解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直 角坐标为(0，0)， ∴极点到直线的距离为d＝答案
2
|－2|1＋（－1）
2
2
＝2.
7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________．
解析 过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x＋y－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y－12＝0， 解得，y1＝3，y2＝－3，所以|AB|＝|y1－y2|＝23. 答案 23
8．极坐标方程5ρcos 2θ＋ρ－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________． 解析 原方程化为直角坐标系下的方程为－＝1，
46
∴c＝a＋b＝10，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(10，0)，(－10， 0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，π)． 答案 (10，0)，(10，π) 三、解答题
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
?π?9．(求直线的极坐标方程)求过点A?2，?，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．
6??
解 在直线l上任取一点M，如图：
?π?因为A?2，?，
6??
π
所以|OH|＝2cos ＝3.
6
在Rt△OMH中，|OH|＝ρcos θ＝3， 所以所求直线的方程为ρcos θ＝3. 10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化． (1)y＝4x；
(2)y＋x－2x－1＝0；
2θ
(3)ρcos ＝1；
2
2
2
2
(4)ρcos 2θ＝4；
2
9
1
(5)ρ＝. 2－cos θ
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝4x， 得(ρsin θ)＝4ρcos θ，化简得ρsin θ＝4cos θ. (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＋x－2x－1＝0， 得(ρsin θ)＋(ρcos θ)－2ρcos θ－1＝0， 化简得ρ－2ρcos θ－1＝0.
2θ
(3)∵ρcos ＝1，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴ρ
cos θ＋1
＝1， 2
即ρcos θ＋ρ＝2， ∴x＋x＋y＝2， 整理有y＝4－4x. (4)∵ρcos 2θ＝4， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝4. 化简得x－y＝4. 1
(5)∵ρ＝，
2－cos θ
∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x＋y－x， 整理得3x＋4y－2x－1＝0.
2
2
222
2
2
2
2
222
2
?π?11．(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为A?8，?，半径为5的圆的极坐标方
3??
程．
解 在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中， |OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝
π?π?－θ或?θ－?.
3?3?
2
2
2
?π?8＋ρ－5，
由余弦定理得cos?－θ?＝
?3?2×8·ρ
π??2
即ρ－16ρcos?θ－?＋39＝0为所求圆的极坐标方程．
3??
第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）
一、选择题
πππ????1．已知点P的柱坐标为?2，，5?，点B的球坐标为?6，，?，则这两个点在空间
436????
10
直角坐标系中的点的坐标为 ( )．
A．P点(5，1，1)，B点?
?36?4
，32
6?4，2??
B．P点(1，1，5)，B点??36?4
，32
6?4，2??
C．P点??3632
6??4
，4，2??，B点(1，1，5)
D．P点(1，1，5)，B点??63632?
?2，4，4??
解析 设P点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝2·cos π
＝2·
22＝1，y＝2·sin π
44
＝1，z＝5. 设B点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝6·sin π·cos π＝6·332·362＝364， y＝6·sin π·sin π＝31323
6
6·2·2＝4
， z＝6·cos π
＝6·1＝63
2
2
. 所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为??366??4
，32
4，2??.
答案 B
2．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是 ( )．A.??π?2，3，3???
B.??2π?2，3，3???
C.???2，4π3，3???
D.???2，5π3，3???
解析 ∵ρ＝ （－1）2＋（－3）2
＝2，θ＝43
π，z＝3.
∴M的柱坐标为???2，43π，3???
. 答案 C
3．设点M的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为
( )．
A.??ππ?
2，4，4???
B.???
2，π4，5π4???
C.??5π?
2，4，π4???
D.???
2，3ππ4，4??? 解析 由变换公式r＝x2
＋y2
＋z2
＝2，cos φ＝z＝2r2
， ∴φ＝π
4
.
11
y5?π5?∵tan θ＝＝1，∴θ＝π.∴M的球坐标为?2，，π?.
44?x4?
答案 B
?π5?4．点M的球坐标为?8，，π?，则它的直角坐标为
36??
A．(－6，23，4) C．(－6，－23，4)
B．(6，23，4) D．(－6，23，－4)
( )．
π5ππ5ππ
解析 由x＝8sin cos ＝－6，y＝8sin sin ＝23，z＝8cos ＝4，
36363得点M的直角坐标为(－6，23，4)． 答案 A 二、填空题
?π5?5．点M的球坐标为?4，，π?，则M的直角坐标为____________． 23??
π5
解析 x＝rsin φcos θ＝4×sin ×cos π＝2，
23
y＝rsin φsin θ＝4×sin ×sin π＝－23， z＝rcos φ＝4×cos ＝0，∴M(2，－23，0)．
答案 (2，－23，0)
π
2
π253
?π?6．设点M的柱坐标为?2，，7?，则它的直角坐标为______．
6??
答案 (3，1，7)
7．在球坐标系中，方程r＝1表示______________________，方程φ＝________________________．
π
答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥
2面
π
表示空间的4
?2π?且点M在数轴Oy上的射影为N，
8．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为?2，，5?，则|OM|
3??
＝________，|MN|＝________．
解析 设点M在平面Oxy上的射影为P，连结PN， 则PN为线段MN在平面Oxy上的射影． ∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy， ∴PN⊥直线Oy.
12