（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t， ∴AB=10﹣2t，

125

当x=t时，AD=﹣t+t，

42

∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）

15

=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]

42

12

=﹣t+t+20

21241=﹣（t﹣1）+， 221

∵﹣＜0，

2

∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为

412

；

（3）如图，

当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），

当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；

当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；

∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分， 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P必平分矩形ABCD的面积， ∵AB∥CD，

∴线段OD平移后得到的线段GH，

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∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P， 在△OBD中，PQ是中位线， ∴PQ=OB=4，

2

所以抛物线向右平移的距离是4个单位．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．

23．（10分）（2018?金华）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=

????

1

??

与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已

??

知点B的横坐标为4． （1）当m=4，n=20时．

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【考点】GB：反比例函数综合题． 【专题】15 ：综合题．

【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论； ②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；

??????（2）先确定出B（4，），进而得出A（4﹣t，+t），即：（4﹣t）（+t）=m，

444??

即可得出点D（4，8﹣），即可得出结论．

4

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【解答】解：（1）①如图1，∵m=4，

4∴反比例函数为y=，

??

当x=4时，y=1， ∴B（4，1）， 当y=2时，

4∴2=，

??

∴x=2， ∴A（2，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴ 2??+??=2，

4??+??=1

1??=?∴ 2， ??=3

1

∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；

2

②四边形ABCD是菱形，

理由如下：如图2，由①知，B（4，1）， ∵BD∥y轴， ∴D（4，5），

∵点P是线段BD的中点， ∴P（4，3），

当y=3时，由y=得，x=，

??3

2020由y=得，x=，

??3

48208

∴PA=4﹣=，PC=﹣4=，

3333∴PA=PC， ∵PB=PD，

∴四边形ABCD为平行四边形， ∵BD⊥AC，

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44

∴四边形ABCD是菱形；

（2）四边形ABCD能是正方形，

理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P， ∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），

????当x=4时，y==，

??4??

∴B（4，），

4????

∴A（4﹣t，+t），C（4+t，+t），

44??

∴（4﹣t）（+t）=m，

4??

∴t=4﹣，

4??

∴C（8﹣，4），

4??

∴（8﹣）×4=n，

4

∴m+n=32，

??????

∵点D的纵坐标为+2t=+2（4﹣）=8﹣，

4444??

∴D（4，8﹣），

4??

∴4（8﹣）=n，

4

??

∴m+n=32．

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