湖大版大学物理课后习题答案 下载本文

??0Ivcos?2?sin?L?0d(xA?lsin?)xA?lsin?xA?Lsin?xA

方向与速度方向相反.

取速度的方向为正,根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为

?(BL)vR2??0Iv2?cot?ln,

?mdvdt,

A端的电势高.

[讨论](1)当θ→π/2时,cotθ = cosθ/sinθ→0,所以ε→0,就是说:当棒不切割磁力线时,棒中不产生电动势.

(2)当θ→0时,由于 lnxA?Lsin?xA?ln(1?Lsin?xA)?Lsin?xA即:

dvv??(BL)mR2dt

积分得方程的通解为

lnv??(BL)mR2t?C1.

所以???0IvL2?xA根据初始条件,当t = 0时,v = v0,可得常量C1 = lnv0.方程的特解为

v?v0exp[?(BL)mR2,这就是棒垂直割磁力线

t].

时所产生电动势.

16.3 如图所示,平行导轨上放置一金属杆AB,质

A 量为m,长为B L.在导轨上的v0 R 端接有电阻R.匀强磁场BB 垂直导轨平面图17.3 向里.当AB

杆以初速度v0向运动时,求:

(1)AB杆能够移动的距离;

(2)在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少?

[分析]当杆运动时会产生动生电动势,在电路中形成电流;这时杆又变成通电导体,所受的安培力与速度方向相反,所以杆将做减速运动.随着杆的速度变小,动生电动势也会变小,因而电流也会变小,所受的安培力也会变小,所以杆做加速度不断减小的减速运动,最后缓慢地停下来.

[解答](1)方法一:速度法.设杆运动时间t时的速度为v,则动生电动势为

ε = BLv,

电流为 I = ε/R, 所受的安培力的大小为

F = ILB = εLB/R = (BL)2v/R,

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由于v = dx/dt,可得位移的微分方程

dx?v0exp[?(BL)mR2t]dt,

方程的通解为

x?v0?exp[??mRv0(BL)2(BL)mR2t]dt

?exp[?(BL)mR2t]?C2,

当t = 0时,x = 0,所以常量为C2?方程的特解为

x?mRv0(BL)2mRv0(BL)2.

{1?exp[?(BL)mR2t]}.

当时间t趋于无穷大时,杆运动的距离为x?mRv0(BL)2.

方法二:冲量法.由F = -(BL)2v/R,得

?(BL)R2dx?Fdt,

右边积分得

?tFdt?0?mv0,

即:杆所受的冲量等于杆的动量的变化量. 左边积分后,可得x?mv0R(BL)2.

F = ILB = εLB/R = (BL)2vcosθ/R,

其方向水平向右.安培力沿着斜面向上的分量为植 F` = Fcosθ, 其方向与速度的方向相反.

取速度的方向为正,根据牛顿第二定律ΣF = ma得速度的微分方程为

mgsin??(BLcos?)vRmRmgRsin??(BLcos?)v2(2)杆在移动过程中产生的焦耳热元为

dQ?IRdt?22?mdvdt,

?2Rdt?(BLv)R22dt

即 dt?t]dt

dv,

?(BLv0)R2exp[?2(BL)mR方程可化为

dt??mR(BLcos?)2整个运动过程中产生的焦耳热为

Q?(BLv0)R20d[mgRsin??(BLcos?)v]mgRsin??(BLcos?)v22.

2??exp[?02(BL)mR?2t]dt

积分得方程的通解为

t??mR(BLcos?)22 ln[mgRsin??(BLcos?)v]?C.

??mv2exp[?2(BL)mR2t]0?mv220,

即:焦耳热是杆的动能转化而来的.

16.4 如图所示,质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下.磁感应强度B的方向竖直向上(忽略棒AB与框架之间的摩擦),求棒AB的动生电动势.若棒AB沿光滑的金属框架滑下,设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量,棒AB的动生电动势又为多少?

[解答](1)棒

B A 的加速度为

D a = gsinθ, 经过时间t,棒的速B 度为 θ v = at = (gsinθ)t, C 图17.4 而切割磁力线的速

度为 v⊥ = vcosθ, 所以棒的动生电动势为

ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2. (2)设棒运动时间t时的速度为v,则动生电动势为 ε = BLvcosθ, 电流为 I = ε/R, 所受的安培力的大小为

根据初始条件,当t = 0时,v = 0,可得常量

C?mR(BLcos?)2ln(mgRsin?),

方程的特解为

t??mR(BLcos?)2ln[mgRsin??(BLcos?)v]mgRsin?2,

棒的速度为

v?mgRsin?(BLcos?)2{1?exp[?(BLcos?)mR2 t]},

动生电动势为

??BLvcos?

?mgRBLtan?{1?exp[?(BLcos?)mR2 t]}.

[讨论]当时间t趋于无穷大时,最终速度为 v?mgRsin?(BLcos?)2,

最终电动势为 ??mgRtan?, BL 33

最终电流为 I?mgBLtan?.

另外,棒最终做匀速运动,重力做功的

功率等于感生电流做功的功率,重力做功的功率为 P = mgsinθv, 感生电流做功的功率为

P?IR?2?2R?(BLvcos?)RmgRsin?2,

两式联立也可得v?(BLcos?)2,

由此可以求出最终电动势和电流.

[注意]只有当物体做匀速运动时,重力所做的功才等于电流所做的功,否则,重力还有一部分功转换成物体的动能.

16.5 电磁涡流制动器是一个电导率为ζ,厚度为t的圆盘,

B 此盘绕通过其中心的ω a r a t 垂直轴旋转,且有一覆盖小面积为a2的均

图17.5

匀磁场B垂直于圆

盘,小面积离轴r(r>>a).当圆盘角速度为ω时,试证此圆盘受到一阻碍其转动的磁力矩,其大小近似地表达为M≈B2a2r2ωζt.

[解答]电导率是电阻率的倒数ζ = 1/ρ.不妨将圆盘与磁场相对的部分当成长、宽和高分别为a、a和t的小导体,其横截面积为

S = at,

电流将从横截面中流过,长度为a,因此其电阻为

a a l1S I t . R???SM = Fr = B2a2r2ωζt.

其方向与角速度的方向相反.

16.6 如图,有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中,磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面,一导体杆MN垂直于OD边,并在金属架上以恒定速度v向右滑动,v与MN垂直,设t = 0时,x = 0,求下列两情形,框

M C 架内的感应电动势B εi.

v (1)磁场分布θ O 均匀,且B不随时N D x 间改变; 图17.6

(2)非均匀的

交变磁场B = Kxcosωt.

[解答](1)经过时间t,导体杆前进的距离为 x = vt,

杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t, 动生电动势为 εi = Blv = Bv2(tanθ)t.

(2)导体杆扫过的三角形的面积为

S = xl/2 = x2tanθ/2 = v2t2tanθ/2,

通过该面的磁通量为

??BS?kxtan?23cos?t

?kvtan?233tcos?t

感应电动势为

?i??3d?dt

??kvtan?2kvtan?23 (3tcos?t??tsin?t),

23?t宽为a的边扫过磁场中,速度大小为

v = rω,

产生的感生电动势为 ε = Bav = Barω,

圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻,因此通过小导体的电流强度为

I = ε/R = Barωζt,

所受的安培力为

F = IaB = B2a2rωζt,

其方向与速度方向相反.产生的磁力矩为

即:?i?2 t(?tsin?t?3cos?t).

16.7 如图所示的回路,磁感应强度B垂直于回路平面向里,磁通量按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1,式中Φ的单位为毫

B 韦伯,t的单位为

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R 图17.7

B r x I 秒.求:

(1)在t = 2s时回路中的感生电动势为多少?

(2)电阻上的电流方向如何? [解答](1)将磁通量的单位化为韦伯得

Φ = (3t2 + 2t + 1)/103,

感生电动势大小为

ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103.

t = 2s时的感生电动势为1.4×10-2(V).

(2)由于原磁场在增加,根据楞次定律,感应电流所产生的磁场的方向与原磁场的方向相反,所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的,从电阻的左边流向右边.

16.8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈,小线圈在大线圈上面.两线圈的距离为x,设x远大于圆半径R.大线圈中通有电流I时,若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的,且以速率v = dx/dt运动.求x = NR时,小线圈中的感应电动势为多少?感应电流的方向如何?

[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B??0IR2223/22(x?R),

当x>>R时,磁感应强度为 B??0IR2x32.

小线圈的面积为S = πr2,通过的磁通量为

??BS???0IRr2x322,

当小线圈运动时,感应电动势为

???d?dt?3??0IRrv2x422,

o R 16.9 如图所示,匀强图17.8 磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°

n B A 角,B = kt(k为大

θ 于零的常数).长为

L v L的导体杆AB以匀

速v向右平动,求D B 回路中t时刻的感图17.9 应电动势的大小和

方向(设t = 0时,x = 0).

[解答]经过时间t,导体杆运动的距离为

x = vt,

扫过的面积为 S = Lx = Lvt, 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2. 感应电动势的大小为

ε = dΦ/dt = Lvkt.

由于回路中磁通量在增加,而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加,其磁场与原磁场的方向相反,所以感应电动势的方向是顺时针的.

16.10 长为b,宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面,且线圈的长边平行于长直导线,线圈以速度v向右平动,t时刻基AD边距离长直导线为x;且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化,如图所示.求回路中的电动势ε.

[解答]电流A B I在r处产生的磁B dr感应强度为 rv b?0I, B?2?rx 穿过面积元dS = D a C bdr的磁通量为

?Ib图17.10

d??BdS?02?rdr当x = NR时,感应电动势为

??3??0Irv2NR422,

穿过矩形线圈ABCD的磁通量为 ???0Ib2?x?a.

?x1rdr??0Ib2?ln(x?ax),

感应电流的磁场与原磁场的方向相同,感应电流的方向与原电流的环绕方向相同.

回路中的电动势为

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