直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外,每两点总决定一条直线,每三个不共线点总决定一个平面，等等。 齐次坐标 为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。

仍从欧氏（或仿射）平面开始。设在平面上已经建立了以□为原点的直角（或仿射）坐标系，(□,□)为一点□ 的坐标。令□则比值□0:□1:□2完全确定□ 的位置,(□0,□1,□2)就叫做□的齐次（笛氏）坐标。原点的齐次坐标显然可以写成(1,0,0)。设□不是原点□,则□1,□2不同时等于零；再令□1,□2固定,而令□0向0接近，则□点沿一条经过□而斜率为□2:□1的直线□向远方移动。设□表示扩大直线□上的无穷远点，则可以认为，当□0趋于□ 时,□趋于□。因此,可以把(0,□1,□2)作为□的齐次坐标，特殊地，(0,1,0)和(0,0,1)依次是□轴和□ 轴上无穷远点的齐次坐标。这样,每一组不同时为零的三个数□0,□1,□2 都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若□ 为不等于零的数，则(□□0,□□1,□□2)和(□0,□1,□2)代表同一点，下面引进记号

(□)=(□0,□1,□2),□(□)=(□□0,□□1,□□2)。

设□ (□1,□2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。在用齐次坐标表示时，它可以写成

□， (1)这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是

(0,□2,-□1)。扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成□0=0。这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。由于比值□0:□1:□2完全确定直线,(□)=(□0,□1,□2)就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标,上面引进的(□)＝(□0,□1,□2)就叫做（齐次）点坐标。方程(1)叫做点(□)和线(□)的关联条件或接合（即(□)在(□)上，或(□)经过(□)）条件。

当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(□)和(□)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。

与此类似,可以得到扩大或射影直线上的点坐标(□)=(□0，□1)以及扩大或射影空间的点坐标(□)=(□0,□1,□2,□3)和面坐标(□)＝(□0,□1,□2,□3)。在扩大或射影空间中，点(□)和面(□)的关联条件是□

下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。在射影空间，指定一个平面□0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。 对偶原理 关联关系是射影平面和射影空间的基本关系。在关联条件(1)中,(□)和(□)有完全的对称性，这就使得直线和点可以在逻辑上取得平等的地位。它们叫做平面上的对偶元素。

设方程(1)里的□□是固定的,它就代表一条直线；令满足(1)的□□变动,就可以得到在该线上的一切点，这些点的集合叫做以(□)为底的点列，而(1)也就是点列的方程。根据线性方程理论,可以看出,点列中每三点线性相关。即：若(□),(□)是点列中任意两个不同的点,则它的每一点(□)都可以写成(□)和(□)的线性组合(□)=□□□(□)+□(□,)，其中□□□，□是齐次参数。在一定意义上,□□□,□也可以作为点列中的射影坐标。另一方面,若令(1)中的□□固定,而令□□变动,就得到一切经过点(□)的直线(□),它们的集合叫做以(□)为中心的线束，而(1)就是线束的方程,同时也是点(□)的方程。若(□),(□)是线束中任意两条直线，则线束的每一条直线(□)都可以写成

□。由于点列和线束中的元素都只依赖于两个齐次参数的比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维基本形。

已给平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。例如，点列（和一条直线关联的点的集合）和线束（和一点关联的直线的集合）是对偶形。三角形是自对偶形。

对于平面上一个只涉及点与直线的关联关系的定理，如果把其中的点和直线及其关联关系对换，就得到一个新定理，叫做原定理的对偶。“如果原定理成立，则它的对偶定理也成立。”称它为对偶定理。这是因为，从代数观点看，这两个定理的证明步骤是完全相同的。射影几何中，一个最早而又重要的定理是德扎格定理（图1德扎格定理示意图）：两个三角形□□□和□的对应顶点的联线□经过同一点的充要条件是它们的对应边□□和□；□□和□；□□和□的交点共线。这是个自对偶定理。如果不是在射影（或扩大）平面上而是在欧氏（或仿射）平面上，证明这个定理就需要区别并分别处理其中有某些直线平行的各种特款。

三维空间也有对偶定理。在空间，点和面是对偶元素，直线是自对偶元素。线束是自对偶形。空间还有一个一维基本形是面束，这是经过同一条直线的平面的集合。面束是点列的对偶。在同一个平面上的点的集合叫做点场,经过同一点的平面的集合叫做面把;点场和面把互为对偶。在同一个平面上的直线的集合叫做线场，经过同一点的直线的集合叫做线把；线场和线把互为对偶。点场，线场，面把，线把都是二维基本形。空间的点的集合和空间的平面的集合依次叫做点空间和面空间，它们是互为对偶的三维基本形。在空间，三角形的对偶是三棱形。三棱形由经过同一点的三条不共面的直线所构成，这三条直线两两确定三个不共线的平面。对于不共面的两个三角形，德扎格定理仍然成立，但在空间，它不是自对偶定理。 通过代数来说明对偶原理是简捷了当的，但不是必须的。 空间的直线构成一个四维集合（见直线几何）。

射影对应与射影变换 在一维基本形之间，可以通过投影和截影互相转化。

用{□}表示直线□上的点列,其中□表示点列中的任意点。设□为不在□上的一点，作直线□=SP，则当□在□上变动时，就得到以□为中心的线束{□},叫做点列{□}的投影，而{□}就叫做线束{□}的截影，□和 □叫做对应元素（图2点列和线束间的投影和截影）。再设□1为空间不在{□}的平面上的点,作经过□1和□的平面□，就得到以□□1为轴的面束{□}，它是{□}的投影,{□}是{□}的截影,□和□ 是对应元素（图3 线束和面束间的投影和截影）。若经过一系列的投影和截影,从一个一维基本形到另一个,这两个基本形就叫做射影相关，它们元素间的对应关系就叫做射影对应。一个射影对应所包含的两个变换叫做射影变换，它们互为逆变换。 在空间，通过投影和截影，点场和线把之间，线场和面把之间都可以互相转化，因而点场之间，线把之间，线场之间，面把之间也可以互相转化。至于二维基本形之间的其他转化，例如点场和线场之间的转化，则可以通过下面将要叙述的代数方法来确定。同样，三维基本形之间的转化也要通过代数方法。总之，两个二维基本形之间或两个三维基本形之间，也都可以有射影对应和射影变换。

已经指出，如何在点列，点场，点空间，以及线场和面空间里建立齐次坐标系。事实上，在任何一个一、二、三维的基本形里，都可以建立齐次（或叫射影）坐标（见射影坐标）。这样，射影对应或射影变换就可以通过齐次坐标间的满秩齐次线性变换来表示。例如，设(□),(□)为两个点场的齐次坐标,则射影变换(□)→(□)可以用三个变数的齐次线性变换 □ (2)表示，式中det表示行列式；□是非零比例常数。解这个方程组，就得到逆变换(□)→(□)的方程。

射影变换的一个基本性质是保持关联关系，这等于说,它把线性相关的元素变成线性相关的元素。例如,点场之间的变换(2)就把点列变成点列，即直线变成直线，因而，它还把线束变成线束。由此又可以看出，只涉及关联关系的每个定理（如德扎格定理）一定代表一种射影性质，即经过射影变换不变的性质。换句话说，这种定理是一个射影定理。

关于射影对应，有一个基本定理。如果把一、二、三维的情况概括在一起,那就是：若在两个□维 (□=1,2,3)基本形中，分别指定一组□+2个元素,式中各组里的每□+1个元素线性无关，则两个基本形间,有惟一的射影对应，使两组元素按给定次序相对应。事实上，对于任意维射影对应，这个定理都成立。所谓“线性无关”，可以举例来说明：两个线性无关的点不重合，三个线性无关的点不共线，四个线性无关的点不共面。

射影变换也可以作用于扩大空间，但经过射影变换，无穷远元素可以变为非无穷远，非无穷远元素可以变为无穷远（例如平行平面可以变得不

平行，不平行平面可以变得平行），因此，在未经扩大的欧氏或仿射空间里，射影变换不完全是一对一的。

交比 交比是一项基本的射影不变量。

根据关于射影对应的基本定理，一维基本形（例如，点列）间的一个射影对应是由三对对应元素惟一地确定的。由此可以推知，若在一个射影对应中，一个一维基本形中的四个元素□1,□2，□3，□4依次对应于另一个一维基本形中的 □则四元素组□1，□2，□3，□4和□必有某种共性。交比就是这样的共性。

设在一个一维基本形中,元素□□(□=1,2,3,4)的齐次坐标是□，而用(□□,□□)表示行列式 □则交比

□ (3)交比经过射影变换（例如投影或截影）不变。

若在一个一维基本形中，随意选取三个不同的固定元素□1,□2,□3，而对于任意元素□，设

□则□ 的位置和□ 的一切值（包括∞）一一对应。特殊地，当□=□□时,□=∞;□=□□时,□=0；□=□□时,□=1。因此, □可以作为基本形中的非齐次坐标。若再令 □=□1/□0，则(□0,□1)是基本形中的齐次坐标，称为射影坐标。特殊地, □1,□2,□3的坐标依次是(0,1),(1,0)和(1,1)。这三个元素叫做射影坐标系的基元素。

在欧氏空间,若□1,□2,□3,□4是四个共线点,而用□□□□表示由□□到□□的有向线段长，则

□ 在欧氏平面，若□□,□□,□□,□□是经过同一点的四条直线，而用(□□□□)表示由□□到□□的有向角，则 □

四个元素有24种排列法，但对于一般位置的四个元素只有 6个不同的交比值，对于某种特殊位置的四个元素,则六个交比值中至少有两个相等。例如，当交比(□□,□□,□□,□□)=-1时,这四个元素称为构成调和组。这时□□和□□,□□和□□都可以对调,元素偶□□,□□和□□,□□也可以对调，而交比不变；而且元素的其他次序所对应的交比值都是2或1/2。这表明,对于构成调和组的四个元素,变动其排列次序，只有3个不同的交比值，即－1, 2, 1/2。当然，在射影相关的基本形中，调和组对应于调和组。

在调和组□□,□□,□□,□□里，□□也叫做□□对于□□,□□的共轭；已给□□,□□和□□,可以用直尺作图求□□。图4求□□对于□□□□的调和共轭□□的作图法表示,已给点列中任意三点□□,□□和□□,求□□对于□□，□□的调和共轭□□的作图法。注意□,□可以是经过□□□的任意直线上的任意两点。还可以看出, 当□□趋于□□（或□□）时，□□也趋于□□（或□□）。因此，调和组中可以有三点重合。