数度量类；例如同是椭圆，两个半轴长比值不同的就不相似，半轴长不分别相等的就不全等。

两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何的子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线□□变为自己的一切射影变换构成射影群的一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它的几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线的射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线□变为

自己，并把它的内部（即□的点的集合）变为内部的射影变换也构成射影群的一个子群，叫做双曲（运动）群；属于它的几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进。

射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0,1,1)和(0,1,-1)（即□）变为自己的一切射影变换构成洛伦兹群，属于它的几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然的几何说明;四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。

上面所论的射影群的每个子群都有一个不变的图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群的□0=0，对于相似群的□，对于椭圆群的□等。这种不变图形就叫做相应子几何的绝对形。

以上理论都可以推广到三维以至任意维空间。在三维空间，欧氏几何的绝对形是□□，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面的一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何的绝对形依次是□□。 公理系统 上面把射影几何建立在欧氏空间的基础上，但这不是必要的。它可以建立在不涉及度量概念的公理系统上。

以三维射影几何为例，在那里，基本元素是点，直线和平面。射影几何公理的表达形式是多种多样的，一般可以分为三组。第一组叫做关联公理：例如，两点确定一条经过它们的直线，三个不共线点确定一个经过它们的平面，两个平面交于一条直线等等。第二组叫做次序公理：例如，已给直线上三点□,□,□,直线上必有一点□，使□,□和□,□互相隔离等等。第三组只含一个公理,即连续公理。射影直线上的连续公理实质上就是规定：去掉直线上一点以后，直线上剩下来的部分满足实数轴上的戴德金连续公理。

根据这些公理，便可以通过纯演绎方法建立起一个完整的实射影几何体系，包括射影坐标。所谓实射影几何，就是上面所讨论的射影几何，其中点的坐标是实数。

不同维的射影空间，可以在关联公理里加以区别。

只满足关联公理的空间可以称为一般射影空间；在那里面，仍然有射影变换，其相应的几何可以称为一般射影几何。如果把关联公理要求降低，也可以得到更一般的射影空间和射影几何。当然，在一个一般射影空间里，实射影几何的定理不完全成立。

也可以一开始就通过代数方法来建立射影几何。仍以实三维空间为例，设想每一个非零四实数组(□0,□1,□2,□3)为一点,成比例的四数组代表同一点；再假定线性相关的三点属于同一条直线，线性相关的四点属于同一个平面。这样就把实射影几何完全建立在实数域的基础上了。 用□+1数组代替四数组来表示点，就得到□维射影空间及其射影几何。