模型三：类平抛运动：
考点一：沿初速度方向的水平位移：根据s?v0t,b?at,mgsin??ma?s?v01222b. gsin?考点二：入射的初速度：a'?mgsin?1gsin??gsin?,b?a't2,a?v0t?v0?. m22b考点三：P到Q的运动时间：a?mgsin?12b?gsin?,b?a't2,?t?. m2gsin?[综合应用](2011 年海南卷)如图 所示，水平地面上有一个坑，其
竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在 a 点以初速度 v0 沿 ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点．已知 c点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径。
解：设坑的半径为r，由于小球做平抛运动，则
x＝v0t ① 12
y＝0.5r＝gt②
2
过c点作cd⊥ab于d点，则有Rt△acd∽Rt△cbd 可得cd2＝ad〃db
即为()2＝x(2r－x) ③
2又因为x>r，联立①②③式解得r＝
4
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rgv20.
§5-3 圆周运动 & 向心力 & 生活中常见圆周运动
一、匀速圆周运动
1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即
为匀速圆周运动。
2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。
3.描述圆周运动的物理量：
（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；
（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad／s； （3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；
（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；
（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min． 4.各运动参量之间的转换关系：
2?v2?2?变形v??R?R?2?nR????????2?n,T?R.
TRTv5.三种常见的转动装臵及其特点：
模型一：共轴传动 模型二:皮带传动 模型三：齿轮传动
A A r A r1 B O r O B R r 2B O R
vAR ?A??B,?,TA?TBv?v,?B?r,TB?RTAr1n1ABvr B?ARTArvA?vB,T?r?n?B22
[触类旁通]1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( AC )
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期 D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
解析：小球A、B的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的皮带传
送。则可以知道，两个小球的线速度v相同，B错；因为RA>RB，则ωA<ωB,TA ?B?A二、向心加速度 1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。 注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。 2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。向心加速度只改变线速度的方向而非大小。 3.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。 v2?2??22a???r?v??4.公式：n??r?(2?n)r. r?T? 5.两个函数图像： an an 2 [触类旁通]1、如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A， A 小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起。A、B之间的距离以d = H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化。对于地面的人来说，则物体做( AC ) B Ａ．速度大小不变的曲线运动 Ｂ．速度大小增加的曲线运动 Ｃ．加速度大小方向均不变的曲线运动 Ｄ．加速度大小方向均变化的曲线运动 2、如图所示，位于竖直平面上的圆弧轨道光滑，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，到达B点时的速度为，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求： (1)小球刚运动到B点时的加速度为多大，对轨道的压力多大； (2)小球落地点C与B点水平距离为多少。 三、向心力 1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。 2.方向：总是指向圆心。 v2?2??223.公式：Fn?m?m?r?mv??m??r?m(2?n)r. r?T?4.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但 是向心力也是变力。②在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。 2四、变速圆周运动的处理方法 1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。 v22.动力学方程：合外力沿法线方向的分力提供向心力：Fn?m?m?2r。合外力沿切线方向的分 r力产生切线加速度：FT=mωaT。 3.离心运动： （1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F供=F需=mω2r时，物体做圆周运动；当F供 需 =mω2r时，物体做离心运动。 （2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F供 五、圆周运动的典型类型 类型 用细绳拴一小球在竖直平面内转动 小球固定在轻杆的一端在竖直平面内转动 受力特点 绳对球只有拉力 图示 最高点的运动情况 mv2①若F＝0，则mg＝，v＝gR R②若F≠0，则v>gR mv2①若F＝0，则mg＝，v＝gR Rv2②若F向下，则mg＋F＝m，v>gR Rmv2③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，R则0≤v 六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析 （一）解题步骤： ①明确研究对象； ②定圆心找半径； ③对研究对象进行受力分析； ④对外力进行正交分解； ⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力； ⑥解方程并对结果进行必要的讨论。 （二）典型模型： I、圆周运动中的动力学问题 谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。 模型一：火车转弯问题： h a、涉及公式：F合?mgtan??mgsin??mg① FN L2v0F合?m②，由①②得：v0?RRgh。 L