v2?2??2（3）重力与向心力的联系：mg?m?m?r?m??r,g为对应轨道处的重力加速度，适

r?T?用于已知g的特殊情况。

2二、天体质量的估算

模型一：环绕型：

谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G和环形卫星的v、ω、T、r中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。

Mm4?2r3?2??①已知r和T:G2?m??r?M?. 2rGT?T?Mmv2rv2. ②已知r和v:G2?m?M?rrG2Mmv2v3T?2??③已知T和v:G2?m?m??r?M?.

rr2?G?T?模型二：表面型：

谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。

MmgR2. G2?mg?M?RG2变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g，也可以利用上面的方

法求出天体的质量：

处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，

Mmg'(R?h)2即：G?mg'?M?. 2(R?h)G[触类旁通]1、(2013〃福建理综，13)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( A )

A．GM＝

4π2r3

T2

B．GM＝

4π2r2

T2

C．GM＝

4π2r2

T3

D．GM＝

4πr3

T2

GMm4π2

解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由r2＝mrT2可得 4π2r3

GM＝T2，A正确。

2、(2013〃全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N〃m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为( D ) A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg

解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心Mm4π24π2r3

力是由月球对卫星的万有引力提供。由G2＝mr2得M＝，又r＝R月＋h，代入数值得月

rrGT2球质量M＝7.4×1022kg，选项D正确。

3、土星的9个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为1.59×105 km，公转周期

为18 h 46 min，则土星的质量为 5.21×1026 kg。

4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。

解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量

23LR23Gt2。

5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是( A )

gR2A．M =

GGR2B．M =

g4π2R3C．M =

GT2T2R3

D．M =2

4πG

解析：月球绕地球运转的周期T与月球的质量无关。

三、天体密度的计算

模型一：利用天体表面的g求天体密度： Mm43gG2?mg,M????R3???. R34?GR 变形 物体不在天体表面：

Mm433g'(R?h)2G?mg',M????R???. (R?h)234?GR3模型二：利用天体的卫星求天体的密度：

4?2r32Mm4?2r43M3?r3GTG2?m2,M????R?????.2344rT3?R3?R3GTR33

四、求星球表面的重力加速度：

在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：

mg星?G

[牛刀小试]（2012新课标全国卷，21）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井

M星mGM星?g?.星22R星R星深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )

22dd?R?d??R?A．1－ B．1＋ C.?? D. ?? RRRR?d????解析：设地球的质量为M，地球的密度为ρ，根据万有引力定律可知， 地球表面的重力加速度g＝

GM43

2，地球的质量可表示为M＝πRρ R3

因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为 R－d3GM′43

M′＝π(R－d)ρ，解得M′＝(R)M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，所以矿井

3?R－d?2g′d

底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比g＝1－R，选项A正确，选项B、C、D错误。

五、双星问题：

特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。 符号表示：F?m?2r?m?v?r?11m2m1,v?,r1?L,r2?L. mmm1?m2m1?m2处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：

m1m2G2＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出： L

(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

2π4π2L3

(2)由于ω＝T，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝。

GT2[牛刀小试]1、(2010 年全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B两者中心之间的距离为 L.已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧．引力常量为 G. (1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 T2. 已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024kg 和7.35×1022kg.求 T2与T1两者的平方之比．(结果保留两位小数)

解析：(1)A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力相等，且 A 和 B 与 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期．因此有 mω2r＝Mω2R，r＋R＝L联立解得R＝

mm＋ML，r＝

Mm＋ML

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

L3GMmM?2??. ?m???L，化简得T?2?2G(M?m)L?T?M?mL3(2)将地月看成双星，由(1)得T?2?

G(M?m)GMm?2??将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得2?m??L

L?T?L3化简得T?2?

GM所以两种周期的平方比值为

2422

?T2?M＋m5.98×10＋7.35×10?＝1.01. 24?T??＝M＝5.98×10?1?2222、(2013〃山东理综，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( B )

A.

n3T B.k2n3kT C.

n2kT

D.

nkT

解析：本题考查双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度(周期)相等，要注意双星的距离不GMm2GMm是轨道半径，该题考查了理解能力和综合分析问题的能力。由r2＝mr1ω；r2＝Mr2ω2； G?M＋m?Gk?M＋m?4π24π22

r＝r1＋r2得：＝rω＝rT2同理有＝nrT2，解得T1＝

r2?nr?21

n3kT，B正确。

§6-4 宇宙速度 & 卫星

一、涉及航空航天的“三大速度”：

（一）宇宙速度：

1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=7.9km/s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）

2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）

3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=16.7km/s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度） （二）发射速度：

1.定义：卫星在地面附近离开发射装臵的初速度。 2.取值范围及运行状态：

①v发?v1?7.9km/s,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。