图6—37 例6-12中的阶跃响应与频率响应
a)阶跃响应 b)频率响应
3、 伯德图的超前补偿设计方法
前面介绍的根轨迹解析方法修改后可用于伯德图设计。在这种情况下，希望补偿后的系统K(s)G(s)增益为1．0，而在s?j?c 点处相角为?180??。假定补偿器的时间常数为己知，可以得
K(j?c)G(j?c)?Kc0j?c?z?1MGej?G?1ej(?180??)
j?c?p?1式中，MG与 ? G是G(j?)在???c点的增益与相角。该方程可以分为实部与虚部两部分。因此可以写出具有两个未知数的两个方程。求解该方程组可得
?z?1?KcMGcos(???G)
?csin(???G)KcMG?cos(???G)
?csin(???G)?p?为利用这些方程，首先确定Kc，并绘制KcG(j?)伯德图。由图可以得到???c点处的Kc MG 及? G。注意，此时
KcMG是实际幅值，而不是以dB为单位的。由下列程
序可以完成这个设计运算过程。
伯德图超前补偿的解析设计法的MATLAB程序清单如下：
function[nk，dk]＝bodelead(ng，dg，kc，w，dpm) [mu，pu]＝bode(kc*ng，dg，w); smo＝length(mu); phi＝dpm*pi／180;
a＝(1+sin(phi))／(1-sin(phi));
mu_db＝20*log10(mu);mm＝-10log10(a);
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wgc＝Spline(mu_db，w，mm); T＝l／(wgc*sqrt(a)); z＝a*T； p＝T; nk＝[z， 1]; dk＝[p， 1]；
[例6—13]伯德图超前补偿解析方法 已知
G(s)?设计技术指标要求如下：
400 2s(s?30s?200)0单位斜坡输入的稳态误差小于10%；?c＝14rad/s ；??45。
首先考虑满足稳态误差的要求，由此得到Kc=5。如图6—39所示，在
???c?14rad/s点处
KcMG?0.34 ?G??1800
利用这些值与希望的?c和?，可得到?z?0.227 ?p?0.038。 因此，补偿器传递函数为
K(s)?50.227s?1
0.038s?1补偿后的系统伯德图见图6—38。可以看到，?c与?指标的要求己得到满足。系统闭环阶跃响应曲线见图6—39。其超调量与过渡过程时间分别为19％和0．9s。
图6—38 例6—13的伯德图 图6—39 例6—13的系统阶跃响应 4、根轨迹的滞后补偿设计方法
前面已经讨论过在超前补偿器设计中，使用根轨迹数据的解析方法。从理论上讲，前面的方法也适用于滞后补偿器的设计，可在方程中直接地插入相关的数据。在这种情况下，可
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发现?p??z。上述问题就是典型滞后补偿器设计的基本原理。在这种情况下，原来系统的根轨迹是可以接受的，仅仅使用了滞后补偿器来增加系统稳态误差常数。基于在s平面上
?G?1800的原理。可以求出?p与?z。
然而，如果打算利用滞后补偿器改变?或?n，那么可以按如下步骤进行： (1)选择Kc满足稳态误差的要求； (2)绘制KcG(s)根轨迹；
(3)根据操作性能要求，确定s平面上s1的位置； (4)找出Ms与?s，其中s1?Mse(5)由KcG(s1)?KcMGej?Gj?s；
找出KcMG与?G，然后计算
?z??p?sin?s?KcMGsin(?G??s)
KcMGMssin?GKcMGsin?s?sin(?G??s)
Mssin?G(6)绘制K(s)G(s)根轨迹图，验证设计结果；
(7)使系统闭环，求解系统时域响应。 5、伯德图的滞后补偿设计方法
前面讨论的伯德图超前补偿器设计的解析方法，再加一些限制即可以用于滞后补偿器设计。首先重复上述设计规则，给出一个例子，然后再讨论该种方法的限制。
(1)选择Kc满足稳态误差的要求；
(2)绘制KcG(j?)的伯德图，在希望的???c点处确定Kc、MG和?G； (3)对于希望的?，由下式求出极点与零点的时间常数：
?z?1?KcMGcos(???G)
??cKcsin(???G)KcMG?cos(???G)
?csin(???G)?p?(4)绘制补偿后的伯德图，验证设计结果； (5)仿真闭环响应。
[例6—14]滞后补偿器的伯德图解析方法。 下列为被控系统的传递函数与特性指标要求：
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G(s)?1
s(s?5) 单位斜坡输入稳态误差小于5％。?c?2rad/s ? =400
首先设定Kc=10，并绘制KcG(j?)的伯德图，利用上述程序，可得到
MG=0.92
补偿器的参数为?z?G??111.80
?0.81 ?p?8.89
K(s)?100.81s?1
8.89s?1 补偿器传递函数为
该闭环系统的极点与零点分别为{-0.98±j1.61,-3.1430}与{-1.22}。
图6—40 例6—14系统的阶跃响应 图6—41 例6—14系统的伯德图 由阶跃响应曲线与伯德图(见图6—40与图6—41)可见，系统满足要求的特性指标。大超调的阶跃响应是由于复数极点的低阻尼率所致。
我们可以修改设计程序，使用循环与条件语句计算一套补偿器参数，并绘制它的阶跃响应，然后选择其中最能满足性能要求的设计结果作为补偿器的参数。
本 章 小 结
本章介绍的是控制系统的综合设计问题。设计一个自动控制系统，首先是根据被控对象、需要进行控制的被控量及其要求的精度，选择能完成控制任务的各种元件，以此提出一个初步方案。选用的元、部件可以完成控制的任务、由这些元、部件构成闭环系统后，不一定能达到对系统动态、稳态性能的要求，怎样才能使这样的系统满足性能的要求，这就是系统综合设计(校正)所讨论的内容。为完成控制任务所选用的元、部件，称为系统的固有部分，其特性称为原有特性。要使系统达到动态、稳态性能指标的要求，仅靠改变开环增益是不行的，只有改变系统的结构才能实现，而固有部分的元、部件是不会减少的。要改变结构就只能增加部件，这就是串联和反馈校正装置。本章所介绍的几种校正方法就是在已知系统原有特性和对系统提出的性能指标的前提下，运用频率法或根轨迹法综合出校正装置。如果性能指标是频域的，以频率法综合较为方便，如果性能指标是时域的，则以根轨迹法综合较为方便。要使系统元、部件参数变化不产生大的影响或获得更好的性能指标，采用反馈校正或串联校
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