（4）当线圈中电阻不为零时，电流通过电阻要产生电压降iR，当电容器带电时，两端的电压为 Uc = q/C； 当电感中电流变化时，产生的感应电动势大小为 UL = Ldi/dt．

它们相当于两个电源，方向相同，而与电阻上电压降的方向相反，所以电路方程为

?Ldidt?qC?iR．

平均坡印廷矢量，根据17．29题的结果得电场强度的峰值为

E0?2Sc?0

?10?210(V·m)， 24?= 8.68×

-2-1

磁场强度的峰值为

H0?2Sc?016?由于I = dq/dt，所以方程变为

Ldqdt22 ?Rdqdt?qC?0．

?10?3=2.3×10-4(A·m-1)．

设方程的解为q = Aert，代入微分方程

可得

Lr2 + Rr + 1/C=0．

根的判别式为D = R2 - 4L/C，当R2≧4L/C时，ert只有实部，电路不能发生振荡．

当R2 < 4L/C时，设r = α + ωi(i为虚数单位)，其中

???R2L（2）电台的发射功率等于单位时间内通过飞机所在球面的平均能量，即

(10)×10×10 P?4?rS= 4π×

= 4π×103(W) = 12.56(kW)．

242-6

，

2??4L/C?R2L?1LC?R224L．

44

电路能够发生振荡，振荡频率为

???2??12?1LC?R224L．

α使振幅按指数规律减小．

[讨论]当电路中的电阻R = 0时，α = 0，频率为

??1/2?LC，

这正是纯LC电路的振荡频率．

17．33 一飞机在离电台10km处飞行，收到电台的讯号强度为10×10-6W·m-2，求：

（1）该电台发射的讯号在飞机所在处的电场强度的峰值E0和磁场强度的峰值H0为多少？

（2）设电台发射是各向同性的，求电台的发射功率．

[解答]（1）飞机电台收到讯号强度就是

补充题

17．1 在半径为

Ek R的圆柱形空间内，θ PA B 匀强磁场随时间的r dl R a θ 变化率为dB/dt，一根

O长为L的金属导体棒

B 置于磁场中，求棒AB

两端的感生电动势．

[解答]方法一：场强法．取Ｏ为圆心r为半径的环路，其周长为C = 2πr， 面积为 S = πr2． 设环路的为逆时针方向，则面积的方向垂直平面向外。

在环流公式中

OA和OB与场强方向垂直，感应电动势为零．所以杆上的感应电动势为

?AB??BAEk?dl??OBEk?dl??AOEk?dl

????Ek?dl?L?2?BS?t?dS

?dBdtL2?SdS?L2aLdBdtdBdt

?R?(2)2．

??Ek?dl???L?BS?t?dS，

[讨论]AB两端的感生电动势与棒的长

度L有关，对L求导得

d?ABdL?(R?L/4?L22设dB/dt > 0，则感应电流的磁场垂直纸面向外，环路上的涡旋电场强度Ek的方向与环路方向相同，而?B/?t的方向与dS的方向相反，可得

2πrEk = πr2dB/dt， 所以 Ek?rdB2dt?L/422R?L/42dt)dB

?R?L/22222dB，

R?L/42dt．

令dεAB/dL = 0，得 L?由于 sin??L/2R2R， 22设AP为l，在杆上r处取一线元dl，感应电动势为

d??Ek?dl?rdB2dtdlcos?，

?，

设杆到圆心O的距离为a，则a = rcosθ，于是得

d??adB2dtdl．

所以θ = 45°．这种情况下OAB的面积最大，感生电动势也最大，最大值为

?AB?R2dBdt2．

AB两端的感生电动势为

?AB?adB2dtL?dl?0aLdB2dt．

由于a = [R2 - (L/2)2]1/2，所以得

?AB?L2R?(2 17．（2）．均匀磁场充满在半径为R的圆柱形空间，一金属

R C R A 杆长为2R，一半在B a α D R 磁场外，另一半在磁场中，并跨在圆柱形O磁场的两端．磁场随B 时间的变化率为

dB/dt，求棒AB两端的感生电动势．

45

L2)2dBdt．

方法二：面积法．在三角形OAB中，

[解答]方法一：面积法．连接OA和OB，由于AC = R，三角形AOC为等边三角形，其高为a?3R/2，面积为 aR234d??Ek?dl?rdB2dtdlcos??adB2dt dl．

AC段的感应电动势为

?AC?adB2dtR?dl?0aRdB2dt?34R2dBdt．

S1??2R．

当线元在磁场之外时，感应电动势为

d??Ek?dl?R2而三角形BCO是等腰三角形，∠BCO = 120o，所以α = 30o = π/6，扇形OCD的面积为

S2??2R?2dB2rdtdlcos?

?122R．

?aR22dBdldtr2，

由于OA和OB与场强方向垂直，感应电动势为零．所以杆上的感应电动势为 ?AB??BAEk?dl??OBEk?dl??AOEk?dl

????Ek?dl?L??BS?t?dS dBdt其中 CP = l，

r2 = l2 + R2 - 2lRcos120o = (l + R/2)2 + 3R2/4．

利用积分公式

?dBdt?(SdS?(S1?S2)

?1x?a22dx?1aarctagxa?C，

得CB两端的感生电动势为

?CD?aR22?R2?34?3)dBdt．

dBdtR?r02dl2

方法二：场强

R P C R 法．由上题可知磁

B dl A r θ a 场中涡旋电场的R Ek 场强为

OrdB， B Ek?2dt?aR2aR22dBdtR?(l?R/2)0dl?3R/4l?R/23R/2R2

2?dBdt23Rarctan

0（r≦R）．

在磁场外以Ｏ为圆心，以r为半径作一环路，其周长为 C = 2πr， 但是包围磁场的面积为 S = πR2， 根据环路公式

由于a?3R2，arctan3??32，arctan33??6，

所以 ?CD??RdB12dt．

??Ek?dl???L?BS?t?dS，

AB两端的感生电动势为 ?AB??AC??CB?R2可得 2πrEk = πR2dB/dt，

所以电场强度为

Ek?R24(?3?3)dBdt．

dB2rdt，（r > R）．

在杆上r处取一线元dl，当线元在磁场

中时，感应电动势为

可见：此题用场强法也能计算出同一结果，但是面积法更简单．

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