【解答】解：如图，由OD与圆O′相切，连接O′B得到O′B⊥OD 两半径之比为1：3，即OA：O′B=3：1，∴OO′：O′B=2：1．∴

，所以

．

因为S圆=π×（O′B），S扇=则

故答案为：2：3

=6×

2

=6×=2：3

【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用圆和扇形的面积公式，是一道综合题．

14．（4分）（2009?宁夏）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则

= 0 ．

．

，所以T=π，

【解答】解：根据图象可知因为当x=所以

时，f（

，所以ω=3， ）=0，即

，可得， ．

故答案为：0．

【点评】本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题．属基础题． 15．（4分）（2014?黄山一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则

的值为 4 ．

【考点】正弦定理的应用．

【分析】先根据正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后转化为正切的形式可得到答案．

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【解答】解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得

sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B）， 即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA）， 即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB， 所以

=4．

故答案为：4

【点评】本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用．三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用． 16．（4分）（2007?四川）下面有5个命题：

44

①函数y=sinx﹣cosx的最小正周期是π； ②终边在y轴上的角的集合是

；

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点； ④把函数

的图象向右平移

得到y=3sin2x的图象；

⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0

其中，真命题的编号是 ①④ （写出所有真命题的编号）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；终边相同的角；三角函数的周期性及其求法．

44

【分析】①化简函数y=sinx﹣cosx为﹣cos2x，说明它的最小正周期是π，判断正误； ②通过k的取值，判断终边在y轴上的角的集合是

的正误；

③利用单位圆及三角函数线，当

时，sinx＜x＜tanx，判断在同一坐标系中，

函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；是错误的． ④把函数

的图象向右平移

得到y=3sin2x的图象；判断正确．

⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0

4422

【解答】解：①y=sinx﹣cosx=sinx﹣cosx=﹣cos2x，它的最小正周期为π，正确； ②k是偶数时，α的终边落在x轴上，所以②错误； ③可以借助单位圆证明当一象限无交点，错误； ④把函数

的图象向右平移

得到y=3sin2x的图象，这是正确的；

时，sinx＜x＜tanx，故y=sinx，y=tanx和y=x在第

⑤角θ为第二象限角，sinθ＞0也成立．所以⑤错误， 故答案为：①④．

【点评】本题是基础题，考查三角函数的有关的基本知识，掌握三角函数的基本性质，是解好三角函数问题的基础，因而学好基本知识，在解题中才能灵活应用，本题是常考题，易错题．

三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）（2009?东城区二模）已知

．

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=，，=，

（Ⅰ）设，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

，且f（x1）=f（x2）=1，求x1+x2

（Ⅱ）设有不相等的两个实数

的值．

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）欲求f（x）的最小正周期，先计算平面向量的向量积数相关性质化简，最后利用公式求出单调递减区间． （Ⅱ）由于实数即可得到x1+x2的值． 【解答】解：（Ⅰ）由==

=cosx﹣sinx==

（6分）

得f（x）

．（4分）

，再利用三角函

求出最小正周期；根据化简得到的三角函数性质易

，根据所求出的三角函数性质求出这两个实数，

所以f（x）的最小正周期T=2π，（8分） 又由得

故f（x）的单调递减区间是（Ⅱ）由f（x）=1得又所以

，于是有．（13分）

，故

，得

，k∈Z， ，k∈Z、

（k∈Z）、．（10分）

．

（12分）

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，同时考查三角函数的相关性质．

18．（12分）（2008?湖北模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA=，cosB=

．

（1）求角C；

（2）若△ABC的最短边长是，求最长边的长． 【考点】解三角形． 【分析】（1）由tanA的值，根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和cosA的值，同时由cosB的值，由B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据诱导公式得cosC等于﹣cos（A+B），利用两角和的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到角C的度数；

（2）由sinA的值大于sinB的值，得到角A大于角B，即可得a大于b，得到b为最短的边，然后利用正弦定理，由b，sinB及sinC的值即可求出最长边c的值．

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【解答】解：（1）∵tanA=，∴A为锐角，则cosA=又cosB==﹣

×

，∴B为锐角，则sinB=+

×

=﹣

，sinA=．

，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB

．又C∈（0，π），∴C=π．

（2）∵sinA=＞sinB=，∴A＞B，即a＞b，∴b最小，c最大，

由正弦定理得=，得c=?b=?=5．

【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、诱导公式及正弦定理化简求值，是一道综合题． 19．（12分）（2009?四川）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=

．

（1）求A+B的值；

（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．

【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．

（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值．

【解答】解：（1）∵A、B为锐角，sinB=又cos2A=1﹣2sinA=，∴sinA=∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=∵0＜A+B＜π，∴A+B=（2）由（1）知C=

． ，∴sinC=

2

，∴cosB=

=

﹣

×

． =

=．

，cosA=

×

．

．由正弦定理==得

a=b=c，即a=b，c=b．∵a﹣b=﹣1，∴b﹣b=﹣1，∴b=1． ∴a=，c=．

【点评】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力． 20．（12分）（2016?衡水校级模拟）如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为（，），记∠COA=α． （1）求

2

的值；

（2）求|BC|的值．

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