一元二次方程
知识讲解+例题解析+强化训练
◆知识讲解
1．一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0） 2．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是
?b?b2?4ac x=（b2－4ac≥0）．
2a 3．二元三项式ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0?的两个实数根．
4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac．当△>0时，?方程有
?b?b2?4ac?b?b2?4ac两个不相等的实数根x1=，x2=；当△=0时，方程有两个相
2a2a等实数根x1=x2=－
b；当△<0时，方程没有实数根． 2abc，x1x2=． aa 5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=－ 6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1+x2）x+x1x2=0．
7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac?解题的前提是二次项系数a≠0．
8．若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根．
9．一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． ◆例题解析
例1 若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．
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【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，?又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．
【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0． 利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．
当m=2时，原方程为3x=0，此时方程只有一个解，x=0． 当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=
1． 2 例2 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x2－1=0 （1） x2+x－2=0 （2） x2+2x－3=0 （3） x2+（n－1）x－n=0 （n）
（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【分析】由具体到一般进行探究．
【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1． <2>（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1． <3>（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1．
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．
【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．
例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，?他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解． 【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，
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有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0． ∴x1=－5（舍去） x2=2．
所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2． 所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元． 答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．
【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了． ◆强化训练 一、填空题
1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____． 2．方程（x－1）2=2的解是_______．
3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____． 4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－
5x+______=（x－_____）2． 25．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．
6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的
结果是______．
7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____． 8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．
9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．
10．如果a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a－5，那
么a的取值范围是______． 二、选择题
11．关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ） A．1 B．3 C．－3 D．±3
12．若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．0
13．关于x的一元二次方程x2－（k+1）x+k－2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
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14．已知关于x的方程x2－（2k－1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k?的最大整数值
是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1 15．方程mx2－4x+1=0的根（ ） A．
2?4?m2?4?m1 B． C． D．以上都不对
mm416．关于x的一元二次方程x2－3x+k=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k<
9999 B．k> C．k≤ D．k≥ 4444?x?2?ax?y?117．方程组?的解是?，那么方程x2+ax+b=0 （ ）
?y?3?x?by?8 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个根为2和3
18．若a，b是方程x2+2x－2019=0的两个不相等的实数根，则a2+3a+b的值是（ ） A．－2019 B．2019 C．2019 D．2019 三、解答题 19．解方程：
（1）x2－6x+9=（5－2x）2 （2）x2－4x+1=0
20．汽车产业的发展，?有效促进我国现代化建设，?某汽车销售公司2019年盈利1500万元，
到2019年盈利2160万元，且从2019年到2019年，?每年盈利的年增长率相同． （1）该公司2019年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2019年盈利多少万元？
21．如果方程ax2－bx－6=0与方程ax2+2bx－15=0有一个公共根是3，求a，b的值，?并求
方程的另一个根．
22．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内
墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
23．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：?“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利
40元．为了迎接“六一”国际儿童节，?商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，?如果每件童装每降价4元，那么平均每天就
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可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，?那么每件童装应降价多少元？
24．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，?请你根据图所示的信息，
帮小明计算今年5月份汽油的价格．
25．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，?某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、?乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，?用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，?加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，?同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
参考答案
1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．x1=1+2，x2=1－2 3．－3 4．9 3
255 5．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2） 7．p=±2 1648．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－1
11．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D 19．（1）x1=
8，x2=2 3 （2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0 ∴（x－2）2=3，x－2=±3 ∴x1=2+3，x2=2－3． 20．（1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意得1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去） ∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．
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答：2019年该公司盈利1800万元． （2）2160（1+0.2）=2592．
答：预计2019年该公司盈利2592万元．
21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5． 22．解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得 （x－2）·（2x－4）=288．
解这个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14． 所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2． 解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为 根据题意，得（
1xm． 21x－2）·（x－4）=288． 2 解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28． 所以x=28×
11x=×28=14． 22 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
23．设每件童装应降价x元，由题意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要尽快减少库存，故x?应取20．
24．设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x－1．8）元/升．?根据题意，得
150150－=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解这个方程，得x1=4.8，
x?1.8xx2=－3．经检验两根都为原方程的根，但x2=－3不符合实际意义，故舍去． 答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升．
25．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg． （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg． 由题意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．
整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）． （90－75）×1.6%+60%=84%．
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg． （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为75kg，?用油的重复利
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用率为84%．
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