22vv模型二：汽车过拱桥问题：a 、涉及公式：mg?FN?m,所以当FN?mg?m?mg， RR

此时汽车处于失重状态，而且v越大越明显，因此汽车过拱桥时不 宜告诉行驶。 2v ?v?gR： b、分析：当FN?mg?mR

（1）v?gR，汽车对桥面的压力为0，汽车出于完全失重状态；

（2）0?v?gR，汽车对桥面的压力为0?FN?mg。

（3）v?gR，汽车将脱离桥面，出现飞车现象。

v2 c、注意：同样，当汽车过凹形桥底端时满足FN?mg?m，汽车对

R

桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容 易出现爆胎现象，即也不宜高速行驶。

[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则( A )

A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C．这时铁轨对火车的支持力等于

D．这时铁轨对火车的支持力大于

解析：当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为

gRtanθ。

2、如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为v。若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f，则物体与碗的动摩擦因数μ为（ B ）。 A、

fRfRf B、 C、

2mgR?mv2mgR?mvmg D、

fRmv2

v2v2解析：设在最低点时，碗对物体的支持力为F，则F?mg?ma?m，解得F?mg?m，由

RRf=μF解得??fv2mg?mR，化简得??fR，所以B正确。

mgR?mv2II、圆周运动的临界问题

A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题

谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。

模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：

（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）

（1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨

的弹力刚好等于0，小球的重力提供向心力。即： 2 v v临v mg?m界?v临界?gR。 R绳 O （2）小球能过最高点的条件：v?gR.当v?gR时，绳 R v 对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。 （3）小球不能过最高点的条件：v?gR（实际上球还

没到最高点时就脱离了轨道）。

模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：

（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最

v v 高点的临街速度v临界?0. 杆（2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：

①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小

球的重力，即FN=mg；

②当0?v?gR时，轻杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小 甲 乙

随小球速度的增大而减小，其取值范围是0?FN?mg；

③当v?gR时，FN=0；

④当v?gR时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

（3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况：

①当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；

②当0?v?gR时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力FN，大小随小球速度的增

大而减小，其取值范围是0?FN?mg；

③当v?gR时，FN=0；

④当v?gR时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而

增大。

模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：

两种情况：

（ 1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v

的限制条件是v?gR.

（2）若v?gR，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平抛运动。

[触类旁通]1、如图所示，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2，求： (1)在最高点时，绳的拉力？

(2)在最高点时水对小杯底的压力？

(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少? b 答案：(1)9 N，方向竖直向下；(2)6 N，方向竖直向上；(3)m/s = 3.16 m/s 2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现O 给小球一初速度，使其做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是( AB )

A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 a C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 Q 3、如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5m，MPQ是一半径R=1.6m的半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m=1kg的O P A刚物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力，欲使好能通过Q点，则力F大小为多少？（取g=10m/s2） A F 解析：物体A经过Q时，其受力情况如图所示： 由牛顿第二定律得：mg?FN?mv R2L Q M FN mg O P 物体A刚好过A时有FN=0；解得v?gR?4m/s，

对物体从L到Q全过程，由动能定理得：

M 12F?LM?2mgR?mv，解得F=8N。

2B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题

谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

模型六：转盘问题 处理方法：先对A进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当

N 然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以发

A 现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该物体的向心力，则有

O f v22?222F?m?m?R?m()R?m(2?n)R?f?mg?，接着可以求的所需的圆周 mg RT 运动参数等。

等效为 等效处理：O可以看作一只手或一个固定转动点，B绕着O经长为R的轻绳或轻

杆的牵引做着圆周运动。还是先对B进行受力分析，发现，上图的f在此图中可

等效为绳或杆对小球的拉力，则将f改为F拉即可，根据题意求出F拉，带入公式O 2v2?R F?m?m?2R?m()2R?m(2?n)2R?F拉，即可求的所需参量。

B RT【综合应用】

1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点 A，当 A 通过与圆心等高的 a 处时，有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动．已知轮子的半径为 R，求：

(1)轮子的角速度ω满足什么条件时，点 A 才能与质点 B 相遇？

(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时，点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同？

解析：(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇，即轮子的最低处，则点 A 从 a 处转到 d 处所转3

过的角度应为θ＝2nπ＋π，其中n为自然数．

212

由h＝gt知，质点B从O点落到d处所用的时间为t＝

2

2R，则轮子的角速度应满足条件

gθ3ω＝＝(2n＋)πt2g，其中n为自然数． 2R(2)点 A 与质点 B 的速度相同时，点 A 的速度方向必然向下，因此速度相同时，点 A 必然运动到了 c 处，则点 A 运动到 c 处时所转过的角度应为θ’＝2nπ＋π，其中 n 为自然数．

?'(2n?1)?转过的时间为 t'??

?'?'此时质点 B 的速度为 vB＝gt′，又因为轮子做匀速转动，所以点 A 的速度为 vA＝ω′R

(2n?1)?g由 vA＝vB 得，轮子的角速度应满足条件?'?，其中n为自然数．

R2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，x＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)

解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律

12Rx＝v1t，h＝gt，解得：v1＝x＝3 m/s

22h设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得

v21122

mg＝m ， mv2＝mv2＋mg(2R) 3

R22解得v3＝5gh＝4 m/s

通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是 vmin＝4 m/s

设电动机工作时间至少为t，根据功能关系

12

Pt－FfL＝mvmin，由此可得t＝2.53 s.

2

3、如下图所示，让摆球从图中A位臵由静止开始下摆，正好到最低点B位臵时线被拉断．设摆线长为L＝1.6 m，摆球的质量为0.5kg，摆线的最大拉力为10N，悬点与地面的竖直高度为H=4m，