－322
(2)ρ＝1＋?－3?＝2，tan θ＝＝－3.
15π
又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝.
3
?5π?因此点P的极坐标是?2，?.
3??
(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．
(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
3．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )
?π?A.?2，?
4???3π??5π?B.?2，? C.?2，?
4?4????7π?D.?2，?
4??
3π
解析：选B 点P(－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为.
44．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
?5π?(1)已知点A的极坐标?4，?，求它的直角坐标；
3??
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
5π
解：(1)∵x＝ρcos θ＝4cos＝2.
3
y＝ρsin θ＝4sin
5π
＝－23. 3
∴A点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x＋y＝2＋?－2?＝22， －2
tan θ＝＝－1.
2且点B位于第四象限内， 7π∴θ＝，
4
7π??∴点B的极坐标为?22，?. 4??又∵x＝0，y＜0，
2
2
2
2
16
3 π
∴ρ＝15，θ＝. 23π??∴点C的极坐标为?15，?. 2??
课时跟踪检测(二)
一、选择题
π?－π????π?，200π1．在极坐标平面内，点M?，N?，201π?)，G?－，－200π?，?
?3??3??3?
??H?2π＋，200π?中互相重合的两个点是( ) ?
?
A．M和N B．M和G C．M和H D．N和H
解析：选A 由极坐标的定义知，M，N表示同一个点． π??2．将点M的极坐标?10，?化成直角坐标是( ) 3??A．(5,53) B．(53，5) C．(5,5) D．(－5，－5)
ππ
解析：选A x＝ρcos θ＝10cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝53.
33
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称 D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
π
3
?π?5．点?2，?关于极点的对称点为________．
6???7?解析：如图，易知对称点为?2，π?.
?6?
17
?7?答案：?2，π? ?6?
?3π??π?6．在极坐标系中，已知A?1，?，B?2，?两点，则|AB|＝________.
4??4??
解析：|AB|＝答案：5
?3ππ?22
1＋2－23132cos?－?＝5.
4??4
?π??π?7．直线l过点A?3，?，B?3，?，则直线l与极轴的夹角等于________．
3?6???
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3， πππ
∠AOB＝－＝，
366ππ－
65π
所以∠OAB＝＝，
212π5ππ
所以∠ACO＝π－－＝.
3124π答案： 4三、解答题
π??8．在极轴上求与点A?42，?的距离为5的点M的坐标． 4??π??解：设M(r,0)，因为A?42，?， 4??所以 2
π22
?42?＋r－82rcos＝5，
4
即r－8r＋7＝0. 解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
18
解：(1)ρ＝?3?＋3＝23.tan θ＝又因为点在第一象限， π
所以θ＝.
3
π??所以点(3，3)的极坐标为?23，?. 3??
22
33
＝3.
(2)ρ＝?－1?＋?－1?＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限， 5π
所以θ＝.
4
22
?所以点(－1，－1)的极坐标为?2，
?
2
2
5π?
?. 4?
(3)ρ＝?－3?＋0＝3，画图可知极角为π， 所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
?π?10．已知定点P?4，?.
3??
π??(1)将极点移至O′?23，?处极轴方向不变，求P点的新坐标；
6??π
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
6
解：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，
如图所示，由题意可知|OO′|＝23，|OP|＝4，∠POx＝π
∴∠POO′＝. 6
π222
在△POO′中，ρ＝4＋(23)－2242232cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
6sin∠OPO′sin∠POO′又∵＝，
223
ππ
，∠O′Ox＝， 36
19