所以cos α=.所以α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时,cos α=, sin α=所以tan α=
==
, ,所以原式=-.
当α为第四象限角时,cos α=, sin α=-所以tan α=综上,原式=±
=-.
=-,
.
,所以原式=
18.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应三个内角的正弦值,那么
(1)试判断△A1B1C1是锐角三角形吗?
(2)试借助诱导公式证明△A2B2C2中必有一个角为钝角.
【解析】(1)由已知条件△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,即cos A1>0,cos B1>0,cos C1>0,从而△A1B1C1一定是锐角三角形. (2)由题意可知
若A2,B2,C2全为锐角,则
A2+B2+C2==
++
-(A1+B1+C1)=,不合题意.
又A2,B2,C2不可能为直角,且满足A2+B2+C2=π ,故必有一个角为钝角.
C组 培优练(建议用时15分钟)
19.在△ABC中,若sin(2π-A)=-A=-cos(π-B),求
sin(π-B),
cos
△ABC的三个内角. 【解析】由条件得sin A=
sin B,
cos A=
cos B,
平方相加得2cos2A=1,cos A=±,
又因为A∈(0,π),所以A=或π. 当A=π时,cos B=-<0,所以B∈
,
所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.
所以A=,cos B=,所以B=,所以C=π.
20.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式
同时成立?若存在,求出α,β
的值;若不存在,说明理由.
【解析】由条件,得
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2, ③ 又因为sin2α+cos2α=1, ④
由③④得sin2α=,即sin α=±因为α∈
,
,所以α=或α=-.
,又β∈(0,π),
当α=时,代入②得cos β=所以β=,代入①可知符合. 当α=-时,代入②得cos β=
,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合. 综上所述,存在α=,β=满足条件.