第五章 平抛运动

§5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解

一、曲线运动

1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。

2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。 3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。 ②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。 ③F合≠0，一定有加速度a。 ④F合方向一定指向曲线凹侧。

⑤F合可以分解成水平和竖直的两个力。 4.运动描述——蜡块运动 涉及的公式： vy v 22v?v?vxy

vyvx tan?? P vx 蜡块的位置 θ

二、运动的合成与分解

1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。 2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：

①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。

②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。

③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。

④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。

三、有关“曲线运动”的两大题型

（一）小船过河问题

模型一：过河时间t最短： 模型二：直接位移x最短： 模型三：间接位移x最短：

v v船 v v v船 船 v船 d d d θ A θ θ θ v水 v水 v水 当v水>v船时，x?d?v水L，

mind 当v水

vv水L cos??水 smin?(v水-v船cos?)v船v船sin?

[触类旁通]1．(2011 年上海卷)如图 5－4 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可

伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（ C ）。

vvA.vsin? B. C.vcos? D.

sin?cos?解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速，故 v船＝v cosα，C 正确．

2．(2011 年江苏卷)如图 5－5 所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为(C) A．t甲t乙 D．无法确定

解析：设游速为v，水速为v0，OA＝OB＝l，则t甲＝

ll＋；v＋v0v－v0

乙沿OB运动，乙的速度矢量图如图4所示，合速度必须沿OB方向，

l

则t乙＝2·22，联立解得t甲>t乙，C正确． v－v0

（二）绳杆问题(连带运动问题)

1、实质：合运动的识别与合运动的分解。

2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定； ②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。

模型四：如图甲，绳子一头连着物体B，一头拉小船A，这时船的运动方向不沿绳子。

O v1 B O vA θ A

vA v2

乙 甲

处理方法：如图乙，把小船的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和v2，v1就是拉绳的速度，vA就是小船的实际速度。

[触类旁通]如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是( C）

A．物体做匀速运动，且 v2＝v1 B．物体做加速运动，且 v2>v1 C．物体做加速运动，且 v2

§5-2 平抛运动 & 类平抛运动

一、抛体运动

1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动即为抛体运动。

2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受G。

二、平抛运动

1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。 2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受G。

3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。

12122gt4.规律： 2. （1）位移：x?v0t,y?gt,s?(v0t)?(gt),tan?? 222v0

gt22 α （2）速度：vx?v0，vy?gt，v?v0?(gt)，tan?? v 0

（3）推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角θ的正切值等于位移偏向角φ的

12

gtgtgt2 正切值的两倍。证明如下：tan??,tan?? ?.tanθ=tanα=2tanφ。

vv0t2v0 0

②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移

2y的中点，即tan??.如果物体落在斜面上，则位移偏向角与斜面倾斜角相等。

x

[牛刀小试]如图为一物体做平抛运动的 x－y 图象，物体从 O 点抛出，x、y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点 P(a，b)，其速度的反向延长线交于 x 轴的 A 点(A 点未画出)，则 OA 的长度为(B） A.a B.0.5a C.0.3a D.无法确定

解析：作出图示(如图5－9所示)，设v与竖直方向的夹角为α，根据几何关系得tan α＝①，由平抛运动得水平方向有a＝v0t②，竖直方向有 1aab＝vyt③，由①②③式得tan α＝ ，在Rt△AEP中，AE＝b tan α＝，22b2所以OA＝.

2

5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素 a、飞行时间：t?v0vya2h，t与物体下落高度h有关，与初速度v0无关。 g2h,由v0和h共同决定。 gb、水平射程：x?v0t?v0c、落地速度：v?v0?vy?v0?2gh，v由v0和vy共同决定。

222三、平抛运动及类平抛运动常见问题

模型一：斜面问题： 处理方法：1.沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；2.沿斜 面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。

2vtan?12考点一：物体从A运动到B的时间：根据x?v0t,y?gt?t?0

2g 考点二：B点的速度vB及其与v0的夹角α： 2v?v0?(gt)2?v01?4tan2?,??arctan(2tan?)

22v0tan?x ?考点三：A、B之间的距离s：s?

cos?gcos?

[触类旁通](2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5－10 中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(D）

11 D. A.tan? B.2tan? C.tan?2tan?解析：如图5所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，有

tan θ＝，则下落高度与水平射程之比为＝模型二：临界问题：

v0gtyx12gt2

v0t＝

gt1＝，D正确． 2v02tan θ思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动和

竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动，

应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。

例：如图1所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m

（不计空气阻力） 的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。

（1）设击球点在3m线正上方高度为2.5m处，试问击球的速度在什么范围 内才能使球即不触网也不越界？

若击球点在3m线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度多大， （2）

球不是触网就是越界，试求这个高度？