2π??∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝?ρcos?＝1 3??∴|OM|＝ρ＋z＝2＋（5）＝3. 在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
∴|MN|＝|PM|＋|PN|＝（5）＋1＝6. 答案 3 三、解答题
9．(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点M的直角坐标为(1，1，2)，求点M的柱坐标与球坐标．
解 由坐标变换公式，可得
6
2
2
2
2
2
2
2
2
yπ22
ρ＝x＋y＝2，tan θ＝＝1，θ＝
x4
(点(1，1)在平面xOy的第一象限)，
r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋（2）2＝2.
由rcos φ＝z＝2，得cos φ＝
2
r＝
2π
，φ＝. 24
π??∴点M的柱坐标为?2，，2?，
4??
?ππ?球坐标为?2，，?.
44??
10．将下列各点的柱坐标化为直角坐标．
????P?2，，1?，Q?4，π，－3? ?
?
?
?
x＝ρcos θ，??
解 直接代入互化公式?y＝ρsin θ，
??z＝z，
可得P的直角坐标为(3，1，1)，Q点的直角坐标为(－2，23，－3)． ρ＝1，??
11．在柱坐标系中，求满足?0≤θ<2π，的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
??0≤z≤2解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满 足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z) 的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆
π
623
13 柱，如图
所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2， ∴V＝Sh＝πrh＝2π(体积单位)．
2
第二讲 参数方程 第一节 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
一、选择题
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( A．(2，3)
B．(1，5)
C.???
0，π2???
D．(2，0)
解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0. ∴过点(2，0)． 答案 D
??x＝2＋2
2．将参数方程?sin θ，
?y＝sin2
θ(θ为参数)化为普通方程为 ( ?
A．y＝x－2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2 (2≤x≤3)
D．y＝x＋2 (0≤y≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3]，故选C. 答案 C
?3．曲线的参数方程是??
x＝1－1t，(t是参数，t≠0)，它的普通方程是 ( ??y＝1－t2
A．(x－1)2
(y－1)＝1 B．y＝
x（x－2）
（1－x）2 C．y＝1
（1－x）
2－1
D．y＝x1－x2 解析 由x＝1－1t，得1t＝1－x，由y＝1－t2，得t2
＝1－y.
1?2
∴(1－x)2
·(1－y)＝??x（x?t??
·t2
＝1.整理得y＝－2）（1－x）2.
答案 B
)． )．
)．
14
??x＝a＋t4．直线l的参数方程为?，(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，
?y＝b＋t?
b)之间的距离为
A．|t1|
D.
( )．
B．2|t1| C.2|t1|
2
|t1| 2
解析 点P1对应的点的坐标为(a＋t1，b＋t1)，
∴|PP1|＝（a＋t1－a）＋（b＋t1－b）＝2t1＝2|t1|. 答案 C 二、填空题
??x＝1＋cos θ，?3?5．曲线?经过点?，a?，则a＝________．
?2??y＝2sin θ?
2
2
2
1?3?解析 点?，a?代入曲线方程得cos θ＝，a＝2sin θ＝±2 2?2?答案 ±3
1
1－＝±3. 4
6．物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为________．
解析 设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)， 由于物体作平抛运动，
x＝v0t，??
依题意，得?12
y＝－gt.?2?
这就是物体所经路线的参数方程．
x＝v0t，??
答案 ?12(t为参数)
y＝－gt?2?
7．把圆x＋y＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．
解析 圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)＋(y－2)＝4， 圆心为(－1，2)，半径为2， 故参数方程为?
?x＝－1＋2cos θ，?
??y＝2＋2sin θ
2
2
2
2
2
2
(θ为参数)．
??x＝－1＋2cos θ
答案 ?(θ为参数)
?y＝2＋2sin θ?
15
??x＝sin θ＋cos θ，
8．将参数方程?化成普通方程为__________．
?y＝sin θcos θ?
解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x|≤2. 答案 x＝1＋2y (|x|≤2) 三、解答题
??x＝cos θ，
9．已知曲线C：?如果曲线
?y＝－1＋sin θ，?
2
C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的
取值范围．
??x＝cos θ
解 ∵?，
?y＝－1＋sin θ?
∴x＋(y＋1)＝1.
|0－1＋a|圆与直线有公共点，d＝≤1，
2解得1－2≤a≤1＋2.
π??2
10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ－42ρ·cos?θ－?＋6＝0.
4??(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
π??22
解 (1)由ρ－42ρcos?θ－?＋6＝0，得ρ－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
4??即x＋y－4x－4y＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x－2)＋(y－2)＝2， 令x－2＝2cos α，y－2＝2sin α， 得圆的参数方程为?(2)由上述可知
π??x＋y＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin?α＋?，
2
2
2
2
22
?x＝2＋2cos α，?y＝2＋2sin α
(α为参数)．
?4?
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
11．求圆x＋y＝9上一点P与定点(1，0)之间距离的最小值． 解 设P(3cos θ，3sin θ)，则P到定点(1，0)的距离为
2
2
d(θ)＝ （3cos θ－1）2＋（3sin θ－0）2
16