第二章 晶体结构与晶体中的缺陷

1、证明等径圆球面心立方最密堆积的空隙率为25.9％。

解：设球半径为a，则球的体积为4/3πa3，求的z=4，则球的总体积（晶胞）4×4/3πa3，

33立方体晶胞体积：(22a)?162a，空间利用率=球所占体积/空间体积=74.1%，

空隙率=1-74.1%=25.9%。

2、金属镁原子作六方密堆积，测得它的密度为1.74克/厘米3，求它的晶胞体积。 解：ρ=m/V =1.74g/cm3，V=1.37×10-22。

3、 根据半径比关系，说明下列离子与O2-配位时的配位数各是多少? 解：Si4+ 4； K+ 12； Al3+ 6； Mg2+ 6。

4、一个面心立方紧密堆积的金属晶体，其原子量为M，密度是8.94g/cm3。试计算其晶格常数和原子间距。 解：根据密度定义，晶格常数

a0?34M/(6.023?1023?8.94?0.906?10?8M1/3(cm)?0.0906M1/3(nm)

原子间距= 2r?2?(2a/4)?0.0906M1/3/2?0.0641M1/3(nm)

5、 试根据原子半径R计算面心立方晶胞、六方晶胞、体心立方晶胞的体积。解：面心立方晶胞：V?a0?(22R)3?162R3

六方晶胞（1/3）：V?a0c?3/2?(2R)2?(8/3?2R)?3/2?82R3 体心立方晶胞：V?a0?(4R/3)3?64/33R3

6、MgO具有NaCl结构。根据O2-半径为0.140nm和Mg2+半径为0.072nm，计算球状离子所占据的体积分数和计算MgO的密度。并说明为什么其体积分数小于74.05%？

解：在MgO晶体中，正负离子直接相邻，a0=2(r++r-)=0.424(nm) 体积分数=4×(4π/3)×(0.143+0.0723)/0.4243=68.52%

密度=4×(24.3+16)/[6.023×1023×(0.424×10-7)3]=3.5112(g/cm3)

MgO体积分数小于74.05%，原因在于r+/r-=0.072/0.14=0.4235>0.414，正负离子紧密接触，而负离子之间不直接接触，即正离子将负离子形成的八面体空隙撑开了，负离子不再是紧密堆积，所以其体积分数小于等径球体紧密堆积的体积分数74.05%。

7、半径为R的球，相互接触排列成体心立方结构，试计算能填入其空隙中的最大小球半径r。体心立方结构晶胞中最大的空隙的坐标为（0，1/2，1/4）。

323

解：在体心立方结构中，同样存在八面体和四面体空隙，但是其形状、大小和位

置与面心立方紧密堆积略有不同（如图2-1所示）。

设：大球半径为R，小球半径为r。则位于立方体面心、棱心位置的八面体空隙能够填充的最大的小球尺寸为：

r?a0?2R?4/3R?2R?0.3094R

位于立方体（0.5,0.25,0）位置的四面体空隙能够填充的最大的小球尺寸为： r?(5/4)a0?R?5/4?(4/3)R?R?0.291R

图2-1 体心立方结构

8、纯铁在912℃由体心立方结构转变成面心立方，体积随之减小1.06%。根据面心立方结构的原子半径R面心计算体心立方结构的原子半径R体心。 解：因为面心立方结构中，单位晶胞4个原子，a0F?22RF；而体心立方

结构中，单位晶胞2个原子，a0I?4/3RI

所以，{2[4/3)RI]3?(22RF)3}/{2[(4/3)RI]3}?0.0106 解得：RF=1.0251RI，或RI=0.9755RF

9、有效离子半径可通过晶体结构测定算出。在下面NaCl型结构晶体中，测得MgS的晶胞参数为a=0.52nm(在这种结构中，阴离子是相互接触的)。若CaS(a=0.567nm)、CaO(a=0.48nm)和MgO(a=0.42nm)为一般阳离子—阴离子接触，试求这些晶体中各离子的半径。 解： ∵MgS中a=5.20，阴离子相互接触，a=22r?，

∴ rs2? =1.84；

∵CaS中a=5.67，阴－阳离子相互接触，a=2(r++r-)， ∴rc2? =0.95；

a

∵CaO中a=4.80，阴－阳离子相互接触，a=2(r++r-)， ∴ro2?=1.40；

∵MgO中a=4.20，阴－阳离子相互接触，a=2(r++r-)， ∴rMg2?=0.70

10、氟化锂(LiF)为NaCl型结构，测得其密度为2.6g／cm3，根据此数据计算

晶胞参数，并将此值与你从离子半径计算得到数值进行比较。

解：LiF为NaCl型结构，Z=4，V?a3，??m/v?2.63g/cm3，a?4.05，

根据离子半径 a??2(r??r?)?4.14，a?a?。

11、Li2O的结构是O2-作面心立方堆积，Li+占据所有四面体空隙位置。求：

(1) 计算四面体空隙所能容纳的最大阳离子半径，并与书末附表Li+半径

比较，说明此时O2-能否互相接触。

(2) 根据离子半径数据求晶胞参数。 (3) 求Li2O的密度。

解：（1）如图2-2是一个四面体空隙，O为四面体中心位置。

AO?r??r?，BC?2r?， CE?3r?， CG?2/3CE?23r?/3 AG?26r?/3，

?OGC∽?EFC，OG/CG?EF/CF，OG?EF/CF?CG?6r?/6 AO?AG?OG?6r?/2，r??AO?r??(6/2r??1)?0.301

查表知rLi? +=0.68>0.301，∴O2-不能互相接触；

（2）体对角线=3a=4(r++r-)，a=4.665；（3）ρ=m/V=1.963g/cm3

图2-2 四面体空隙

12、MgO和CaO同属NaCl型结构，而它们与水作用时，则CaO要比MgO

活泼，试解释之。

解：rMg2?与rCa2?，rCa2?>rMg2?，使CaO结构较MgO疏松，H2O易于进入，

所以活泼。

13、根据CaF2晶胞图画出CaF2晶胞的投影图。 解：如图2-3。

图2-3

14、算一算CdI2晶体中的I-及CaTiO3晶体中O2-的电价是否饱和。 解：CdI2晶体，Cd2+：CN=6，I-与三个在同一边的Cd2+相连；I-：CN=3，

Z??1?Z?，I-电价饱和； ?iCNCaTiO3晶体，Ca2+：CN=12，Ti4+：CN=6，O2-[OTi2Ca4]：CN=6；

Z?2-，O电价饱和。 ?2?Z2?_?OCNi15、(1) 画出O2-作面心立方堆积时，各四面体空隙和八面体空隙的所在位置(以

一个晶胞为结构基元表示出来)；

(2) 计算四面体空隙数、八面体空隙数与O2-数之比；

(3) 根据电价规则，在下面情况下，空隙内各需填入何种价数的阳离子，并对每一种结构举出—个例子。 I．所有四面体空隙位置均填满； II．所有八而体空隙位置均填满； III．填满—半四面体空隙位置； IV．填满—半八面休空隙位置。 解：（1）略；

（2）四面体空隙数/O2-数=2：1，八面体空隙数/O2-数=1：1； （3）I．CN=4，z+/4×8=2，z+=1，Na2O，Li2O；

II．CN=6，z+/6×6=2，z+=2，FeO，MnO； III．CN=4，z+/4×4=2，z+=2，BeO，