???d?dt联立①和②式得微分方程

dvdt22?(aB0)mL2v?0，

???0b2?[ln(x?adI11dx)?I(?)] xdtx?axdt这是简谐振动的微分方程，其通解为

v?AcosaB0mLt?BsinaB0mLt．

??0I0b2?[?ln(x?ax)sin?t?avcos?tx(x?a)]．

显然，第一项是由于磁场变化产生的感

生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势． *

16．11 如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）．金属线框的质量为m，y B0 自感系数

bv0 为L，忽略

a电阻．线框的长边与x轴平o x 行，它以

图17.11

速度v0沿

x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向垂直矩形线框平面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t)．

[解答]由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动．当线框速度为v时，产生的动生电动势为 ε = B0av．

当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为 ?L?Ldidt当t = 0时，v = v0，所以A = v0．

加速度

at = dv/dt

?aB0mL(?AsinaB0mLt?BcosaB0mLt)，

当t = 0时，at = 0，所以B = 0．

速度方程为

v?v0cosaB0mLt．

由于v = dx/dt，所以 x??vdt?mLaB0aB0 vcosttd?0mLaB0mL?v0sint?C．

当t = 0时，x = 0，所以C = 0，所以位移方程为

x?v0mLaB0sinaB0mLt．

．

根据欧姆定律得 ε + εL = iR， 由于不计电阻，所以有

B0av?Ldidt?0． ①

右边所受的力为 F = iaB0， 根据牛顿第二定律得

iaB0?mdvdt，

dvdt22微分得 aB0

didt?m， ②

36

16．12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半a B 径R = 12cm，dB/dt

r R -2-1

b = 10T·s．求图中

a、b、c三点的涡旋电场为多少（b

r c 为圆心）？设ab =

图7.12 10cm，bc = 15cm．

[解答]（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为

C = 2πr，

面积为 S = πr2． 取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。

根据安培环路定理

??Ek?dl???L?BS?t?dS，

由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向

相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于

电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义L = NΦ/I，本题中NΦ是图中阴影部分面积的磁通量）．

[解答]在内外半径之间，磁感应强度的大小为 B = μ0I/2πr，

其中r是场点到轴线之间的距离，B的方向是以轴线为中心的同心圆．

在r处取一长为l的面积元dS = ldr， 通过面积元的磁通量为 dΦ = BdS， 总磁通量为

r2???2?rr1?0Ildr??0Il2?lnr2r1，

蜒?Ek?dl?L?LEkdl?Ek ?dl?Ek2?r．

L电缆的自感系数为

L?而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于

???BS?I??0l2?lnr2r1．

?t?dS?dBdt?SdS?dBdt[讨论]电缆单位长度的自感系数为

?r．

L0?2Ll??02?lnr2r1．

因此涡旋电场为 Ek?rdB2dt．

对于a点，由于r = 0.1m，所以

Ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(V·m-1)． 对于b点，由于r = 0，所以Ek = 0． （2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路．根据安培环路定理

??Ek?dl???L?BS?t?dS，

左边的积分仍然为Ek2πr．由于半径R之外

的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为πR2dB/dt，因此涡旋电场为

Ek?R2 16．14 两个共轴圆线B 圈，半径分别为R和r，r 匝数分别为N1和N2，两者

L 相距L．设小线圈的半径

I1 很小，小线圈处的磁场近

o R 似地可视为均匀，求两线圈的互感系数． 图17.14

[解答]设大线圈中通以电流I1，N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B??0N1I1R2223/22(L?R)，

dB2rdt．

小线圈的面积为 S = πr2，

大线圈通过一匝小线圈的磁通量为

??BS???0N1I1Rr2(L?R)2222对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以

Ek = (0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(V·m-1）．

16．13 两个共轴的导

r2 体圆筒称为电缆，其内、o r1 外半径分别为r1和r2，设

I I

3/2，

在小线圈中产生的全磁通为

?21?N2????0N1N2I1Rr2(L?R)223/222，

l 37

图17.13

互感系数为

M??21I1???0N1N2Rr2(L?R)22223/2．

[讨论]当两线圈相距很远时，L>>R，互感系数约为

M???0N1N2r2R2．

16．15 两个共轴的长直螺线管长为L，半径分别为R1和R2，设R2 > R1；匝数分别为N1和N2．求两螺线管的互感系数．

[解答]设大螺线管中通以电流I2，在轴线上产生的磁感应强度为

B = μ0n2I2 = μ0N2I2/L．

小螺线管的面积为 S = πR12，

大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为

Φ = BS = πμ0N2I2R12/L，

在小线圈中产生的全磁通为

Φ12 = N1Φ = πμ0N1N2I2R12/L，

互感系数为

M = Φ12/I2 = πμ0N1N2R12/L．

16．16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝．求：

（1）两线圈的互感M； （2）C2线圈中的电

I2 C2 流以50A·s-1的速率减少

时，C1中的感应电动势为C1 多少？

[解答](1)设大线圈中

图17.16

通以电流I2，N2匝线圈形

成的环电流在圆心产生的磁感应强度为

B = μ0N2I2/2R，

小线圈中的全磁通为

Φ12 = N1BS =μ0N1N2I2S/2R， 互感系数为

M = Φ12/I2 = μ0N1N2S/2R = 4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)． (2) C1中的感应电动势的大小为 ε = MdI2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(V)．

38

16．17 长直导线与矩

a 形单匝线圈共面放置，导线

与线圈的长边平行，矩形线

I b 圈的边长分别为a、b，它到

c 直导线的距离为c（如图），

当矩形线圈中通有电流I = I0sinωt时，求直导线中的感图17.17 应电动势．

[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为

B = μ0I/2πr．

在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为

a?c???SBdS??c?0Ibdr2?r??0Ib2?lna?cc，

互感系数为 M??I??0b2?lna?cc．

当线圈中通以交变电流I = I0sinωt时，

直导线中的感应电动势大小为

?bdIa?c??M?0(ln)I0?cos?t．

dt2?c

16．18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01H，如图所示．求：

（1）线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，b和b`之间的自感L为多少？

（2）线

a a圈1的b端和线圈2的a`端相接时，a和b`之间的

b b` 自感L为多图17.18 少？

[解答]（1）当线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，在b和b`之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场B = 0，所以磁场能量为零，自感L也为零．

（2）当线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，在a和b`之间通以电流I，两个线

圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为B = B1 + B2 = 2B1，磁场的能量为

Wm?Wm?12L1I?21222L2I?MI，

自感系数为

L?2WmI2V?2?B2dV?4?VB122?dV?4122L1I．

?L1?L2?2M．

自感系数为

L?2WmI2?4L1=0.04(H)．

16．19 两个线圈的自感分别为L1和L2，，它们之间的互感为M．将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．

[解答]两个线圈串联时，通以

2 3 4 电流I之后，1 a 总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和1 3 4 2 b B = B1 + B2，磁场的

能量为

Wm?

16．20 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.0×10-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感L2 = 9×10-3H，通有电流I2 = 4A．求两线圈内储存的总磁能．

[解答]A管储存的自能为

Wm1??12122L1I1

?4?10?3?2?8?102?3(J)，

B管储存的自能为

Wm2??12122L2I2

?9?10?3?4?72?102?3(J)；

由于两线圈完全耦合，互感系数为

M??4?10?3L1L2 ?9?10?3图17.19

2?6?10?3(H)，

V?2??2?2BdV

?V?2?12B12dV?B22dV??VB1?B2V?dV

?L1I?212L2I??VB1B2cos??dV．

（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ = 0，所以

Wm?12L1I?21222L2I?MI，

自感系数为

L?2WmI2?L1?L2?2M．

（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ = π，所以

A管和B管储存的相互作用能为

Wm12 = MI1I2 = 6×10-3×2×4 = 48×10-3(J)， 两线圈储存的总能量为

Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)．

16．21 一螺绕环中心轴线的周长L = 500mm，横截面为正方形，其边长为b = 15mm，由N = 2500

o 匝的绝缘导线均匀

密绕面成，铁芯的相对磁导率μr = 1000，当导线中通有电流I I b = 2.0A时，求：

（1）环内中心

b 轴线上处的磁能密

o` 度；

图17.21

（2）螺绕环的总磁能．

[解答]（1）设螺绕环单位长度上的线圈

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