27．（10分）（2017?苏州一模）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）

（1）顶点C的坐标为（ ﹣3 ， 4 ），顶点B的坐标为（ 1 ， 7 ）； （2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．

（3）若正方形OABC以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，推出C（﹣3，4），由CK=AK，OK=BK，可得K（，），B（1，7）．

（2）分两种情形①当点Q在OA上时．②当点Q在OC上时．分别计算即可．

（3）分两种情形①当点A运动到点O时，t=3，当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．②当点C运动到x轴上时，t=4当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F．分别求解即可．

【解答】解：（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．

易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3， ∴C（﹣3，4），∵CK=AK，OK=BK， ∴K（，），B（1，7）， 故答案为﹣3，4，1，7．

（2）由题意得，AO=CO=BC=AB=5， 当t=2时，CP=2．

①当点Q在OA上时，∵PQ≥AB＞PC， ∴只存在一点Q，使QC=QP．

作QD⊥PC于点D（如图2中），则CD=PD=1，

∴QA=2k=5﹣1=4， ∴k=2．

②当点Q在OC上时，由于∠C=90°所以只存在一点Q，使CP=CQ=2， ∴2k=10﹣2=8，∴k=4． 综上所述，k的值为2或4．

（3）①当点A运动到点O时，t=3．

当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．

则△A’OF∽△EOO’，

∴==，OO′=t， ∴EO′=t， ∴S=t．

②当点C运动到x轴上时，t=4

当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F，

则A’O=A′O=t﹣5， ∴A′F=． ∴S=（+t）×5=． 综上所述，S=．

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

28．（10分）（2017?苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

2

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．

（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；

（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．

【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0， 解得x1=﹣1，x2=3 ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0）， 如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC， ∴=， ∵CD=4AC， ∴==4， ∵OA=1， ∴OF=4，

∴D点的横坐标为4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y=kx+b得， 解得，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a．

（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，

设E（x，ax﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）． ∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a， 由得x=﹣1或x=4， 即点D的横坐标为4，

∴S△ADE=S△AEH+S△DEH=（﹣ax2+3ax+4a）=﹣a（x﹣）2+a． ∴△ADE的面积的最大值为a， ∴a=， 解得：a=．

∴抛物线的函数表达式为y=x﹣x﹣．

（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）． ∵y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴抛物线的对称轴为x=1， 设P（1，m），

①若AD为矩形的边，则AD∥PQ，且AD=PQ， 则Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ为矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2， 即a2=， ∵a＞0，

2

2