板块命题点专练(十四) 下载本文

板块命题点专练(十四)

命题点一 椭圆 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:高、中 题型:选择题、填空题、解答题 x2y21.(2015·广东高考)已知椭圆+2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )

25mA.2 C.4

B.3 D.9

解析:选B 由左焦点为F1(-4,0)知c=4.又a=5, ∴25-m2=16,解得m=3或-3.又m>0,故m=3.

x2y2

2.(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点,A,

abB分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )

1A.

32C.

3

1B.

23D.

4

解析:选A 如图所示,由题意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0). 设E(0,m), 由PF∥OE,得

|MF||AF|

=, |OE||AO|

m?a-c?

则|MF|=.①

a

1|OE|2|BO|

又由OE∥MF,得=,

|MF||BF|m?a+c?

则|MF|=.②

2a

1

由①②得a-c=(a+c),即a=3c,

2c1∴e=a=.

3故选A.

3.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为1

其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )

4

1A.

3

1B.

2

2C.

33D.

4

解析:选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),则直线l|-bc|xyc111

的方程为c+b=1,即bx+cy-bc=0.由题意知22=×2b,解得a=,即e=.故

22b+c4选B.

x2y2b

4.(2015·浙江高考)椭圆2+2=1(a>b>0 )的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q

cab在椭圆上,则椭圆的离心率是________.

解析:设椭圆的另一个焦点为F1(-c,0),如图,连接QF1,QF,b

设QF与直线y=x交于点M.由题意知M为线段QF的中点,且

cOM⊥FQ.

又O为线段F1F的中点,

∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|. |MF|b

在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c,

|OM|cc2bc

可解得|OM|=a,|MF|=a,

2bc2c2

故|QF|=2|MF|=a,|QF1|=2|OM|=a. 2bc2c2

由椭圆的定义得|QF|+|QF1|=a+a=2a, 整理得b=c,

c2

∴a=b2+c2=2c,故e=a=.

2答案:

2 2

x2y22

5.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,点(2,2)在C上.

ab2(1)求C的方程;

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

a2-b2242解:(1)由题意得a=,2+2=1,

2ab解得a2=8,b2=4. x2y2

所以C的方程为+=1.

84

(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

x2y2

将y=kx+b代入+=1,

84得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故xM=

x1+x2-2kbb

=2,yM=k·xM+b=2. 22k+12k+1

yM1

于是直线OM的斜率kOM=x=-,

2kM1

即kOM·k=-.

2

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

命题点二 双曲线 命题指数:☆☆☆☆ 难度:中 题型:选择题、填空题 x2y21.(2016·全国乙卷)已知方程2-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的

m+n3m2-n距离为4,则n的取值范围是( )

A.(-1,3) C.(0,3)

B.(-1,3) D.(0,3)

解析:选A 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2

2.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )

A.5 C.3

B.2 D.2

解析:选D 不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线x2y2

方程为2-2=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°

ab-120°=60°,

∴点M的坐标为(2a,3a). ∵点M在双曲线上, 4a23a2

∴2-2=1,解得a=b, abc

∴c=2a,e=a=2.故选D.

x2y2

3.(2016·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线E:2-2=1的左,右焦点,点M在E上,

ab1

MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )

3

A.2 C.3

3B.

2D.2

c2c

解析:选A 法一:作出示意图,如图,离心率e=a==

2a|F1F2|

,由正弦定理得

|MF2|-|MF1|

e=

|F1F2|

|MF2|-|MF1|

223sin∠F1MF2

==2.故选A.

1sin∠MF1F2-sin∠MF2F1

1-3

b2

法二:因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=.

a

|MF1|11

又sin∠MF2F1=,所以=,即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得2a=|MF2|-

3|MF2|32b2c

|MF1|=2|MF1|=a,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以离心率e=a=2.

1

4.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的

2标准方程为________.

1

解析:法一:∵双曲线的渐近线方程为y=±x,

2∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,3), ∴λ=16-4×(3)2=4,

x22

∴双曲线的标准方程为-y=1.

4

1

法二:∵渐近线y=x过点(4,2),而3<2,

2

11

∴点(4,3)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).

22

∴双曲线的焦点在x轴上, 故可设双曲线方程为 x2y2

-=1(a>0,b>0). a2b2由已知条件可得