（1）在图1中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1． （2）在图2中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且面积比为2：1． 【考点】作图—相似变换． 【分析】（1）根据相似比进而得出各边扩大2倍得出答案； （2）根据相似比进而得出各边扩大倍得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图2所示：△MNP，即为所求；

21．已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PO的距离；

（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．

（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

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【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出=，设AH=5k，

则PH=12k，AP=13k，求出k的值即可．

（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=

，列出方程，求出x的值即可．

【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ∴

=

，

设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k， ∴13k=26， 解得k=2， ∴AH=10，

答：坡顶A到地面PO的距离为10米．

（2）延长BC交PO于点D， ∵BC⊥AC，AC∥PO， ∴BD⊥PO，

∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH， ∵∠BPD=45°， ∴PD=BD，

设BC=x，则x+10=24+DH， ∴AC=DH=x﹣14， 在Rt△ABC中，tan76°=

，即

≈4.01．

解得x≈19．

答：古塔BC的高度约为19米．

22．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

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【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长； （2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．

【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB， 由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°， 设AE=x海里，

在Rt△AEC中，CE=AE?tan60°=x； 在Rt△BCE中，BE=CE=x． ∴AE+BE=x+x=100（+1）， 解得：x=100． AC=2x=200．

在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°． 过点D作DF⊥AC于点F， 设AF=y，则DF=CF=y， ∴AC=y+y=200， 解得：y=100（﹣1）， ∴AD=2y=200（﹣1）．

答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．

（2）由（1）可知，DF=AF=×100（﹣1）≈126.3海里， ∵126.3＞100，

所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．

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23．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当

=时，求

的值；

OA．

（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；

（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得． 【解答】（1）解：∵∴

=．

=，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴∴

==

， =，

∴

==；

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（2）证明：∵DE平分∠CDB， ∴∠ODF=∠CDF，

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．

∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD， ∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD， ∴AD=AF，

在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==

OA，

∴AF=

OA．

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