第12章 静电场

P35．

12．3 如图所示，

在直角三角形ABCD的q1 A A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点C E2 B θ 电荷q10C，AC Eq2 2 = -4.8×-9

1 E = 3cm，BC = 4cm，试求图13.1 C点的场强．

[解答]根据点电荷的场强大小的公式

E?kq，

r2?1q4??r20其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2．

点电荷q1在C点产生的场强大小为

E1?1q14??C2

0A?9?9?109?1.8?104(3?10?2)2?1.8?10(N?C-1)，

方向向下．

点电荷q2在C点产生的场强大小为

E2?1|q2|4??2

0BC?9?9?109?4.8?10(4?10?2)2?2.7?104(N?C-1)，

方向向右．

C处的总场强大小为

E?E221?E2

?0.913?104?3.245?104(N?C-1)，

总场强与分场强E2的夹角为

??arctanE1E?33.69?．

2

12．4 半径为R的一段圆弧，圆心角为

60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．

[解答]在带正电的圆弧上取一弧元 ds R ds = Rdθ，

θ O Ex x 电荷元为dq = λds，

Ey E 在O点产生的场强大y 小为

dE?1dq4??2?1?ds???，

0R4??20R4??0Rd场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．

对于带负电的圆弧，同样可得在O点的Ex θ 场强的两个分量．由于O 弧形是对称的，x方向

dsE x R Ey 的合场强为零，总场强y 沿着y轴正方向，大小为

E?2Ey??LdEsin?

?/6?/6??2???sin?d???0R02??(?cos?)

0R0?(1?3?．

2)2??0R

12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求：

（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；

（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．

[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．

在

细棒上y dl取一线l r P1 x 元dl，所带的电

-L o L d1 量为dq = λdl，

根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产

1

生的场强的大小为

dE1?kdqr2??dl2Ey???4??0d2L4??0(x?l)

??l??Lsin?d?

场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得 E1??4??0d2Lcos?l??L

?4??0?L??Ldl(x?l)1L2

??4??0d214??0d2ld22L

?l2l??L?4??0x?l

?L?2L?d22． ②

2?L??4??01(1x?L2L?22?1x?L将数值代入公式得P2点的场强为

)

Ey?9?10?92?0.1?3?102?821/20.08(0.08?0.1)

?4??0x?L． ①

将数值代入公式得P1点的场强为

E1?9?10?92?0.1?3?100.18?0.122?8= 5.27×103(N·C-1)． 方向沿着y轴正向．

[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得

E1?

?a= 2.41×103(N·C-1)，

方向沿着x轴正向．

（2）建立

y dE2 坐标系，y = d2． dEy θ 在细棒上P2 dEx 取一线元dl，所

d2 r -L L 带的电量为 θ o x dq = λdl，

ldl 在棒的垂直平

分线上的P2点产生的场强的大小为

dE2?kdqr24??0d1d1?a??14??0d1d1/a?1，

保持d1不变，当a→∞时，可得

E1??4??0d1， ③

这就是半无限长带电直线在相距为d1的延

长线上产生的场强大小．

（2）由②式得

Ey??4??0d222ad?(a/2)1(d2/a)?(1/2)22 ??dl24??0r，

??4??0d2，

2由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．

由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ， 所以 dl = -d2dθ/sin2θ， 因此 dEy?总场强大小为

??4??0d2sin?d?，

当a→∞时，得 Ey??2??0d2， ④

这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．

如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．

1

12．6 一均匀带电无限长细棒被弯成如R 图所示的对称形状，试O θ 问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．

图13.4

[解答]设电荷线密

度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．

dφ 在圆弧上取一

R 弧元 ds =R dφ， O φ θ x 所带的电量为

dE dq = λds，

在圆心处产生的场强的大小为

dE?kdqr2方向沿着x轴负向．

当O点合场强为零时，必有Ex?Ex，可得 tanθ/2 = 1， 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．

12．7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为ζ，

P a b 如图所示．试求：

（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a

d 处的场强．

（2）通过薄板几

Q 何中心的垂直线上与

图13.5 薄板距离为d处的场

强．

[解答]（1）建

y 立坐标系．在平面薄

a b 板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的

线密度为

dλ = ζd x， 根据直线带电线的场强公式

E?`??ds24??0R??4??0Rd?，

由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

dEx = -dEcosφ． 总场强为

Ex???4??0R??4??0R2???/2??/2cos?d?

O dx P x 2???/2?sin??/2

?2??0r??2??0Rsin?2，

，

得带电直线在P点产生的场强为

dE?d?2??0r?方向沿着x轴正向．

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．

R 根据上一题的E`` x O θ 公式③可得半无限

长带电直线在延长E` 上O点产生的场强大小为

E?`?dx2??0(b/2?a?x)，

其方向沿x轴正向．

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

E??2??0??2??0b/2??b/21b/2?a?xdx

?4??0R，

?b/2ln(b/2?a?x)?b/2

由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为

Ex?2Ecos``?2??2??0Rcos?2??2??0ln(1?ba)． ①

，

2

场强方向沿x轴正向．

（2）为了便于观察，将薄板旋转建Ez??arctan(b/2d)，

立坐标x 系．仍然在dx 平面薄板上r θ z 取一宽度为O d Q dx的带电直

b dE 线，电荷的y 线密度仍然为

dλ = ζd x，

带电直线在Q点产生的场强为

dE?d??dx2??0r?2??0(b2?x2)1/2，

沿z轴方向的分量为

dEz?dEcos???cos?dx2??221/2，

0(b?x)设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此

dEz?dEcos???2??d?

0积分得

arctan(b/2d)E?z???arctan(b/2d)2??d?

0??b??arctan(2d)． ②

0场强方向沿z轴正向．

[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为

λ = ζb，

①式的场强可化为

E??ln(1?b/a)2??

0ab/a，当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

E??2??， ③

0a这正是带电直线的场强公式．

（2）②也可以化为

2??0db/2d当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

Ez??2??，

0d这也是带电直线的场强公式．

当b→∞时，可得

Ez??2?， ④

0这是无限大带电平面所产生的场强公式．

12．8 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？

（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？

[解答]点电荷产生的电通量为

Φe = q/ε0．

（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为

Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．

（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为

Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．

12．9 面电荷密度为ζ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的

R O 电通量．

[解答]设想

图13.7

在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为

q = πR2ζ， 通过球面的电通量为

3