??0Ivcos?2?sin?L?0d(xA?lsin?)xA?lsin?xA?Lsin?xA

方向与速度方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为

?(BL)vR2??0Iv2?cot?ln，

?mdvdt，

A端的电势高．

[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．

（2）当θ→0时，由于 lnxA?Lsin?xA?ln(1?Lsin?xA)?Lsin?xA即：

dvv??(BL)mR2dt

积分得方程的通解为

lnv??(BL)mR2t?C1．

，

所以???0IvL2?xA根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0．方程的特解为

v?v0exp[?(BL)mR2，这就是棒垂直割磁力线

t]．

时所产生电动势．

16．3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质

A 量为m，长为B L．在导轨上的v0 R 端接有电阻R．匀强磁场BB 垂直导轨平面图17.3 向里．当AB

杆以初速度v0向运动时，求：

（1）AB杆能够移动的距离；

（2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？

[分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来．

[解答]（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生电动势为

ε = BLv，

电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为

F = ILB = εLB/R = (BL)2v/R，

32

由于v = dx/dt，可得位移的微分方程

dx?v0exp[?(BL)mR2t]dt，

方程的通解为

x?v0?exp[??mRv0(BL)2(BL)mR2t]dt

?exp[?(BL)mR2t]?C2，

当t = 0时，x = 0，所以常量为C2?方程的特解为

x?mRv0(BL)2mRv0(BL)2．

{1?exp[?(BL)mR2t]}．

当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为x?mRv0(BL)2．

方法二：冲量法．由F = -(BL)2v/R，得

?(BL)R2dx?Fdt，

右边积分得

?tFdt?0?mv0，

即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量． 左边积分后，可得x?mv0R(BL)2．

F = ILB = εLB/R = (BL)2vcosθ/R，

其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的分量为植 F` = Fcosθ， 其方向与速度的方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律ΣF = ma得速度的微分方程为

mgsin??(BLcos?)vRmRmgRsin??(BLcos?)v2（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为

dQ?IRdt?22?mdvdt，

?2Rdt?(BLv)R22dt

即 dt?t]dt

dv，

?(BLv0)R2exp[?2(BL)mR方程可化为

dt??mR(BLcos?)2整个运动过程中产生的焦耳热为

Q?(BLv0)R20d[mgRsin??(BLcos?)v]mgRsin??(BLcos?)v22．

2??exp[?02(BL)mR?2t]dt

积分得方程的通解为

t??mR(BLcos?)22 ln[mgRsin??(BLcos?)v]?C．

??mv2exp[?2(BL)mR2t]0?mv220，

即：焦耳热是杆的动能转化而来的．

16．4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？

[解答]（1）棒

B A 的加速度为

D a = gsinθ， 经过时间t，棒的速B 度为 θ v = at = (gsinθ)t， C 图17.4 而切割磁力线的速

度为 v⊥ = vcosθ， 所以棒的动生电动势为

ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2． （2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 ε = BLvcosθ， 电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为

根据初始条件，当t = 0时，v = 0，可得常量

C?mR(BLcos?)2ln(mgRsin?)，

方程的特解为

t??mR(BLcos?)2ln[mgRsin??(BLcos?)v]mgRsin?2，

棒的速度为

v?mgRsin?(BLcos?)2{1?exp[?(BLcos?)mR2 t]}，

动生电动势为

??BLvcos?

?mgRBLtan?{1?exp[?(BLcos?)mR2 t]}．

[讨论]当时间t趋于无穷大时，最终速度为 v?mgRsin?(BLcos?)2，

最终电动势为 ??mgRtan?， BL 33

最终电流为 I?mgBLtan?．

另外，棒最终做匀速运动，重力做功的

功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为 P = mgsinθv， 感生电流做功的功率为

P?IR?2?2R?(BLvcos?)RmgRsin?2，

两式联立也可得v?(BLcos?)2，

由此可以求出最终电动势和电流．

[注意]只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能．

16．5 电磁涡流制动器是一个电导率为ζ，厚度为t的圆盘，

B 此盘绕通过其中心的ω a r a t 垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均

图17.5

匀磁场B垂直于圆

盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为ω时，试证此圆盘受到一阻碍其转动的磁力矩，其大小近似地表达为M≈B2a2r2ωζt．

[解答]电导率是电阻率的倒数ζ = 1/ρ．不妨将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为

S = at，

电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为

a a l1S I t ． R???SM = Fr = B2a2r2ωζt．

其方向与角速度的方向相反．

16．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框

M C 架内的感应电动势B εi．

v （1）磁场分布θ O 均匀，且B不随时N D x 间改变； 图17.6

（2）非均匀的

交变磁场B = Kxcosωt．

[解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt，

杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， 动生电动势为 εi = Blv = Bv2(tanθ)t．

（2）导体杆扫过的三角形的面积为

S = xl/2 = x2tanθ/2 = v2t2tanθ/2，

通过该面的磁通量为

??BS?kxtan?23cos?t

?kvtan?233tcos?t

感应电动势为

?i??3d?dt

??kvtan?2kvtan?23 (3tcos?t??tsin?t)，

23?t宽为a的边扫过磁场中，速度大小为

v = rω，

产生的感生电动势为 ε = Bav = Barω，

圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻，因此通过小导体的电流强度为

I = ε/R = Barωζt，

所受的安培力为

F = IaB = B2a2rωζt，

其方向与速度方向相反．产生的磁力矩为

即：?i?2 t(?tsin?t?3cos?t)．

16．7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1，式中Φ的单位为毫

B 韦伯，t的单位为

34

R 图17.7

B r x I 秒．求：

（1）在t = 2s时回路中的感生电动势为多少？

（2）电阻上的电流方向如何？ [解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得

Φ = (3t2 + 2t + 1)/103，

感生电动势大小为

ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103．

t = 2s时的感生电动势为1.4×10-2(V)．

（2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．

16．8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R．大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？

[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B??0IR2223/22(x?R)，

当x>>R时，磁感应强度为 B??0IR2x32．

小线圈的面积为S = πr2，通过的磁通量为

??BS???0IRr2x322，

当小线圈运动时，感应电动势为

???d?dt?3??0IRrv2x422，

o R 16．9 如图所示，匀强图17.8 磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°

n B A 角，B = kt（k为大

θ 于零的常数）．长为

L v L的导体杆AB以匀

速v向右平动，求D B 回路中t时刻的感图17.9 应电动势的大小和

方向（设t = 0时，x = 0）．

[解答]经过时间t，导体杆运动的距离为

x = vt，

扫过的面积为 S = Lx = Lvt， 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2． 感应电动势的大小为

ε = dΦ/dt = Lvkt．

由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．

16．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε．

[解答]电流A B I在r处产生的磁B dr感应强度为 rv b?0I， B?2?rx 穿过面积元dS = D a C bdr的磁通量为

?Ib图17.10

d??BdS?02?rdr当x = NR时，感应电动势为

??3??0Irv2NR422，

穿过矩形线圈ABCD的磁通量为 ???0Ib2?x?a．

?x1rdr??0Ib2?ln(x?ax)，

感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．

回路中的电动势为

35