3-13一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为J，角速度为ω。若此人突然将两臂收回，转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动能与收臂前的动能之比。

解：因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零，所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为

??，由L1?L2得

J??即

J?? 3???3?

所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为

1J2??23?Ek3?? 1Ek1J?22

3-14一质量为m的人站在一质量为m、半径为R的水平圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为r(r?R)的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为v时，圆盘转动的角速度为多大？

解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。 人的转动惯量为

J人?mr2

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圆盘的转动惯量为

J盘1?mR2

2选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有

J人?人?J盘?盘?0

其中 ?人?v，代入上式得 r?盘2r??2v

R负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。

3-16一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0，设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系为M??kω (k为正常数)。 则在它的角速度从ω0变为

1ω0过程中阻力矩所做的功为多少？ 2解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为

A??Md??将??112J?2?J?0 221?0代入上式，得 232A??J?0

8

3-17 一根质量为m、长为l的均匀细棒，可绕通过其一段的光滑轴O在竖直平面内转动。设t?0时刻，细棒从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。

解：对细棒进行受力分析可知，在转动过程中，细棒受到重力P和轴

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对棒的支持力N的作用。其中支持力N的大小和方向是随时变化的。 在棒转动过程中，支持力N通过轴O，所以对轴O的力矩始终为零。重力对轴O的力矩为变力矩，是棒运动的合外力矩。设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成?角，则重力矩为

O?lM?mgcos?2中，重力矩做的功为

CA

所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程

P

A??Md????20ll mgcos?d??mg22设棒在水平位置的角速度为?0?0，在竖直位置的角速度为?。根据刚体定轴转动的动能定理，有

l1A?mg?Ek?Ek0?J?2?0

2212J?ml，代入上式得??其中，棒的转动惯量为

3l1v???3gl

端点A的速度分别为C223gl

根据速度和角速度的关系v??r，细棒摆到竖直位置时其中心点C和

vA??l?3gl

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3-18如习题3-18图所示，斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮半

?径为r，转动惯量为J，受到驱动力矩M作用，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度。(绳与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长)

解：采用隔离法分别对物体m和鼓轮进行受力分析，如习题3-18图(b)所

????示。重物m受到重力P，绳的拉力T，斜面的支持力N和摩擦力f的作用。设

?重物上滑的加速度为a，根据牛顿第二定律，有

?????P?T?f?N?ma

Mrmθ(a)沿斜面方向和垂直于斜面的方向建立直角坐标系，则上式可分解为

x方向 T?f?mgsinθ?ma (1)

y方向 N?mgcosθ?0 (2)

且有 f?μN (3)

对鼓轮进行受力分析可知，使鼓轮转动的力矩为驱

???动力矩M。绳的拉力T?对转轴的力矩，其方向和M相反，所以是阻力矩。设鼓轮的转轴垂直于纸面指向读者，根据刚体的定轴转动定律，有

yfNTxMθrT?(b)PM?T?r?Jα (4)

绳的质量不计，且不可伸长，所以有

习题3-18图

T?T? (5)

重物上滑的加速度的大小等于鼓轮转动的切向加速度的大小。由切向加速度和角加速度的关系，有

a?rα (6)

将上面6个方程联立，可求得重物上滑的加速度为

a?

?M?μmgrcosθ?mgrsinθ?

J?mr2

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