人教版高中数学选修4-4同步练习及答案 下载本文

4??5??4??C.?-2,π?,?-2,π?,?2,-π? 3??3??3??

π??D.?-2,-? 3??答案 D

π?π?4.已知点M的极坐标是?-2,-?,它关于直线θ=的对称点坐标是 ( ).

6?2?

?11π?

A.?2,

6???

7π??B.?-2,?

6??

11π??D.?-2,- 6???

π??C.?2,-?

6??

解析 当ρ<0时,我们找它的极角应按反向延长 π?π?线上去找.描点?-2,-?时,先找到角-的

6?6?终边.又因为ρ=-2<0,所以再沿反向延长线上 π??找到离极点2个单位的点即是点?-2,-?.

6??ππ

直线θ=,就是由极角为的那些点的集合.

22

π?π??π?故M?-2,-?关于直线θ=的对称点为M′?2,?,但是选择支没有这 6?6?2??样的坐标.

7π??π??又因为M′?2,?的坐标还可以写成M′?-2,?,故选B. 6?6???答案 B 二、填空题

?3??π?5.在极坐标系中,已知点A?1,π?,B?2,?,则A、B两点间的距离为________.

4??4??

解析 利用极坐标系中两点间距离公式. 答案

5

6.已知点M的直角坐标为(-3,-33),若ρ>0,0≤θ<2π,则点M的极坐标是________.

?4?答案 ?6,π?

?3?

?π?7.在极坐标系中,已知点P?3,?,则点P在-2π≤θ<2π,ρ∈R时的另外三种极坐标

3??

形式为__________.

5??4??2??答案 ?3,-π?,?-3,π?,?-3,-π?

333

??????

5

?π?8.(极坐标意义的考查)极坐标系中,点A的极坐标是?3,?,则

6??

(1)点A关于极轴对称的点是________; (2)点A关于极点对称的点的极坐标是________;

π

(3)点A关于直线θ=的对称点的极坐标是________.(规定ρ>0,θ∈[0,2

2π))

解析 如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角 的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得 到的.

?11π? (2)?3,7π? (3)?3,5π?

答案 (1)?3,??6?6?6???????

三、解答题

π??9.(1)把点M的极坐标?-5,?化成直角坐标;

6??(2)把点N的直角坐标(-3,-1)化成极坐标. π5π5

解 (1)x=-5cos =-3,y=-5sin =-.

62625??5

∴点M的直角坐标是?-3,-?.

2??2

-1322

(2)ρ=(-3)+(-1)=2,tan θ==. -337

又∵点N在第三象限,ρ>0.∴最小正角θ=π.

6

?7?故点N的极坐标是?2,π?. ?6?

?π??5π?10.(极坐标的应用)已知A、B两点的极坐标分别是?2,?,?4,?,求A、B两点间的

3??6??

距离和△AOB的面积.

解 求两点间的距离可用如下公式: |AB|=

?5ππ?4+16-2×2×4×cos?-?=20=25.

3??6

6

????S△AOB=|ρ1ρ2sin(θ1-θ2)|=?2×4×sin?-??=×2×4=4.

3??222??6

11.已知点Q(ρ,θ),分别按下列条件求出点P的极坐标. (1)点P是点Q关于极点O的对称点; π

(2)点P是点Q关于直线θ=的对称点.

2

解 (1)由于P、Q关于极点对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,极角相差(2k+

1)π(k∈Z).所以,点P的极坐标为(ρ,(2k+1)π+θ)或(-ρ,2kπ+θ)(k∈Z). π

(2)由P、Q关于直线θ=对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,点P的极角θ′

2满足θ′=π-θ+2kπ(k∈Z),

所以点P的坐标为(ρ,(2k+1)π-θ)或(-ρ,2kπ-θ)(k∈Z).

115ππ1

第三节 简单曲线的极系坐标方程

一、选择题

1.已知点P的极坐标为(1,π),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

( ).

A.ρ=1 B.ρ=cos θ 1

D.ρ=

cos θ

1

C.ρ=- cos θ

解析 如图所示,设M为直线上任一点,设M(ρ,θ). 在△OPM中,OP=OM·cos∠POM, ∴1=ρ·cos(π-θ),即ρ=-答案 C

2.在极坐标系中,圆心在(2,π)且过极点的圆的方程为 A.ρ=22cos θ C.ρ=22sin θ

B.ρ=-22cos θ D.ρ=-22sin θ

( ).

1

. cos θ

解析 如图所示,P(2,π),在圆上任找一点

M(ρ,θ),延长OP与圆交于点Q,则∠OMQ=90°,

在Rt△OMQ中,OM=OQ·cos∠QOM

∴ρ=22cos(π-θ),即ρ=-22cos θ. 答案 B

7

π??3.极坐标方程ρ=2sin?θ+?的图形是 4??

( ).

π?ππ?解析 ∵ρ=2sin?θ+?=2sin θ·cos +2cos θ·sin 4?44?=2(sin θ+cos θ), ∴ρ=2ρsin θ+2ρcos θ, ∴x+y=2x+2y, 2?2?2?2?

∴?x-?+?y-?=1,

2??2??

∴圆心的坐标为?

2??2

,?. 2??2

2

22

结合四个图形,可知选C. 答案 C

4.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 A.x+(y+2)=4 C.(x-2)+y=4

2

2

2

2

2

2

( ).

B.x+(y-2)=4 D.(x+2)+y=4

2

2

2

解析 由已知得ρ=4ρsin θ, ∴x+y=4y,∴x+(y-2)=4. 答案 B 二、填空题

5.两曲线ρsin θ=2和ρ=4sin θ(ρ>0,0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________. π??3??答案 ?22,?,?22,π?

44

2

2

2

2

????

6.极点到直线ρ(cos θ-sin θ)=2的距离为________.

8