第三章 DDS工作原理
fc （3-8） 2N若以 M 点为步长，产生的信号频率则为：
fc （3-9） fout?M?N2fout?相位寄存器每经过 M N / 2 个fc时钟后回到原来开始的状态，对应地正弦查询表也经过一个轮回返回到原来开始的位置，整个 DDS 电路系统就可以输出一个正弦波。输出正弦波周期为：
Tc?2NT0? （3-10）
M频率为：
fout?M?fc （3-11） 2NDDS频率的最小分辨率（用频率增量来表示）为
fc （3-12） ?fmin?N2这个增量也就是最低的合成频率。最高的合成频率受奈奎斯特抽样定理的限制，所以有
f0MAX?fc （3-13） 2与 PLL 不同，DDS 的输出频率可以瞬时地改变，即可以实现跳频，这是 DDS 的一个突出优点。
常用的可编程DDS 的结构图如图3.3所示：
图3.3 常用可编程DDS结构图
在图3.3中，DDS 电路系统的关键是相位累加器，它由一个N 位相位寄存器和两个加法器Σ所构成，相位寄存器的N 值通常取24～32 位。每来一个时钟fc，相位寄存器增加一个步长M。相位寄存器的输出与微控制器送来的相位控制字相加，形成正弦查询表地址码。正弦查询表由一个周期正弦波的幅度值构成，正弦波中0～
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第三章 DDS工作原理
360°的每一个相位点在正弦查询表都对应着一个地址。正弦查询表根据输入的地址码查表输出对应的正弦波幅度信号，经过DAC的转换，输出模拟量。相位寄存器每经过M N / 2个fc 时钟后返回到原来开始的状态，对应地正弦查询表也经过一个轮回返回到原来开始的位置。整个 DDS 电路系统就可以输出一个正弦波。
3.4 DDS输出特性
DDS是一种全数字电路系统，其缺陷之一就是杂散多，这个因素是长期以来DDS技术得不到实际应用的主要原因之一。对DDS输出特性的分析成为获得低杂散输出信号的必要条件。从研究DDS的频谱特性着手，是研究分析DDS输出特性的一种比较好的方法[16]。
3.4.1 理想情况下DDS的频谱特性
所谓理想情况就是假设低通滤波器和数模转换器（D/A）的特性是理想化的特性，同时不考虑幅度量化误差和相位截断误差，即DDS系统同时符合下面三个条件： （1）数模转换器分辨率的值无穷小，并且具有理想的转换特性相位； （2）相位累加器的输出完全作为波形存储器的地址码； （3）波形存储器存储的波形幅度值没有量化误差。
假定相位累加器输出的相位序列为?(n)，它是一个周期序列，它的周期是：
2Nmk? (3-14)
GCD(2N,K)上式中，GCD(a,b)是a和b的最大公约数。
如果波形存储器输出的幅度序列是S(n)，这个幅度序列是相位累加器的输出寻址得到的，那么S(n)的周期也是mk，假设重建信号为余弦信号，S(n)可表示为：
2?S(n)?cos(NK?n) (3-15)
2S(n)经过DAC转换后为余弦波阶梯波，用S(t)来表示，那么S(t)的周期为T?mk?Tc，其
中Tc 是DDS系统的参考时钟周期。
用傅立叶级数展开S(t)，假设其傅立叶展开式为：
S(t)?m????C?m?ejm?t (3-16)
上式中 ??2?T?2?mk?Tc 。
由于S(t)在一个周期内可以表示为：
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第三章 DDS工作原理
mk?1n?0S(t)??cos(2?K?n)??(nTc) (3-17) 2N其中?(nTC)?u(t?nTc)?u?t?(n?1)Tc?，u(t)为单位阶跃函数。
所以有
Cm?1T?jm?tS(t)?edt ?0T(n?1)Tc1mk?1?2?????cos(NK?n)??e?jm?tdt? (3-18)
nTcTn?0?2?其中
?(n?1)TcTce?jm?t?Tc2?jm?nTc?jmmdt?e?e2?sin(?Tc) (3-19)
m?22?2??jNKn?2?1?j2NKncos(NK?n)??e?e2??? (3-20) 22?? 将式（3-19）及式（3-20）代入式（3-17），根据下面的等式：
mk?1n?0?ej2?nqmk?mk000000q?i?mk,i?0,?1,?2,...??? (3-21) ?00000000其余q? 可以得到下式：
??1?jmmm?ek?sinc()0000m?i?mk?pk,i?0,?1,?2,... (3-22) Cm??2mk??000000000000000000其余m其中pk?Ksin(?x)m,sinc(x)?。 k2N?x 从式(3-16)可以得知S(t)展成傅立叶级数后，第m根谱线的频率值为：
fm?m?m??fc (3-23) 2?mk 同时根据式(3-22)，只有当m?i?mk?pk，那么其对应的谱线幅值才不为零，所以可以得到下式：
fm?fc?(i? 第m根谱线的幅值为：
K)?i?fc?fo0000i?0,?1,?2,... (3-24) N2- 23 -
第三章 DDS工作原理
Cm?1m1Ksinc()?sinc(i?N) (3-25) 2mk22 所以在DDS系统中，DAC输出信号的傅立叶展开式是：
j?2?(i?fc?fo)t??(i?N)?1?K2? (3-26) S(t)??sinc(i?N)?e?2i???2?K? 根据式(3-25)和式(3-26)，DAC的输出信号频谱中除了主频fo外，还有分布在
fc,2fc,...等频率两边?fo处的非谐波分量，它们的幅值包络是一个sinc函数，如图3.4
所示。
在图3.4中可以看出，当fo趋近fc/2时，非谐波分量fc?fo也趋近fc/2,而且它们的幅度值趋近相同，这个时候，要设计出能滤除fc?fo分量的LPF是非常困难的，这也是DDS系统最大输出频率不取fc/2而取0.4fc的原因。因为实际的LPF特性不可能是笔直陡峭的，总是会有一定的过渡带，在确定DDS系统最大输出频率时，就要留有余量。为了取出干净的主频fo的输出信号，我们一般在DAC输出端接入截止频率为fc/2的LPF来防止杂散信号的混入。
Cmfc奈圭斯特采样带宽2Ofofc?fofcfc?fo2fc2fc?fo2fc?fo3fc3fc?fof
图3.4 理想情况下DDS的输出频谱特性
3.4.2 非理想情况下DDS的频谱特性
DDS的工程实际应用中，它的输出信号频谱所包含的杂散部分不仅分布图在某些频率点（如图3.4所示），有时还会分布在整个频率范围内。事实上，由于相位累加器的位数N与波形存储器的地址线的宽度A通常是不同的，在正常情况下，N＞A，这样就引入了一个相位截断误差。另外，由于在有限字长的波形存储器中，存储的波形幅度量化数据也不是无限的字长，这将不可避免地带来幅度量化误差。所以在DDS系统的实际频谱分析中，这两个因素都必须予以考虑。另外，由于DAC的非线性和LPF的非理想特性，DDS的输出频谱也将受到影响。DDS杂散信号引入的数学模型如图3.5所示。
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