第3节 数学归纳法
（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 用数学归纳法证明等式(n?1)?(n?2)???(n?n)?2?1?3???(2n?1)，从k到k＋1左端需增乘的代数式为 （ ）
2k＋12k＋3
A. 2k＋1 B. 2（2k＋1） C. D. k＋1k＋1111*
2. 用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋n＜n（n∈N，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）
232－1不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 （ ）
A. 2
k－1
n B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
2*
2kkk3. 对于不等式n＋n＜n＋1（n∈N），某同学的证明过程如下： （1）当n＝1时，1＋1＜1＋1，不等式成立。 （2）假设当n＝k（k∈N）时，不等式成立， 即k＋k＜k＋1，
则当n＝k＋1时，(k＋1)＋(k＋1)＝k＋3k＋2＜(k＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)＝（k＋1）＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立。
则上述证法 （ ） A. 过程全部正确 B. n＝1验得不正确 C. 归纳假设不正确
D. 从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
4. 下列代数式（其中k∈N）能被9整除的是 （ ） A. 6＋6·7 B. 2＋7
2
3
*22222*
kk－1
C. 2（2＋7
n－1
nk＋1
） D. 3（2＋7）
*
k5. 已知1＋2×3＋3×3＋4×3＋…＋n×3＝3（na－b）＋c对一切n∈N都成立，则
a、b、c的值为 （ ）
111
A. a＝，b＝c＝ B. a＝b＝c＝
244
1
C. a＝0，b＝c＝ D. 不存在这样的a、b、c
4
1
6. 在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n（2n－1）an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是（ ）
3
1111
A. B. C. D. (n－1)(n＋1)2n(2n＋1)(2n－1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋2)
二、填空题
7. 猜想1＝1,1－4＝－（1＋2）,1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为__________________________________。
8. 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来（n＝1,2,3，…），则第n－2（n≥3，n∈N*）个图形中共有________个顶点。
1
9. 设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝________；当n＞4时，f（n）＝________（用n表示）。
三、解答题
10. 已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝，且点P1的坐标为（1，2（n∈N）
1－4an－1）。
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N，点Pn都在（1）中的直线l上。 11. 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝（1＋cos（1）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝
2
*
bn*
nπ2
）an＋sin
2
nπ2
，n＝1,2,3，…
a2n－11
，Sn＝b1＋b2＋…＋bn。证明：当n≥6时，|Sn－2|＜。 a2nn2
12. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…。 （1）求a1，a2；
（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明。
2
1. B 解析：当n＝1时，等式显然成立。当n＝k时，左边＝（k＋1）·（k＋2）…（k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋1＋1）·（k＋1＋2）…（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k(2k＋1)(2k＋2)＋2）（k＋3）…（k＋k）（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋1）（k＋2）…（k＋k）k＋1＝（k＋1）（k＋2）…（k＋k）·2（2k＋1）。 2. C 解析：增加的项数为（2
k＋1
－1）－（2－1）＝2
kkk＋1
－2＝2。
kk3. D 解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设。 4. D 解析：（1）当k＝1时，显然只有3（2＋7）能被9整除。
（2）假设当k＝n（n∈N）时，命题成立，即3（2＋7）能被9整除，那么3（2＋7＝21（2＋7）－36。
这就是说，k＝n＋1时命题也成立。
由（1）（2）可知，命题对任何k∈N都成立。 5. A 解析：∵等式对一切n∈N均成立， ∴n＝1,2,3时等式成立，即： 1＝3(a－b)＋c??2
?1＋2×3＝3(2a－b)＋c??1＋2×3＋3×32＝33(3a－b)＋c3a－3b＋c＝1??
整理得?18a－9b＋c＝7
??81a－27b＋c＝34
*
*
*
nn＋1
）
n
，
11
，解得a＝，b＝c＝。
24
1
6. C 解析：由a1＝，Sn＝n（2n－1）an，
3
得S2＝2（2×2－1）a2，即a1＋a2＝6a2，
11∴a2＝＝，S3＝3（2×3－1）a3，
153×5
111111
即＋＋a3＝15a3。∴a3＝＝，a4＝。由此猜想an?。 315355×77×9(2n?1)(2n?1)7. 1－4＋9－…＋（－1）n＝（－1）（1＋2＋3＋…＋n）。 8. n(n?1) 解析：当n＝1时，顶点共有12＝3×4（个），
n＋12
n－1
n＝2时，顶点共有20＝4×5（个）， n＝3时，顶点共有30＝5×6（个）， n＝4时，顶点共有42＝6×7（个）， 故第n个图形共有顶点（n＋2）（n＋3）个， ∴第n-2个图形共有顶点n（n＋1）个。
9. 5，
1(n?1)(n?2)解析：f（2）＝0，f（3）＝2，f（4）＝5，f（5）＝9， 2每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数。 ∴f（3）－f（2）＝2，
f（4）－f（3）＝3， f（5）－f（4）＝4，… f（n）－f（n－1）＝n－1。
3
累加，得
f（n）－f（2）＝2＋3＋4＋…＋（n－1） 2＋(n－1)＝（n－2）。
2
1
∴f（n）＝（n＋1）（n－2）。
210. 解：（1）由P1的坐标为（1，－1）知
a1＝1，b1＝－1。
b11
∴b2＝2＝。
1－4a13a2＝a1·b2＝。
11
∴点P2的坐标为（，），
33∴直线l的方程为2x＋y＝1。 （2）①当n＝1时，
2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1成立。
②假设n＝k（k∈N，k≥1）时，2ak＋bk＝1成立， 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝2（2ak＋1）
1－4akbk1－2ak＝＝＝1， 1－2ak1－2ak∴当n＝k＋1时，命题也成立。 由①②知，对n∈N，都有2an＋bn＝1， 即点Pn在直线l上。
11. 解：（1）因为a1＝1，a2＝2， 所以a3＝（1＋cos
2**
1
3
bkπ2
）a1＋sin
2
π2
＝a1＋1＝2，
(2k－1)π2(2k－1)π]a2k－1＋sin＝a2k22
a4＝（1＋cos2π）a2＋sin2π＝2a2＝4。
一般地，当n＝2k－1（k∈N）时，a2k＋1＝[1＋cos
－1
*
2
＋1，即a2k＋1－a2k－1＝1。
所以数列{a2k－1}是首项为1、公差为1的等差数列， 因此a2k－1＝k。
当n＝2k（k∈N）时，a2k＋2＝（1＋cos
*
2
2kπ22kπ）a2k＋sin＝2a2k。
22
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列， 因此a2k＝2。
故数列{an}的通项公式为
k?n?1*,n?2k?1(k?N),?2an??
n?2*?2,n?2k(k?N)（2）由（1）知，bn＝a2n－1n＝， a2n2n 4