PID控制器的传递函数
Gc(s)?M(s)1?Kp(1?Tds?) E(s)Tis?
Kp(TiTds2?Tis?1)Tis （6一8）
Kp(T1s?1)(T2s?1)?Tis当4TdTi＜1时,T1?Ti4TT4T(1?1?d)、T2?i(1?1?d)。 2Ti2Ti从式(6—8)看出，控制系统串入比例加积分加微分控制器后，由于引入了一个位于坐标
原点的极点，可使系统无差度增加，同时，由于引入了两个负实数零点，与PI控制器相比较，除保持了提高系统稳定性能的优点外，在提高系统动态性能方面具有更大的优越性，因此，这种控制器在控制系统中得到广泛应用。
第二节 基于频率法的串联校正设计
本节主要介绍串联校正特性，基于频率特性法确定串联校正参数的步骤。校正装置是以有源或无源网络来实现某种控制规律的装置，为简明起见，在讨论各种校正装置时，主要讨论无源校正装置。
一、 串联超前校正
1、 超前校正装置的特性
图6—7是一个无源超前校正装置的电路图。
图6—7 无源超前网络
设输入信号源内阻为零，输出端负载阻抗无穷大，其传递函数为
Gc(s)?U2(s)1??T2s (6—9) ?U1(s)?(1?T2s)式中
??R1?R2?1 (6—10) R2R1R2C (6—11)
R1?R2T2?由式(6—9)看出，串入无源超前校正装置后，系统开环增益要下降?倍，假设这个下降由提高系统放大器增益加以补偿，这样无源超前校正装置的传递函数
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?Gc(s)?1??T2s (6—12)
1?T2s根据式(6—12)作出无源超前校正装置的对数特性，如图6—8所示。由特性图看出，在频率?为1?T2至1T2之间对输入信号有明显的微分作用，既为PD控制。在上述频率范围内，输出信号相角超前于输入信号相角，在???m处为最大超前相角?m。下面证明?m正好位于1?T2和1T2的几何中心。
图6—8 无源超前网络的对数幅、相特性
由式(6—12)可将其传递函数看成由两个典型环节构成，其相角计算如下
?c(?)?tan?1?T2??tan?1T2?
由两角和公式得
?c(?)?tan?1(??1)T2?1??T22 (6—13)
2?对上式求导并令其等于零，得最大超前角频率
?1m? (6—14)
T2?而1?T2和1T2的几何中心为
lg??12(lg111?T?lg)?lg 2T2T2?即
??1T
2?正是式(6—14)的?m。将式(6—14)代入式(6—13)得最大超前角
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(??1)T21?m?tan?1T2???1 ?tan?1122?1??T22T2?应用三角公式改写为
??1 或??1?sin?m (6—15)
?m?sin1?sin?m??1上式表明，?m仅与?值有关。?值选得越大，则超前校正装置的微分效应越强。为了保持较高的信噪比，实际选用的?值一般不大于20。通过计算，可以求出?m处的对数值
Lc(?m)?20lg?Gc(j?)?10lg? (6—16)
2、串联超前校正方法
如果系统设计时要求满足的性能指标属频域特征量，则一般采用频率特性法进行校正。应用超前网络进行串联校正的基本原理，是利用超前网络的相角超前特性。即安排串联超前校正网络最大超前角出现的频率等于要求的系统剪切频率?c。充分利用超前网络相角超前
''的特点，其目的是保证系统的快速性。显然，?m??c的条件是原系统在?c处的对数幅值
'''''''')?L'(?m)?10lg?，正确的L(?c)与超前网络在?m处的对数幅值之和为零，即?L(?c选择好转角频率1?T2和1T2，串入超前网络后，就能使被校正系统的剪切频率和相角裕度满足性能指标要求，从而改善闭环系统的动态性能。闭环系统的稳态性能要求，可通过合
理选择已校正系统的开环增益来保证。
用频率特性法设计超前网络的步骤如下：
(1)根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定开环放大系数K。 (2)利用求得的K，绘制原系统的伯德图，主要是对数幅频特性图。
(3)在伯德图上测取原系统的相位裕量和增益裕量，或在对数幅频特性图上测取剪切频率?c，通过计算求出原系统的相位裕量?。再确定使相位裕量达到希望值?所需要增加的相位超前相角?m。即：?m?????(5~15)（裕度）
(4)利用下式计算超前校正装置的参数?
''00''??1?sin?m
1?sin?m(5)将对应最大超前相位角?m的频率?m作为校正后新的对数幅频特性的剪切频率
?c''，即令?c''＝?m，利用作图法可以求出?m，因为校正装置在?＝?m时的幅值为
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所以可知在未校正系统的L(?)曲线上的剪切频率?c的右侧距横轴—10lg?处即10lg?。
''为新的剪切频率?c的对应点。可以作一离横轴为—10lg?的平行线，从此线与原L(?)线
的交点作垂直线至横轴，即可求得?m (详见例6—1)。
(6)求出超前校正装置的另一个参数T2
T2?1?m?
(7)画出校正后系统的伯德图，检验已校正系统的相角裕度?''性能指标是否满足设计要
''求。验算时，已知?c计算出校正后系统在?c处相角裕度?''(?c)。
''''?''(?c'')?1800??''(?c'')
当验算结果?不满足指标要求时，需另选?m值，并重复以上计算步骤，直到满足指标
''为止。重选?m值，一般是使?m??c的值增大。
''[例6—1] 设有一单位反馈控制系统，其开环传递函数为
Gk(s)?4k
s(s?2)要求稳态速度误差系数KV＝20(1／s)，相位裕量不小于50。，增益裕量不小于10(dB)，试设计一超前校正装置，满足要求的性能指标。
解 在设计时，应先根据要求的KV值求出应调整的放大系数K KV?limsGk(s)?limss?0s?04k?2k?20 故可求得k＝10。
s(s?2)然后画出末校正系统的伯德图，如图6—9的虚线所示。由图6—9可以看出，如不加校正装置，末校正系统的相位裕量为17，增益裕量为?? (dB)，这说明相位裕量未满足要求，虽然幅值裕量已满足要求。仍需进行校正装置的设计。
上述末校正系统的相位裕量?也可由对数幅频特性图中的?c?6.3通过计算求出：
0??1800?900?tg?1?6.3?170
根据题意，至少要求超前相角为50?17?33。考虑到串联超前校正装置后幅频特性的剪切频率?c要向右移，将使原有的17还要减小，因此还需增加约5的超前相角，故
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