二、课后习题解答

1-1、一飞轮直径为0.2m，质量为5.00kg，t边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s转速达10转/s。假定飞轮可看作实心圆柱体。求； 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 拉力及拉力所做的功

从拉动后t=10s时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。 解：

A?(1)???t????t?125.6rad/s1??t?n??2.5转22??1??（2）Mz?r?F,??900?Mz?rF?Jz??mr2?2???F?1mr??31.4N21112Jz?2?Jz?0?Jz?2?49.3J222

3(3)?t??t?1.26?10/s,v?r?t?126m/s,a??r??12.6m/s,an?r?t2?1.58?105m/s2,1-2、有一根长为l、质量为m 的匀质细杆，两端各牢固的连接一个质量为m的小球，整个系统可绕一过O点并垂直于杆的水平轴无摩察的转动，如图。当系统转到水平位置时，求： 系统所受的和力矩 系统的转动惯量 系统的角加速度

解： （1）设垂直纸面向里为z轴的正方向（即力矩的正方向），合力矩为两小球及杆的重力矩之和。

???Mz?r?F,??900两小球所受重力矩：13?右?lmglmg,Mz44m杆所受重力矩：其中??l?左??Mzr23l/41Mz杆??rgdm??rg?dr?g?lmg?l/4??l/4243?左?Mz?右?Mz杆?mgl?Mz?Mz43l/4

(2)系统的转动惯量等于两小球的转动惯量和杆的转动惯量之和，两小球的转动惯量：31?左?m(l)2,Jz?右?m(l)2Jz44杆的转动惯量：Jz杆??3l/4?l/4

r2dm??3l/4?l/4r2?dr??372ml4813r33l/4?l/4?7ml248?左?Jz?右?Jz杆??Jz?Jz（3）由转动定理

Mz?Jz????Mz36g

?Jz37l1-3、有一质量为m1、 m2（m1>m2）两物体分别悬挂在两个半径不同的组 合轮上，如图。求物体的加速度及绳的张力，大，小两轮间无相对运动， 且半径分别为R、r，转动惯量分别为J1、J2，。轮和轴间无摩擦。 解：设垂直于纸面向里为力矩 的正方向，又大小轮之间无相对运动， 则它们具有共同的角加速度β，由转动定理得：

T2R?T1r?(J1?J2)?(1)

对m1： m1g?T2?m1a1(2) 对m2：

T1?m2g?m2a2(3)

又： a1?R?(4)

a2?r?(5)由以上5式得

???m1gR?m2grm1R2?m2r2?J1?J2

T2?m1(g?a1),T1?m2(g?a2)1-4、一根质量为m1=0.03kg，长为l=0.2m、的均匀细棒，在一水平面内绕通过质心并与棒垂直的固定轴无摩擦的转动。棒上套有两个可沿棒划动的小物体，他们的质量均为m2=0.02kg开始时，两个小物体分别被家在棒心的两边，距离各为r1=0.05m， 此系统以ω0=15rad/s的角速度转动。设系统在无其他的改变，仅将夹子松开，两物体就沿棒外划去，以至飞离棒端。求： 当两个小物体达到棒端时的角速度

当两个小物体飞离棒的瞬间时，系统的角速度

解：（1）此过程系统所受的合外力矩为0，因此系统的角动量守恒，则 （J杆1?2J物1）?1?（J杆2?2J物2）?2 11?(m1l2?2m2r12)?1?(m1l2?2m2r22)?21212??2?6rad/s （2）两个小物体飞离棒的瞬间时，系统的角动量仍然守恒，但物体飞离，仅剩下杆的转动惯量，所以

?3?30rad/s （J杆1?2J物1）?1?J杆2?3 ?1-5、一个人坐在转椅上，双手各持哑铃，哑铃与转轴的距离各为r1=0.6m，先让人以，ω0=5rad/s的角速度随转椅旋转，此后人将哑铃拉回是与转轴的距离均为 r2=0.2m，人对轴的转动惯量J1=5kg·m2视为不变，每一哑铃的质量M2=5kg轴上摩擦忽略不记。

解：（1）系统所受合外力矩为0，所以系统的角动量守恒，则 （J1?2J铃1）?0?（J1?2J铃2）?22?(J1?2m2r1)?0?(J1?2m2r2)?

???7.96rad/s?8rad/s（2）拉回前，系统机械能为：

E?E人?2E铃?1122J1?0?2(m2r12?0)?107.5(J) 22拉回后，系统机械能为： ??2E铃??E?E人11J1?2?2(m2r22?2)?172.8(J) 22 可见系统的机械能不守恒。这是因为人在将哑铃拉回的过程中，把自身的化学能转化为对哑铃所作的功，并最终导致系统的机械能增加。1-6、一长l=0.40m的均匀棒，质量m1=1.0kg，可绕光滑水平轴O在竖直的水平面 内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有一质量m2=8.0g的子弹以v=200m/s的速 率水平射入棒中，射入点在轴下l'=3l/4处，如图。求： （1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。 解：以子弹和棒为研究对象。

（1）系统所受合外力矩为0，所以系统的角动量守恒，则

2

313lm2v?m1l2??m2(l)2? 434???8.88rad/s（2）系统只受保守力的作用，机械能守恒。系统的动能转化为势能。 棒获得速度后向右摆动，设摆动的最大角度为θ，则重心升起的最大高度为

11(l?lcos?)?l(1?cos?) 2211J杆?2?J子弹?2?m杆gh?m子弹gh22 1113?（m1l2)?2?[m2(l)2]?2232413?m1gl(1?cos?)?m2gl(1?cos?)240???94.31-7、一根长为l=5m的钢杆，横截面积为b0=0.2m见方的正方形。今在杆的两端各解：

?p 加F=400N

的拉力，求杆的应力、应变、总伸长量和横截面的相对改变量。已知钢杆的Y=2×1011N·m-2，泊松比μ=0.19。

F400??1?108N/m2,2s?0.002??????lY??l??l????Y?5?10?4?0.05%,

?l??l??ll0?25?10?4m?2.5mml0?t?b??t???l??0.0095%?lb01-8、在半径为r的植物球形细胞内，溶液的静压强为P，细胞壁厚度为τ，求细胞壁上各处所受的应力。 解：

rp2 ?l?2?rt?p?r??l?2t,纵向应力

rp?t?2?l?,横向应力t1-9、在图1～22（教材第19页）所示的分支管中，以致三管的横截面积分别为S1=100cm2，S2=40cm2，S3=80cm2，在截面S1、S2两管中的流速分别为v1=40cm/s，和v2=30cm/s。求： （1）在截面S3管中的流速；（2）在截面S2管中的体积流量。 解：

s1v1?s2v2?s3v3?v3?35m/sQv2?1200cm3/s1-10、流体在半径为R的管内作定常流动，截面上的流速按v=v0（1-r/R）分布，r为截面上某点到轴线的距离。设R=5cm，v0=1.2m/s。求体积流量。

r)drRRr解：?Qv?dQv?2?rv(1?)dr 0??0R?dQv?2?rdrv?2?rv0(1?1113?2?v0(r2?r)2R30?3.14?10?3m3/s1-11、在充满水的水管中的某一点水的流速为v1=2m/s，高出大气压的计示压强P1=P0+104（pa）沿水管到另一点的高度比第一点降低了h=1m，如果在第二点处水管的截面积是第一点处的1/2，求第二点处的计示压强。

3

R解：

1212?v1??gh1?P0??v2??gh2,22h1?h2?h,P1?s1v1?s2v2,1s1,2联立以上各式得s2?p2?p0?1.38?104(pa)1-12、如图所示，一开口水槽中的水深为H在水下面h深处开有一小孔。问： （1）射出的水流在地板上的射程x时多大？

（2）在水槽的其他深度处能否在弄开一孔，其射出的水流有相同的射程？ （3）小孔开在水面下的深度为多少时？射程最远？最远射程是多少？ 解：（1）1?v2??gh v2?2gh

22?x?v2t?2gh?

2(H?h)g?2h(H?h)

（2）设在水面下y处再开一小孔，则有

2y(H?y)?2h(H?h)

y?H?h或h

（3）对射程函数求一阶导数等于零，从而得到y的最大值

dxd(2y(H?y))??2H?2y?0 dydy?y?HHH时有最大射程为2(H?)?H 2221-13、将比多管装在飞机机翼上，以测定飞机相对于空气的速率。假定比多管中盛的是酒精，指示的液面的高度差h=26cm，空气的湿度是0摄氏度，求飞机相对于空气的速率。已知酒精的密度ρ1=0.81×103kg/m3，空气的密度ρ=1.30kg/m3。

已知：h=26cm，t=0，ρ1=0.81×103kg/m3， ρ=1.30kg/m3；求：v 解：

12?vA??ghA?pB??ghB,2hA?hB,vB?0,pA?12?vA?pB?pA22??gh?vA??56.4m/s??1-14、如图所示为空气从稳定状态流过飞机机翼的流线。设流过机翼上面的气流速度v1=60m/s，流过机翼下面的气流v2=50m/s，翼面的面积S=40m2。求作用于机翼的升力。空气的密度ρ=1.30kg/m3。 解：

4

1212?v1?P2??v222112??p?p2?p1??v12??v2224?F??p?s?2.86?10(N)P1?1-15、密度为ρ的球形小液滴在密度为ρ0，黏滞系数为η的空气中下落，测出其最大速度为v0。现在如果在油滴的下方置一方向向下的均匀电厂，其场强为E，测出油滴下落的最大速度为v。求油滴所带的电量q（q＜0). 解：

油滴在空气中下落： 434?r?g??r3?0g?6??rv0(1) 33?r?[9v0?]1/2(2)

2g（???0）在空气与静电场中下落： 434?r?g??r3?0g?6??rv0?Eq(3) 33由（1）、（3）可得

q?6??r(v0?v)/E

将（2）代入得 q?1/2(v?v)v04?9?3/21 ()[]1/2032g(???0)E1-16、若将单位叶表面上的气孔视为半径为r的圆管。由于两圆孔处风速不同而在两圆孔间产生压强差，从而引起饱和水蒸气在圆管中流动。设两圆孔处风速分别为v1=150cm/s，v2=152cm/s，

圆管长l=2cm，半径r=5.64×10-2cm/s，求单位时间内通过单位面的水蒸气质量（即水汽通量）。已知在２０℃时，空气密度ρ1=1.2×10-3g/cm3，细胞间隙内气体的黏滞系数η=1.81×10-5pa·s，饱和水蒸气的密度ρ2=2.30×10-5g/cm3。 解：

2?1?2R2(v2?v12)Qm??9.16?10?6g/cm2s

16?l1-17、为了测定液体的表面张力系数，可称量自毛细血管脱离的液滴重量，并测量在脱离的瞬间液滴颈的直径d，如图。已测得318滴液重4.9×10-2N，d=0.7mm，求此液体的表面张力系数。 解：一滴液滴重为G??G?1.54?10?4N 318承担此液滴重量的表面张力的大小为：

f???2?r???d?G? G??2????7.0?10N/m?d1-18、在20平方公里的湖面上，下了一场50mm的大雨，雨滴半径r=1.0mm。设温度不变，求释放出来的能量。已知水的表面张力系数α=7.3×10-2N/m。 解：

?E?sh43?r3??4?r2?3sh??2.19?108(J) r1-19、图中表示土壤中的悬着水，其上、其下两液面都与大气接触。已知上、下液面的曲率半径分别为RA和RB(RB>RA)，水的表面张力系数为α，密度为ρ。求悬着水的高度。 解：如图所示

PA?P0?2?112? ?h?(?)

PB?P0??gRARBRBPB?PA??gh

2?RAQ放??c?T??4.18?103?(373?293)Q放??s???896.5J/KT5

1-20、植物的根毛上有一层很薄的水膜套，根毛的尖端表面可视为半径为R1的半球形，而根毛的其它部分可视为半径为R2的圆柱形。求根毛尖端及其它部分的水膜所产生的附加压强。 已知R1＝R2=5μm，土壤溶液的表面张力系数α=7.0×10-2N/m。

解：根毛尖端看作是球形，其表面的附加压强为 p?2??2.8?104Pa

s球R1其它部分看作是圆柱形，其表面的附加压强为 p?s柱所以 ps?p?p?s球s柱?R2?1.4?104Pa

2????4.2?104Pa R1R21-21、在内直径d1=2.0×10-3m的玻璃管中，插入一直径d2=1.5×10-3m的玻璃棒，棒与管同轴。求水在管中上升的高度。已知水的密度ρ=1.0×103kg/m3，表面张力系数α=7.3×10-2N/m，与玻璃的接触角θ=0。

解：由分析可知玻璃管和玻璃棒之间的液面是环行凹液面，对于此液面，它的曲率半径为R1→∞，R2=（d1-d2）/4

P0?P0?R2??R2??gh,

rd?d2?r?1cos?4?h???gR2?5.96?10?2m1-22、有一株高H=50m的树，木质部导管（树液传输管）视为均匀的圆管，其半径r=2.0×10-4mm。设树液的表面张力系数α=5.0×10-2N/m，接触角θ=45°问跟部的最小压强应为多少时，方能使树液升到树的顶端？树液的密度ρ=1.0×103kg/m3。

解：如图所示，树根部的压强PA为

p0?pA??gh?p0??pA??gh?

第二章 气体动理论 一、本章重难点

2?2???gh?p0?Rr/cos?

2??1.36?105Par/cos?1、热学的两种研究方法，理想气体的状态方程，压强公式，能量公式 2、平衡态、自由度、分子的能量按自由度均分原则、理想气体的内能 3、理想气体的微观模型

4、理解速率分布律、速率分布函数、麦克斯韦速率分布律和分布函数的物理含义 理解气体的三种统计速率 二、课后习题解答

2-1、水银气压计中混入了一个空气泡，因此，它的读数比实际的气压小。当精确的气压计的读数为1.0239×105Pa，它的读数只有0.997×105Pa，此时管内水银面到管顶的距离为80mm。问当此气压计的读数为 0.978×105Pa时，实际气压应是多少？设空气的温度保持不变。

解：对气泡而言， 有下式成立，（设气压计管子的横截面积为s） 因此

6

P1V1?P2V2,其中

V1?80s,???g?h??h?14mm,p测?p测V2?(80?14)s,

(1.0239?0.997)?105?80s?P2?(80?14)s,?P2?0.02285?105Pa??P测??P2??P实（0.978?0.02285）?1055?1.00?10（Pa）2-2、一端封闭的玻璃管长l=70.0cm，贮有空气，气柱上面有一段长为h=20.0cm的水银柱将气柱封住，水银面与管口对齐。今将玻璃管的开口用玻璃片盖住，轻轻倒转后，再除去玻璃片，因而使一部分水银倒出。当大气压Po=0.9999×105Pa时，留在管内的水银柱有多长？ 解：正立时，设气柱压强为P1，气柱高度为h1=20.0cm 倒立时，设气柱压强为P2，气柱高度为h2

对气柱，有下式成立 P 1V 1 ? P 2V ， 2 其中（设玻璃管的横截面积为s ）

联立以上各式，得

求解后，可得 h?h2?3.54cm?2-3、质量M=1.1kg的实际CO2气体，在体积V=2.0×10-3m3，温度为13oC时的压强是多少？并将结果与同状态下的理想气体比较。这时CO2内压强是多大？已知CO2的范德瓦耳斯常数a=3.64×10-1Pa·[m3]2·mol-2，b=4.27×10-5m3·mol-1。 解：

2-4、设想每秒有1023个氧分子以500m/s的速度沿着与器壁法线成450角的方向撞在面积为 2.0×10-4m2的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强。 解：? F

P1?P0??gh1,V1?(l?h1)s,P2?P0??gh2,V2?(l?h2)s,(P0??gh1)(l?h1)s?(P0??gh2)(l?h2)s?h2?3.54cm或h2?141.5cm（舍去）?h?h2?3.54cm若用厘米汞柱表示压强大小则得到 将h2=141.5cm舍去，

(75?20)(70?20)s?(75?h2)(70?h2)sh2?3.54cm或h2?141.5cmM2a?M(P实?2?2)?V??V????P实?2.57?106PaP理V?MRT??Mb????RT??P理?2.97?106Pa内压强：Pi?aa??5.69?105Pa22V0(?V/M)?n?2mvx?n?2mvcos?F?1.88?104N/m2s?p?2-5、一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K。另一半装有氧气，温度为310K。二者压强相等，求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：去掉隔板后，两种气体交换能量，由氧气分子放出的能量等于氦气分子吸收的能量，系统的总能量不变。 设氦气和氧气的分子数密度分别为n1，n2，总分子数为N1， N2，混合后温度为T

7

p0?n1kT1?n2kT2?n1T1?n2T235N1?k?T?T1??N2?k?T2?T? 22N n1?1N2 n2 ?3n1T?5n2T?3n1T1?5n2T2?8n1T1 ?T?284.4k2-6、贮有氮气的容器以速度为100m/s作匀速直线运动,假使该容器突然停止，问容器内氮气的温度上升多少？ 解：容器突然停止，容器内氮气的动能全部转化为内能。

?u?5M1R?T?Mv22?2??T??v25R?6.74K2-7、在一个有活塞的容器内贮有一定量的气体，如果压缩并对它加热，使其温度由27oC上升到1770C,体积减少一半， 求：（1）气体的压强变化多少？（2）气体的平均平动动能的变化多少？（3）分子的方均根速率变化多少？ 解：

PVPVP1（1）11?22?1??压强变为原来的3倍。T1T2P23（2）?1?33?2kT1,?2?kT2?1?22?23T1T2102?v2?1.22v1215

2-8、温度为300K时,1mol氧的平动动能和转动动能各是多少？

3?t?RT?3739.5(J)解：

2 2?r?RT?2493(J)2

??2?1.5?1(3)v12v12??2-9、有N个粒子，其速度

分布函数为 f

dN?c,(v0?v?0)Ndvf(v)?0,(v?v0)?v??求：（1）画出速率分布曲线；（2）由v0求常数c；（3）粒子的平均平动速率和方均根速率

解：（1）如图所示

f（v） c v0 v

(2)?f(v)dv??0?0?dN1?1?cv0?c?Nv0v0?0v0(3)v??vf(v)dv??vf(v)dv??vf(v)dv??vcdv?0?0v0121cv0?v022

8

v??vf(v)dv??vf(v)dv??v2f(v)dv00v02?2v02???v2cdv?0?0v01312cv0?v023?v2?3v03

2-10、某种气体分子在温度为T1时的方均根速率等于温度为T2的平均速率。求：T2、T1 解 解： 解：

间的平均时间。 解：

??

t?z?vkT?5.80?10?8m,22?dPv12??3RT18RT2T8?v2??1??0.85???T23?2-11、求速率在vp与1.01vp之间的气体分子数占总分子数的百分比。

1?Nm3/2?2kT?4?()ev12?v?83%N2?kTT2?1.18T1mv22-12、求上升到什么高度，大气压强减少为地面大气压强的75％。设空气的温度00C,空气的摩尔质量为0.0289kg/mol。

p?p0e??gz/RT?z?RTp0ln?2304.4m?2.3km?gp2-13、氮气分子的有效直径d=3.8×10-10m，求在标准状态下（1.01325×105Pa，00C）下的平均自由程和连续两次碰撞

??8RT??/??7.83?109/s2-14、电子真空管的真空度为1.33×10-3Pa。设空气分子的有效直径d=3×10-10m，空气的摩尔质量μ=2.9×10-2kg/mol。求在270C时单位体积内的空气分子数，平均自由程和平均碰撞频率。 解： 解：

z?vP?nkT?n?P?3.21?1017/m3,kT1?1.28?10?10sz???kT?7.79m,2?d2P?8RT

2-15、在标准状态下，由实验测得氧气的扩散系数D=1.9×10-5m2/s，求氧分子的平均自由程和分子的有效直径d。

??/??60.1/sD?1?v???33D?1.34?10?7m8RT/??1/2??kT?kT??d???22?dP?2??P??2.5?10?10m2-16、热水瓶胆的两壁间距l=0.4cm，其间充满温度为270C的氮气，氮分子的有效直径d=3.8×10-4m，问瓶胆两壁间的压强降低到多大以下，氮的热传导系数才会比它在大气压下的数值小。

9

解：

??kT?P?22?dPkT?1.61Pa22?d?2-17、在标准状态下，氮的内摩擦系数η=1.89×10-5Pa·s，μ=0.004kg/mol， 求氦原子的平均自由程和氮原子的有效直径d。 解：

第四章 静电场 一、本章重难点

1、静电场、电偶极子、电场线的特点。 2、电场强度的计算： （1）点电荷的电场

（2）点电荷系的电场(场强叠加原理) （3）连续分布电荷的电场 3、电场强度通量（电通量）。 4、电势能、电势的定义及计算。 6、理解高斯定律、静电场的环路定律。 7、静电感应现象、静电平衡条件。 8、静电平衡时导体上的电荷分布。 二、课后习题解答

4-1、按近代物理学理论，基本粒子由若干种夸克或反夸克组成，每一个夸克或反夸克可能带有

??2?3N0?d2RT???d?1.78?10?10m??kT?7?2.65?10m2?d2P2???或 e 的电量（?为电子电量）。已知一个正 ?介子由一个夸克和一个反d夸克组成，夸克带电量321为 ，反d夸克带电量为 。若将夸克作为经典粒子处理，正 ?介子中夸克之间的静电相互作用力为多少？ee33?151.0?10m（设两夸克之间的距离为 ）。 1?e3解：

F?q1q2?51.2N24??0r4-2、如图所示的电荷体系称电四极子，它可以视为两个电偶极子的组合体系，其中q.l均为已知。对图所示的P点

（OP平行于正方形的一对边），证明当 x>>l 时，E解：把四极子看作两个偶极子，在P点产生电场

?3pl 44??0x1E?PP?4??0(R?a)34??0(R?a)3当R??a时，a?3a)?R?3(1?3)RRaa?3（R?a）?R?3(1?)?3?R?3(1?3)RR

?3（R?a）?R?3(1?-q

+q p R 2a -q +q 10

E?PP?4??0(R?a)34??0(R?a)3当R??a时，a?3a)?R?3(1?3)RRaa?3（R?a）?R?3(1?)?3?R?3(1?3)RRP11E?[?]?3?34??0（R?a）（R?a）?3（R?a）?R?3(1?a6aP12a2q?(6)??4??0R3R4??0R44??0R4P3a2q???0R4

4-3、一个均匀带电的细棒长为L，带电总量为Q，求证：在棒的垂直平分线上离棒为a处的场强为

E?1Q22dyrpaθ2??0aL?4a ，又问，当棒为无限长时，该点

的E又为多少？ 解：积分变量代换

2r?a/cos? y?atg? dy?asec?d?

取线元

dy 带电dq??dy

dE??1?dydE?cos?x将dE投影到坐标轴上 4??r201?dy4??0r2

Ex??4??0???21cos?asec2?d?22asec?

Ey?0?Ex?4??0sin?2????21cos????22asec?d??(sin?2?sin?1)?cos?d?a2sec2?4??0a4??0a??1

L/2L/2,sin?1??rr

r?(L/2)2?a2?Ex?12??0a2QL?4a2?Ex?

12??0a2QL?4a

R2Ey?0极限情况，由

L2?4a2?L

E?Ex?无限长均匀带电直线的场强：

?2??0aP?dErdrx4-4、一半径为R的带电圆盘，电荷面密度为α。求： （1）圆盘轴线上任一点P的场强；

11

（2）当R→∞时，p点的场强为多少？ 解：由例题知均匀带电圆环轴线上一点的电场

xq4??0(R2?x2)3/2

xdqx??2?rdrdE??4??0(r2?x2)3/24??0(r2?x2)3/2 2??xRrdr???xE??1?221/2?4??0?0(r2?x2)3/22?0??(R?x)? E?E????x1?2?21/2?2?0?(R?x)?

讨论： 1. 当R2. 当R??x ,??x,

E??2?0 无限大均匀带电平面的场强，匀强电场

??R2?x??1?2?(R2?x2)1/2?x????1/21?R??1???2?x?2?

?R2qE??4?0x24??0x2

可视为点电荷的电场

4-5、大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在题4-5图中，设半径为R1和R2的球壳上分别带有电荷Q1和Q2，求： （1）?、П、Ш区域中的场强；

（2）若Q1＝-Q2，各区域的场强又为多少？画出此时的场强分布线（即E﹣r关系曲线）。从这个结果，你可以对细胞膜产生的电场有个概括的了解。 解：作同心且半径为r的高斯面.

??2?E?dS?E4?rSE?

?q4??0r2

Q2Q1?EII?Q14??0r2R1R2 r?R1时，高斯面无电荷，

EI?01

R1?r?R2时，高斯面内的电荷为Q

均匀带电同心球壳的电场分布 E?r 关系曲线

IIIIII，

rr?R2时，高斯面包围电荷Q1+Q2，

?EIII?Q1?Q24??0r2Q124??0R1Q14??0R22E?r?2R1R20r

4-6、试验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，场强的方向垂直地面向下，大小约为100N*C-1 ；在离地面1.5km高的地方，场强的方向也是垂直地面向下，大小约为25N.C-1 。 （1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；

12

（2）若地球上的电荷全部分布在表面，求地面上的电荷密度； （3）已知地球的半径约为 6?106m，地球表面的总电量 Q 是多少？ 解：（1）

??4E?ds?E4?r2?[?(r3?R3)?]/?0?3s3E?0r2 ???3?5.9?10?13c/m33r?RQ4(2)?????(r3?R3)/4?R2s3??(r3?R3)/3R??8.85?10?10c/m2

4-7、随着温度的升高，一般物质依次表现为固体、液体、和气体、它们统称物质的三态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈的碰撞而离解为电子和正离子。这种主要由电子和正离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。若气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系

2(3)Q??s??4.0?105c?e?r???0??r??1??????a?22???? ，其中 r 是到轴线的距离，?0是轴线上的 ?e值， 为常量，求场强分布。

解：电场分布具有柱对称性，方向沿径向。作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r

?????E?dS??E?dSs侧面

dqQ??E?2?rl???0?0dq??E???0Q2?rl?0

V??r2l?dV?2?rldr?dq??dV??e(r)2?rldr

Q??dq???dV??2?rl(0rr?022[1?(r/a)])drl?2?l?0?(0rr1)rdr[1?(r/a)2]2a21r2?2?l?0?()d()02[1?(r/a)2]2a1??l?0a2(1?)1?(r/a)2

?E???dq??0Q?2?rl?0?l?0a2[1?1]?0a2r21?(r/a)2?(22)2?rl?02r?0a?r

?0a2r2?0(a2?r2)4-8、已知电子质量 m=9.11?10-31kg ，电子质量e=1.6?10-19C 。

（1）设电子质量与电子运动速度无关，把静止电子加速到光速C 需要多高的电压

?U ？

（2）对于高速运动的电子来说，上述算法有误，因为根据相对论，物体的动能不是

12mv2 ，而是

13

????12?mc?1? 。根据这个公式，静止电子经过上述电压加速后，速度为多少？它是光速度的百分之几？ ??v2?1?2?c??（3）按相对论，要把带电粒子从静止加速到光速C，需多高的电压？这可能吗？ 解：

12mc??u?2.56?105V21(2)e?u?mc2[?1]221?v/c?1?v2?[?1](e?u/mc2?1)2(1)e?u??v?2.336?108m/sv??74.5%c

4-9、水分子的电偶极矩为 6.13?10-30C*m ，如果这个电偶极矩是由一对点电荷 向需要多少能量（用 eV表示）？ 解：

pe?ql?6.13?10?30?1.60?10?19l?l?3.83?10?11m(2)W?A?2eEl?7.66?10?5ev

当v=c时，动能趋近于无穷大，所以，电压也将趋近于无穷大。

?e 引起的，那么，它们的距离必

须是多少？如果这个电偶极子的取向与强度为 106N*C-1 的电场方向一致，要使这个电偶极子倒转成与电场相反的方

4-10、动物的一些神经纤维可视为半径为 10-4m长为 0.1m 的圆柱体，其内部的电势比周围流体的电势要低0.09V ，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的 Na+泵（一种运输 Na+ 的特种蛋白）可以将 Na+ 离子输送纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出3?10-11mol 的 Na+ 离子，问： （1） 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维？ （2）每小时必须反抗电场力作多少功？ 解： (1)Q?2?rlN0qt

4-11、计算习题4-5中 Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 区域的电势。 解：（1）由高斯定理知，电场分布为

?2?3.14?10?4?0.1?3?10?11?104?6.02?1023?1.60?10?19?3600?6.53?10?3c/s(2)W?Q?u?5.88?10?4J/小时?? 0r?R1??1Q1?E?? R1?r?R224??ro??1Q1?Q2r?R2? 2?4??ro????U1??E?drrR1123R2r.P1）.当r

14

? ?

?R1rE1?dr??E2?dr??E3?drR1R2R2? ?0?Q14??0r(R2R1?Q1?Q24??0r?R214??0Q1Q2?)R1R22）.当

R1?r?R2时，

?rU2??

??E?dr

??E2?dr??E3?drrR2R2????Q14??0r1(R2r?Q1?Q24??0r?R24??0Q1Q2?)rR2?r????Q1?Q2U?E?dr?E?dr?33r?R2时，?r3）.当 ?r4??0r?Q1?Q24??0r

（2）由高斯定理知，电场分布为

? 0r?R1?1Q1?E?? R1?r?R224??ro?? 0r?R2?R1123R2r1）.当r

.PU1?? 2）.当

?r??RR??E?dr?E?dr?E?dr?r1?R2?RE3?dr12

12?0??Q14??0r(R2R1?01)R?4??RR2012???U2??E?dr??rE2?dr??R2E3?dr?rR1?r?R2时，

Q1 1

???Q14??0rR2r?0Q111(?)4??0rR2r???r?R2U?E?dr3）.当时， 3???E3?dr?0r?4-12、一半径为R的均匀带电细圆环，所带总电量为q，求圆环轴线上距圆心为x处任一点的电势。 解：带电细圆环在圆环轴线上距圆心为x处的电场强度为：

E?qx4??0(R2?x2)3/2

15

????U??E?dl??Edxr???rqxqdx?4??0(R2?x2)3/24??0(R2?x2)1/2

4-13、核技术应用中常用的盖革—米勒（G—M）计数管的外形结构如图所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线（正极）半径为 a ，金属圆筒（负极）半径为R，其间为真空。当两极加上电压V时，求正极附近的场强和金属圆筒表面附近的场强。

解：如图取一柱形高斯面，设正负极中部场强为E，则有，

?????lE?ds?E???ds?E2?rl?s侧?0?E??2?r?0

?dr?Uaa2?r?0??RR?lnra?ln?U2??02??0a?U??2??0lnRa所以，正极附近场强为： 负极附近场强为：

?R?R又?E?dl??

r?R,E2??U?2?r?0RlnRar?a,E1??U?2?r?0alnRa4-14、测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降法。在该法中，使土壤在已知粘滞系数 ? 的液体中沉降，测出其收尾速度（即最后的稳定速度）?1 。然后，再通过极板间电压施加如图所示的静电场（假定土壤颗粒带正电荷），调节场强E, 使颗粒达到新的收尾速度

?2 ，这是有下列关系成立：q?6??r??1??2?其中， r

E为土壤颗粒的半

径，q 为土壤颗粒所带的电量。请证明这个关系。 解：设颗粒半径为r，则由斯托克斯公式，得

G重?6??rv1?f浮G重?6??rv2?f浮?F静?6??rv2?f浮?Eq?Eq?G重?f浮?6??rv2?6??r(v1?v2)?q?6??r(v1?v2)E

4-15、静电分选是一种利用静电场将物质分离、提纯、分级的技术，题4—15图表示了静电分选的基本原理。在图中，混合的磷酸盐和石英颗粒经振动输送器后使石英带负电，磷酸盐带正电，他们在静电场中下落时即被分离。如果E=5×10-5N/c，颗粒带电率为10-5c/kg，若要将它们分离100mm以上，粒子通过电场区域的距离至少应为多大？（设物料自出料口B下落时的初速度为零）。

已知：E=5×10-5N/c，q/m=10-5c/kg，x=100mm，求y=？

解：粒子在水平方向只受到电场力的作用，在竖直方向只受到重力的作用

16

x121Eq2?at?t?t?0.14222m1?y?gt2?9.8?10?2m2

4-16、如图4-16所示为一个由两导体组成的同轴电缆。设内圆柱体的电势为 U1，半径为R1 ，外圆柱体的电势为U2 ，半径为R2 ，求其间离轴为 r处 (R1

???E中?dS??s?l???E?dS?E?2?rl?侧面中0中

?E中??2??0r

R2R1rl?U?U1?U2????R21??E中?dl??Rdr?ln2R2??r2??0R1 0??U?E中??2??0rrlnR2?Ur?U1??rrR1R1??E中?dlrl?U?U1??drR1R2rlnR1?U1?U1?U2rlnRR1rln2R1

?E中?R1?R2?R2?U?Ur?U2??E中?dl?U2??drrrR2rlnR1?U2?U1?U2R2lnR2rrlnR1??U?2??0rrlnR2

4-17、由于在正常的情况下细胞膜两侧存在电场。若膜两侧为等量异号的电荷，膜中脂质分子的相对介电常量

?r?3，膜中的场强为107N*C-1 ，求细胞膜两侧单位面积上的电荷。

?解：由 E????E?0?r??0r

??外?107?3?8.85?10?12?265.5?c/m2?内??107?3?8.85?10?12??265.5?c/m217

4-18、一般而言，生物的细胞膜系统都具有一定的电容。如果已知细胞膜的面积为5?10膜中脂质分子的相对介电常量

?6cm2 ，膜厚度为10-6cm，

?r?3 ，计算膜电容的大小。当膜两侧的电势差为0.085V时，细胞膜两侧的电荷

为多少？如果是K+离子造成了这种电势差，问需要多少个 K+离子？ 解：

s5?10?6?12(1)c??0?r?8.85?10?3??10?2?6d10?1.3275?10?12F?U??????U?0?r/dd?0?r(2)E? Q??S ?0.085?8.85?10?12?3?5?10?6?10?4/10?6?10?2 ?11.3?10?14c

4-19、动物体内是利用叫做轴突(axon)的神经纤维中的电脉冲传递信息的。在结构上，轴突由圆柱形的细胞膜组成，如图4-19所示。设轴突细胞膜的内半径为 RA ，外半径为RB，细胞膜的相对介电常量为 电容。

解：设任一细胞膜上所带电荷量为Q，则两膜间电势差为

Q11.3?10?14c??7.05?105个 (3)n??19e1.60?10?r，求轴突单位长度的

???UA?UB??U??E?dl??dr?0?r??QQRdr?lnBRA??2?rl?0?r2?lRA0rRB?C?Q?UA?UBQQRlnB?0?r2?lRA2??0?rRlnBRA所以单位长度上的电容为：C?

4-20、已知1cm2 的细胞膜的电膜的电容为7.08?10-7F ，如果细胞膜两侧的电势差为0.1V ，求贮存在1cm2的细胞膜中的电能。 解：

W?1CU2?3.54?10?9J2第六章 稳恒磁场 一、本章重难点 1、磁现象的电本质。

2、理解磁感应强度、毕奥—萨伐尔定律、安培环路定理。 磁感应线和磁通量的物理意义，理解磁场的高斯定理。 3、洛仑兹力、安培力、安培定律、磁矩 4、了解霍尔效应的机理和质谱仪的原理。 5、磁介质

6、磁场和电场的性质比较

18

二、课后习题解答

6-1、在地面上空25m处有一高压输电线，其上通过的电流为1.8*103A，这个电流在地面上产生的磁场有多大？在上述地区，地磁场为0.6*10-4T，两者相比如何？ 解：

?0I(1)B??1.44?10?5(T) 2?a

点的磁感应强度。

解：将此薄板看作由许多带电直导线组成，则如图所视：其中任一带电直导线dx，所带电流强度为 在p点处产生的磁场为，

6-3、有关环境磁场对生物影响的研究中，常用一对亥姆霍兹线圈产生的磁场来抵消或反转地磁场。亥姆霍兹线圈为一对密绕N匝、同轴的载流圆线圈，它们之间的距离等于他们的半径R。若使两线圈中的电流均为I，流向也相同，取左边线圈的圆心O1为x轴的原点，两线圈中心的连线O1O2为x轴，（1）求两线圈之间轴线上任一点P的磁感应强度；（2）证明，x=R/2,x=R/4处的磁感应强度分别为B(O1O2之间的磁场基本上是均匀的。

解：两个线圈的半径为R，各有N匝，每匝中的电流均为I，且流向相同（如图）。两线圈在轴线上各点的场强方向均沿轴线向右，设圆心o1处为x轴的原点。

根据圆形载流线圈在距轴心为x处的磁感应强度表达式为

2RI所以，在两圆心间距圆心o1为任意远x处的磁感应强度的大小为：

B?2(R2?x2)3/2 22?0NRI?0NRI1.44?10?5(2)?0.240.6?10?46-2、一宽为a的薄长金属板，其上通有电流I，设电流在板上均匀分布。求在薄板的平面上，距板的一边为a的P

dB??0dI2?xdI?Idxa2a?B??2a?0aIadx??0I2?x2?a?adx?I?0ln2x2?a?NI?NIRR。这个结果表明，)?0.7160,B()?0.71302R4R?0

B?（2）证明：取x=R/2 和R/4带入上式得

2(R2?x2)3/2?2[R2?(R?x)2]3/2两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为

BP?2?0NIR2?2?R?2?2?R?????2?????3/2?8?0NI?1??1??55R?22??0.716?0NIR在P点两侧各R/4处两点的磁感应强度相等，都等于

?2?R???2?3R?2?2?R????2?R????44?????????????0NI?4343??0NI?????0.7123/22R?53?R?17?19

BQ??0NIR223/2??0NIR23/2

6-4、假定地磁场是由位于赤道下面离地心平面距离为5000km环形电流产生的。如果地球两磁极处的磁场为10-4T，赤道到磁极处的距离为8100km，问该电流有多大？ 解：

6-5、在正常状态（基态）时，氢原子的电子可看作半径为a=0.53*10-8cm的轨道（称为玻尔轨道）上作匀速圆周运动，速率为v=2.2*108cm/s。已知电子电量e=1.6*10-19C，求电子在轨道中心产生的磁场的大小。

6-6、双芯电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成，电流从一个导体流去，从另一个导体流回，并且都是均匀地分布在导体横截面上。设圆柱的半径为r1，圆筒的内半径为r2，外半径为r3。计算电缆内外各部分的磁场分布。 解：电流分布具有对称性，可运用安培环路定律。作与磁感应线平行的闭合回路，方向如图所示。

B??0IR22(R2?x2)3/2?10?4(T)?I?3.38?109(A)Bq??0qv?12.5T24?r???B?dl?l?Bdl?B2?r??0Il?B??0I2?r(1)r?r1,???B1?dl??0I?lIIr22?I???r?22?r11??r(2)r1?r?r2B2??B1?,?Bl2?dl??0I?0Ir22?r1(3)r2?r?r3?0I2?r,???B3?dl??0I?l?(r2?r22)I??I?I22?(r3?r2)(4)r?r3?0(r32?r2)?B3?I222?r(r3?r2),??B?dl??0I??4l?I??0,?B4?06-7、如图所是为一测定磁感应强度的实验装置称为安培称。在天平的右臂挂有一个矩形线圈，线圈设为n匝。线圈下端处于均匀磁场B中，并且磁场垂直于线圈导线l。当线圈中通有电流I时，调节砝码使天平两臂达到平衡，然后使电流反向，这时需在天平的左臂上加质量为m的砝码才能使两臂重新达到平衡。证明：线圈中的磁感应强度为。 解：设天平左边的砝码质量为m1，右边的砝码质量为m2 则，

联立以上两式得：

20

mgm2g?m1g?f?m1g?NIlBB?2nlI电流反方向后：

m2g?mg?m1g?f?m1g?NIlBmg?2NIBL?B?mg2NIL6-8、有人建议用超导材料做成的导线建造巨大的电磁铁，以贮存用电峰值期间所需的能量。在一种设计方案中，以半径100m的圆线圈来承载150000A的电流。由于这个电流可以产生平均磁感应强度为5T的磁场，线圈的每一部分导线要受到很大的磁场作用力，因此，有必要将磁铁放在凿成岩床的山洞里以获得对结构充分的支撑。若磁场方向与线圈轴向的方向平行，且与导线平面垂直，问导线承受的张力有多大？ 解:

F?BIL?7.5?107N6-9、两个电量分别为q1与q2的点电荷相距r，均以相同的速度v平行运动。（1）求两者之间的磁场力Fm；（2）将Fm与该两点电荷静止时相互作用的电场力Fe比较，这个结果可以说明生物磁场一般要远远弱与生物电场。（已知光速 ）。 解：

C?100?0q2v?0q1q2v2Fq1v?1m?B2q1v?24?r4?r2?0q1v?0q1q2v2同理，F2m?B1q2v?q2v?4?r24?r2??（2）Fe?q1q24??0r2(其中c?1Fmv22??0v?0?2Fec?0?0)6-10、生物细胞分裂时需要合成大量的ATP（三磷酸腺苷），这时，许多游离的P3+被送到各反应中心以供合成之需。如果在磁场下，这些带电粒子的运动轨迹被局域化在特定的迥选半径内，（1）推出P3+的炯旋半径R与磁感应强度B的关系。已知1mol P3+的质量为31*10-3kg，P3+的电荷数为3，温度取为300K，粒子运动的速率取为最概然速率。（2）当磁感应强度B=1.4T时，R为多少？若细胞长度为400um（例如，单细胞的麦粒赭虫），该磁场对细胞分裂有无影响？ 解：

v2mv(1)Bqv?m?R?RBq31?10?3?2RT/?43??(?m)B?3eN0B(2)B?1.4T时，R?30.71?m（3）?400?m》R，?有影响。6-11、历史上首次测定粒子荷质比的方法是汤姆逊创立的。汤姆逊方法的原理如图所示。在图中，电子首先以速度V0进入一个电场强度E，磁感应强度为B的区域，调节E与B的大小，使电子数可沿直线进射到屏上的F点，然后去除磁场B，电子束将会运动到屏上的P点，偏转量为y。设电子电量为e，质量为m，产生电场的电极板长度为L，极板与屏之间的距离为D，证明电子荷质比可由下式计算：

yEL2?1??2(LD?)1LLDm2 2E(2?)B2vov0v0

ey证明：

1212em1L2LDy?y1?y2?at1?v?t2?at1?at1t2?(?)222q2v0v0v0EB?Bqv0?qE?v0?eyyEL2?1???2(LD?)1L2LDmB2E(?)22vov0v021

6-12、一质谱仪的测量原理如图所示。在图中，离子源S产生质量为M、电荷为q的离子，离子产生出来时的速度

很小，可以视为静止。产生出来的的离子经过电压U加速，进入磁感应强度为B的均匀磁场，沿半圆周运动而达到照相底片P上，测出它在P上的位置到入口处的距离x，证明，该离子的质量为：若以Na+离子做实验，测的如下数据：U=705V，B=3580Gs，x=10cm，求Na+离子的荷质比。 解：（1）证明：

1mv2?Uq2xmvR??2Bq(2)q8U??4.4?106c/kg22MBx6-13、在有关霍尔效应的实验中，一宽1.0cm、长4.0cm、厚1.0*10-3的导体沿长度方向载有3.0A的电流。当B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生了1.0*10-5V的横向电压。计算（1）电子的偏移速率；（2）导体中每立方米的电子数。 解：

(1)Bqv?Eq??U?Eb?v?(2)??U??n?BIned?U?6.7?10?4m/sBbBI?2.8?1029/m3?Ued 22