证 设行列式D的第h行与第k行相同, 交换这两行产生的行列式记作Dhk, 则

Dhk?D. 然而根据性质1.2, 又有Dhk??D. 于是D?0.

性质1.3 用数k乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k乘以原行列式. 即有

a11?a1j?a1na11?a1j?a1n??????????kai1?kaij?kain?kai1?aij?ain. ??????????an1?anj?t1p1annan1?anj?ann证 设n阶行列式D??(?1)a?aipi?anpn, 用数k乘以其第i行的每个元素产生

的新行列式记作Di(k), 根据定义, 有

Di(k)??(?1)ta1p1?(kaipi)?anpn?k?(?1)ta1p1?aipi?anpn?kD.

这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.

推论1.2 如果行列式D的某两行的元素对应成比例, 则D?0.

证 设行列式第h行的每个元素是第i行的对应元素的k倍, 提取第h行元素的公因数k, 根据性质1.3, 原行列式等于数k乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有D?0.

性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的

a11?和. 即有bi1?ci1??a1j???a1n??an1?bij?cij?bin?cin

?????anj?anna11?a1j?a1n?????a11?a1j?a1n??????bi1?bij?bin?ci1?cij?cin. ??????????an1?anj?ann证 设n阶行列式D1?根据行列式定义, 有

an1?anj?ann1p1?(?1)at?bipi?anpn,D2??(?1)ta1p1?cipi?anpn,

其中只有第i行不同. 将两个行列式的第i行求和, 其他行不变产生的新行列式记作Di(?),

Di(?)??(?1)ta1p1?(bipi?cipi)?anpn

??(?1)ta1p1?bipi?anpn??(?1)ta1p1?cipi?anpn?D1?D2.

可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法

与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k个数的和, 则它等于k个行列式的和.

性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k倍, 行列式不变. 证 设n阶行列式D??(?1)at1p1?aipi?ahph?anpn, 将第i行的元素加上第h行的

对应元素的k倍产生的新行列式记作Dih(k), 根据性质1.4与推论1.2, 有

Dih(k)??(?1)ta1p1?(aipi?kahph)?ahph?anpn

??(?1)ta1p1?aipi?ahph?anpn??(?1)ta1p1?(kahph)?ahph?anpn

5

??(?1)ta1p1?aipi?ahph?anpn?D.

b?c 例1.7 求证: 行列式e?fa?cd?fg?ibha?bg?ha?bg?ha?cd?fg?ibhcfiaga?bg?hagbehcicicf. ia?cd?fg?iadgbha?bd?e g?hagbehcf. id?e?2dh?ib?ce?fh?ibha?cg?i?ed?fa?cd?fg?iagcid?fa?bg?hadg证 先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得

d?e?ed?e?fd?e?ed?fe?2d1201例1.8 计算行列式

135001561234.

解 用性质1.5, 得

1201135001561234?120015003163?120000003173??120003000137??21.

015?1015?1015?1 注意 用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.

3111例1.9 计算行列式

131111311113.

解 先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6， 再用下面各行分别减去第一行. 得

3111131111311113?66661311113111131?x11?x111?61111131111311113111.

1111?6020000200002?48.

注意 如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.

例1.10 计算行列式

1111?y111?y解 用第一列减第二列, 提取x; 第三列减第四列, 提取y. 再用第二列, 第四列分别

减第一列与第三列, 得

6

1?x1111?xy0011111?x1101111?y11111111?y1?xy00?x000001110100y000111

x1?xy1?y11?x01?x0?x2y2.

11?y1?y有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.

习题1-2

ax?byay?bzaz?bx1. 求证: ay?bzxzyzxzx. yaz?bxax?by?(a3?b3)yac?cdcfaede. ?efaz?bxax?byay?bz?ab2. 计算行列式bdbf3. 计算下列行列式.

a2(1)

(a?1)2(b?1)(c?1)(d?1)222(a?2)2(b?2)(c?2)(d?2)222(a?3)2(b?3)(c?3)(d?3)1t?2.

22212; (2) 2222?22?22?23?2.

?2?nbcd2222114. 求t的值, 使得行列式25. 计算下列行列式

3362t1234(1)

x1?m; (2)

x2?x210??xnxn?.

234134124123x1?x1??x2?m??xn?ma016. 计算行列式11a10010a2?00, 其中a1a2?an?0.

?????1?an 7

a 7. 用两种方法计算行列式bcabcc， 从而证明因式分解: baa3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc).

a1?b18. 计算行列式

a1?b2??a1?bn??n00?0b.

, 其中n?2.

a2?b1?110002?1200a2?b2?a2?bnan?b1an?b2?an?bn30?n?1?00?9. 计算行列式

?2?00aa??????2?n?n?11?nb?abba?b?aa，其中未写出的元素都等于0.

10. 计算行列式D2n?b

第三节 行列式的展开

在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.

a11定义1.6 考虑n阶行列式

a12?a1na22?a2n?????(?1)ta1p1a2p2?anpn. 将行列式的

a21?an1an2?ann元素aij所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的n?1阶行列式称为元素

aij的余子式, 记作Mij. 而称Aij?(?1)i?jMij为元素aij的代数余子式.

a11例如，行列式a21a12a22a32a31aa23中元素a12的余子式为M12?21a31a33a13a23a33， 而代数余子式为

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