复变函数与积分变换复习题

一．单项选择题

1. 函数f(z)在z0点可导是f(z)在z0点解析的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 2. 函数f(z)在z0点解析是f(z)在z0点可导的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 3. 函数f(z)在区域D上可导是f(z)在区域D上解析的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 4.下列命题中正确的是（ ） A. 如果f?(z0)存在，则f(z)在z0点必解析

B. 每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上皆收敛

C. 若函数f(z)在区域D内解析且恒取实值，则f(z)在D内是常数 D. 每一个幂级数收敛于一个解析函数

5. 设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中正确的是（ ） A. 若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 B. 若Ref(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 C. 若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数 D. 若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数

6. 设c是任意实常数，那么由调和函数u?x2?y2确定的解析函数

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f(z)?u?iv是（ ）

A. z2?ic B. iz2?ic C. z2?c D. iz2?c

7. 设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，C为B内任何一条闭路，则积分??Cf??(z)?2f?(z)?f(z)dz（ ）

f(z) A. 等于2?i B. 等于?2?i C. 等于0 D. 不能确定 8. 设f(z)在单连通域D内解析，C为D内一条简单光滑闭曲线，则必有（ ） A. C.

??Im[f(z)]dz?0 B. ??Re[f(z)]dz?0

CC??Cf(z)dz?0 D. Re[??f(z)dz]?0

C9. 设f(z)在区域D内连续，且对D内任一条其内部含于D的闭路C均有??f(z)dz?0，则f(z)在（ ）

C A. D内解析 B. D上连续 C. D上解析 D. D内未必解析

10. 设c是任意实常数，那么由调和函数u?x2?y2确定的解析函数

f(z)?u?iv是（ ）

A. z2?ic B. iz2?ic C. z2?c D. iz2?c

11. 设c是任意实常数，那么由调和函数v?2xy确定的解析函数

f(z)?u?iv是（ ）

A. z2?ic B. iz2?ic C. z2?c D. iz2?c

12. 设c是任意实常数，那么由调和函数u?y3?3x2y确定的解析函数

f(z)?u?iv是（ ）

A. z3?ic B. iz3?ic C. z3?c D. iz3?c

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13. 设c是任意实常数，那么由调和函数u?x3?3xy2确定的解析函数

f(z)?u?iv是（ ）

A. z3?ic B. iz3?ic C. z3?c D. iz3?c

14. 设c是任意实常数，那么由调和函数v?x3?3xy2确定的解析函数

f(z)?u?iv是（ ）

A. z3?ic B. iz3?ic C. z3?c D. iz3?c

15. 设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，C为B内任何一条闭路，则积分??Cf??(z)?2f?(z)?f(z)dz（ ）

f(z) A. 等于2?i B. 等于?2?i C. 等于0 D. 不能确定 16. 函数w?zb（b?n,1n；b为复常数）的解析区域是：（ ） A. 复平面 B. 扩充复平面

C. 除去原点的复平面 D. 除去原点与负实轴的复平面 17. 函数w?Ln(z)的解析区域是：（ ）

A. 复平面 B. 扩充复平面

C. 除去原点的复平面 D. 除去原点与负实轴的复平面 18. 函数w?ez的解析区域是：（ ）

A. 复平面 B. 扩充复平面

C. 除去原点的复平面 D. 除去原点与负实轴的复平面 19. 函数w?sin(z)的解析区域是：（ ）

A. 复平面 B. 扩充复平面

C. 除去原点的复平面 D. 除去原点与负实轴的复平面 20. 函数w?f(z)?u?iv在区域D内可导的充要条件是（ ）

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A. 在D内存在某点z0，f(z)在点z0处解析 B. f(z)在D内解析 C. u,v在D内满足C?R条件 D. u,v在D内有偏导数

21. 函数w?f(z)?u?iv在z0点可导的充要条件是（ ） A. u,v在z0点处可微 B. u,v在z0点处有偏导数 C. u,v在z0点处满足C?R条件 D. A 和C同时成立

22. 函数w?f(z)?u?iv在区域D内解析的充要条件是（ ） A. u,v在区域D内可微 B. u,v在区域D内有偏导数

C. u,v在区域D内可微且满足C?R条件 D. u,v在区域D内满足C?R条件 23. 设f(z)?（ ）

A. z?1是f(z)的三级极点 B. Res[f(z),1]?0 C. z?1是f(z)的本性奇点 D. 以上全不正确 24. z?0是函数f?z??ze的（ ）

21z1111?????其中z?1?1，则3456z(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)A. 一级极点 B. 本性奇点 C. 可去奇点 D. 零点 25. z?1是函数(z?1)sin1的（ ） z?1 A. 可去奇点 B. 一级极点 C. 一级零点 D. 本性奇点

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26. z?0是f(z)?cosz?1的（ ） z4 A. 二级极点 B. 三级极点 C. 四级极点 D. 可去奇点 27. z?0是f(z)?z?sinz的（ ） 6z A. 二级极点 B. 三级极点 C. 四级极点 D. 可去奇点 28. z?0是f(z)?sinz的（ ） 3z A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. 二级极点 D. 一级极点 29．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z)的（ ）

A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. m级极点 D. 小于m级的极点 30. z?0是函数f?z??ze的（ ）

A. 一级极点 B. 本性奇点 C. 可去奇点 D. 零点 31. z?0是函数zsin的（ ）

A. 可去奇点 B. 一级极点 C. 一级零点 D. 本性奇点 32. z?0是f(z)?sinz的（ ） z15z1z A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. 二级极点 D. 一级极点 33. z?0是f(z)?cosz?1的（ ） 6z A. 二级极点 B. 三级极点 C. 四级极点 D. 可去奇点 34．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)?g(z)的（ ）

A. 可去奇点 B. 本性奇点 C. m级极点 D. 小于m级的极点 35. z?0是函数f?z??e的（ ）

A. 一级极点 B. 本性奇点 C. 可去奇点 D. 零点

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1z

36. z?0为函数f(z)?ln(z?1)的（ ） z A. 一级极点 B. 本性奇点 C.可去奇点 D. 三级极点 37. 函数

cos?z在z?i?2内的孤立奇点个数为（ ） 2z?i A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 38. 若f(z)?sinz，则Res[f(z),0]?（ ） z A. 1 B. 0 C. 2?i D. ?1 39. 若f(z)?ln(z?1)，则Res[f(z),0]?（ ） z A. 1 B. 0 C. 2?i D. ?1

z1340. 函数f?z??6在复平面上的所有有限奇点处留数的和：8(z?1)(z?1)（ ）

A. 4 B. 1 C. －1 D. 2 41. 级数?nnz的收敛半径为（ ） n2n?0? A. 2 B. ?? C. 0 D. e

zn42. 级数?的收敛半径为（ ）

n?0n!? A. 2 B. ?? C. 0 D. e 43. 级数?n!nz的收敛半径为（ ） nn?0n? A. 2 B. ?? C. 0 D. e

nnn 43. 级数?z的收敛半径为（ ）

n?0n!? A. 1 B. ?? C. 0 D.

1 e第 6 页 共 18 页

zn44. 级数?3的收敛半径为（ ）

n?1n? A. 1 B. ?? C. 0 D.

1 e42. 函数f(z)在z0点解析是f(z)在z0点附近能展成幂级数的（ ） A. 充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 以上全不正确 43. 下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）

1i? A. ??1??? B. n?n?1n??in C. ?n?2lnn??(?1)ni???n?2n? D. n?1???(8i)n ?n?1n!?44. 设f(z)?1在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式，有

(z?1)(z?2)（ ）个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 45. 设f(z)?1在以1为中心的圆环域内的洛朗展式，有

(z?1)(z?2)（ ）个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 46. 设f(z)?1在以2为中心的圆环域内的洛朗展式，有

(z?1)(z?2)（ ）个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

47. 设C为正向圆周z?2，则积分?Cdzz?z?1?32的值为（ ）

A. 4 B. 6?i C. 0 D. 8?i

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48. 设C:z??2?1，则??Csin(z)dz(z?)32??（ ）

A. ?i B. ??i C. 49. 设C:z?1?1，则??C?2i D. ??i 2dz?（ ）

(z?1)3(z?1)3 A.

3?3?3?3?i B. ?i C. i D. ?i 448850. 设f(t)??(t?t0)，则?[f(t)]＝（ ）

A. 1 B. 2? C. eiwt D. e?iwt

0051. 设f(t)?e?tcost，则?[f(t)]＝（ ）

s?11e?ses A. 2 B. 2 C. D. 22(s?1)?1(s?1)?1s?1s?152. 在傅立叶变换中，若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分___________称为函数f1(t)与f2(t)的卷积（ ） A. C.

????????f1(?)f2?t???d? B. f1(?)f2?t*??d? D.

????0f1(?)f2?t???d? f1(?)f2???d???????

53. 设f(t)?e?(t?1)，则?[f(t)]＝（ ）

e?(s?1)e?(s?1)ee A. B. C. D.

s?1s?1s?1s?154. 设f(t)?ekt（k为实数），则?[f(t)]＝（ ）（其中Res?k） A.

k11k B. C. D. s?ks?ks?ks?k55. 设f(t)?1?sint，则?[f(t)]＝（ ） A.

11111s1s B. ?2 C. ?2 D. ?2?2ss?1ss?1ss?1ss?1

56. 设f(t)?t?cost，则?[f(t)]＝（ ）

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A.

11111s1s B. C. D. ????s2s2?1s2s2?1s2s2?1s2s2?157. 设f(t)?sin(kt)（k为实数），则?[f(t)]＝（ ）（其中Res?0） A.

kkss B. C. D. s2?k2s2?1s2?k21?k2

58. 设f(t)?cos(kt)（k为实数），则?[f(t（其中Res?0） )]＝（ ） A.

kkss B. C. D. s2?k2s2?1s2?k21?k2

59. 设f(t)?sin(t?)，则?[f(t)]＝（ ）

3?s?s1?3ss?31??se3 D. e3 A. B. C. 22222(1?s)2(1?s)1?s1?s?60. 在拉普拉斯变换中若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分___________称为函数f1(t)与f2(t)的卷积（ ） A. C.

二、填空题 1. 设复数z?1?i,则其实部为 ,虚部为 ,模1?i????????f1(?)f2?t???d? B. f1(?)f2?t*??d? D.

??t0f1(?)f2?t???d? f1(?)f2???d?

??????为 ,三角表示式为 ,共轭复数为 。 2. 设复数z?1?i,则其实部为 ,虚部为 ,模1?i为 ,三角表示式为 ,共轭复数为 。

3. 设复数z?1?i3,则其实部为 ,虚部为 ,模为 ,三角表示式为 ,共轭复数

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为 。

4. 设复数z?1?i,则其实部为 ,虚部为 ,模为 ,三角表示式为 ,共轭复数为 。

函数f(z)?zImz?Rez在 处连续，在 处可导，在 处解析。

5. 函数f(z)?x2?iy在 处连续，在 处可导，在 处解析。

6. 函数f(z)?Imz在 处连续，在 处可导，在 处解析。 7. 函数f(z)?x?yx?y在 处连续，在 处可?i2222x?yx?y导，在 处解析。

8. 函数f(z)?xy2?ix2y在_________处连续，在_________处可导，在_________解析

9. 设w?f(z)在单连通域D内解析，闭路C?D,z0?D但z0?C的内部，则

1f(z)dz? ??C2?iz?z0??nc(z?i)10. 设幂级数?nn?0在z?i处发散，那么该级数在z?2处敛散性为

（填写“收敛”或“发散”）

c(z?i)11. 设幂级数?nn?0??n在z?2处收敛，那么该级数在z?i处敛散性为

（填写“收敛”或“发散”）

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12.z?0是13.Res[1z(e?1)z的 级极点。

sinz ,0]＝ 。 z14. ?[etcos2t]= 。

15. 设f(t)??(t?t0)，则?[f(t)]＝ 。

(z?1)n16.级数?的收敛半径为 。 3nn?1?17.z?0是18.Res[1z(e?1)z的 级极点。

sinz ,0]＝ 。 z19. ?[etcos2t]= 。

20.(1?i)2? ，(1?i)4? ，

(1?i)6? ，(1?i)8? 。

21.Res[ln(z?1) ,0]＝ 。 z22.L[etsint]= 。 23. 若f(z)?(z?1)2sin，则Res[f(z),0]?

i24. (1?i)?

1z25．?[2sin2t?t]= 。

26. 幂级数?(1?i)nzn在 绝对收敛，在 发散。

n?0?27. 幂级数?n?5nz的收敛半径为 5nn?1?28. 设C为正向圆周：z?，则积分??C2i29. (1?i)?

32sinzdz? z第 11 页 共 18 页

e，则Res[f(z),0]? 1?z131. 若f(z)?(z?1)2sin，则Res[f(z),0]?

z30. 若f(z)?1z32．?[2cos2t?t]= 。 33.1?cos??isin?的指数形式： 34. ?3?4i?1?i? 35. 函数f?z??y3?3x2y?i?x3?3xy2?解析，则f??z?? 36. 37.

dz? 2??z?2z?2z?1z?2???z?i??z?1??z?3??

10dz39. 函数f?z??z的奇点： 2?z1?z1?e???? （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 40.将函数f?z??sin2z展开为z的幂函数： 1x2y241. 设C:??1的正向，则积分??z?1?ez?1dz? ?49C?1?e2z?42. Res?3,0?= ?z?43. 已知幂级数的系数为cn，且lim径为___________________

n??cn?1???0，则该幂级数的收敛半cn44. 若f(z)?z3cos，则Res[f(z),0]?________________________

(3?4i)(1?i)1245．设z?5，则z? i(2?4i)21z46．若f(z)于闭路C上及其内部解析，z0?C的内部，且

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??Cf(z)e?zdz?2?iz0，f(z)? (z?C的内部) z?z0?47．级数?n?1?n!?nn2zn的收敛半径为

48．若f(z)?，则Res[f(z),0]? 三、计算题

?1z1．设f(z)?????2e3???z??d?，求f(i)和f(?i)。

e32． 设f(z)?????2??zd?，求f(1)和f(?1)。 3?2?7??13．f(z)?????zd?，求f?(1?i).

??34.设f(z)?x3?y3?2x2y2i，问f(z)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.

5. 设a,b是实数，函数f(z)?axy?(bx2?y2)i在复平面解析，求a,b. 6. 设a,b,c,d是实数，函数f(z)?x2?axy?by2?(cx2?dxy?y2)i在复平面解析，求a,b,c,d.

7. 设a,b是实数，函数f(z)?xy?(ax2?by2)i在复平面解析，求a,b。

zsinze8. 计算??z?2dz，其中C:|z|?1，方向为正向。 Ce2z?69. 计算?3dz，其中C:|z|?1，方向为正向.

zC10. 计算?Cdz，其中C:|z?a|?a(a?0)，方向为正向. 22z?a3z2?7z?6dz，其中C:|z?i|?1，方向为正向. 11. 计算?3(z?1)C第 13 页 共 18 页

e?zsinzdz，其中C:|z?i|?2，方向为正向. 12. 计算?2zC13. 计算?Csinz????z??2??2dz，其中C:|z|?2，方向为正向.

3z14. 计算?z?esinzdz，其中C:|z|?1,方向为正向。

C15. 利用留数求积分??Csinzdz的值，其中C:|z|?2，方向为正向。 2z?116. 用留数法求积分?Czdz，其中C:|z|?2，方向为正向 z2?1zdz的值，其中C:|z|?2，方向为正向。 z4?117. 利用留数求积分??Ce2z18. 利用留数求积分??C(z?1)2dz的值，其中C:|z|?2，方向为正向。

19. 利用留数求积分??Csinzdz的值，其中C:|z|?2，方向为正向。 zz1dz的值，其中，方向为正向。 C:|z?2|?2(z?1)(z?2)220. 利用留数求积分??C3z3?2dz的值，其中C:|z|?4，方向为正向。 21. 利用留数求积分?2?(z?1)(z?9)C22.求函数f(z)＝

1?z4?z2?1?3在有限奇点处的留数

ezsinz23.求f(z)?2在孤立奇点z?0处的留数.

zez?224.求f(z)?2在孤立奇点z?0处的留数。

z25.求f(z)?ln(z?1)在孤立奇点z?0处的留数。 zz226. 求f(z)?在有限奇点处的留数. 22(1?z)第 14 页 共 18 页

27. 求f(z)?1在有限奇点处的留数。 z3?z5t?0?0(??0)的傅氏变换及其积分表达??tt?0?e28．求指数衰减函数f(t)??式。

29. 求函数f(t)???E?00?t??其他(E,??0)的傅氏变换。

??1,?1?t?0?30. 求函数f(t)??1,0?t?1(??0)的傅氏变换。

?0,其他?31. 求指数衰减函数f(t)??

0,t?0?的傅氏变换。 ?3t?t?5e?3e,t?032. 求f(t)?ekt(k为实数)的拉氏变换。 33. 求f(t)???0,t?0的拉氏变换。

?1,t?034. 求f(t)?sin(kt)(k为实数)的拉氏变换。 35. 求f(t)?cos(kt)(k为实数)的拉氏变换。 36. 求f(t)?t2?sin(wt)的拉氏变换。 37. 求f(t)?6e?3t?cos(3t)的拉氏变换。 38. 求f(t)?tm(m是正整数)的拉氏变换。 39. 求F(s)?2s?5的拉氏逆变换。

s2?4s?13s2?s?140. 求F(s)?2的拉氏逆变换。

(s?1)(s?2)41. 求F(s)?42. 求F(s)?1的拉氏逆变换。 s(s?1)22s?3的拉氏逆变换。 s2?9第 15 页 共 18 页

43. 求F(s)?44. 求F(s)?45. 求F(s)?s的拉氏逆变换。

(s?2)(s?1)(s?3)10(s?2)(s?5)的拉氏逆变换。

s(s?1)(s?3)1的拉氏逆变换。

s4?5s2?4s2?346. 求F(s)?的拉氏逆变换。 2(s?2)(s?3)(s?2s?5)四、解答题 1. 将函数f(z)?级数。 2. 将函数f(z)?成洛朗级数.

2z2?z?53. 求f?z??在圆环域1?z?3和3?z???内的洛朗展开2?z?3??z?1?1分别在圆环域0?|z|?1，1?|z?1|???展开成洛朗z(z?1)1分别在圆环域0?|z?2|?1，1?|z?1|???展开

(z?2)(z?1)式。 4. 把函数5. 把函数6. 把函数

1展开成z的幂级数，并指出其收敛半径。 31?z1?1?z?2展开成z的幂级数，并指出其收敛半径。

z?1在z0?1展开成z的幂级数，并指出其收敛半径。 1?z17. 把函数2在z0??1展开成z的幂级数，并指出其收敛半径。

z18. 把函数在z0?1?i展开成z的幂级数，并指出其收敛半径。

4?3z9. 把函数

z在z0?2展开成z的幂级数，并指出其收敛半径。

(1?z)(z?2)10．将f(z)?1在圆环域0?z?2?1，0?z?3?1，1?z?2???，2z?5z?6第 16 页 共 18 页

1?z?3???内展开成洛朗级数。

11. 将f(z)?数。

1在圆环域2?z???，1?z?2内展开成洛朗级

(z2?1)(z?2)12. 将f(z)?1在圆环域0?z?1，0?z?1?1，1?z???，2z(1?z)1?z?1???内展开成洛朗级数。

13. 将f(z)?10?z?1?1，1?z?2???，在圆环域0?z?2?1，

(z?1)(z?2)1?z?1???内展开成洛朗级数。

14. 将f(z)?1在圆环域0?z?1?1内展开成洛朗级数。 2z?3z?2五、应用题

1. 用拉普拉斯变换求解常微分方程：

(4)(3)??x(t)?x(t)?cost ?(3)??x(0)?x?(0)?x(0)?0,x??(0)?k.(其中k为常数)2. 用拉普拉斯变换解微分方程的初值问题：

x???x??2x?et?1，x(0)?x?(0)?0

3. 用拉普拉斯变换解微分方程的初值问题：

y???2y??3y?2e?t，y(0)?0,y?(0)?1。

4. 应用拉氏变换解具有初始条件y?0??y??0??y???0??0的微分方程

y????3y???3y??y?1

5. 应用拉氏变换解具有初始条件y?0??1,y??0??2的微分方程y???y?t 6. 应用拉氏变换解具有初始条件y?0??y??0??0的微分方程

y???2y??2y?3etcost

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??x(0)?x?(0)?07. 应用拉氏变换解具有初始条件?的微分方程组

???y?0??y?0??0?y???x???x??y?et?2 ???????2y?x?2y?x??t8. 应用拉氏变换解具有初始条件x(0)?y(0)?0的微分方程组

t??x??x?y?e ?t??3x?y??2y?2e

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