4??5??4??C.?－2，π?，?－2，π?，?2，－π? 3??3??3??
π??D.?－2，－? 3??答案 D
π?π?4．已知点M的极坐标是?－2，－?，它关于直线θ＝的对称点坐标是 ( )．
6?2?
?11π?
A.?2，
6???
7π??B.?－2，?
6??
11π??D.?－2，－ 6???
π??C.?2，－?
6??
解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长 π?π?线上去找．描点?－2，－?时，先找到角－的
6?6?终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上 π??找到离极点2个单位的点即是点?－2，－?.
6??ππ
直线θ＝，就是由极角为的那些点的集合．
22
π?π??π?故M?－2，－?关于直线θ＝的对称点为M′?2，?，但是选择支没有这 6?6?2??样的坐标．
7π??π??又因为M′?2，?的坐标还可以写成M′?－2，?，故选B. 6?6???答案 B 二、填空题
?3??π?5．在极坐标系中，已知点A?1，π?，B?2，?，则A、B两点间的距离为________．
4??4??
解析 利用极坐标系中两点间距离公式． 答案
5
6．已知点M的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M的极坐标是________．
?4?答案 ?6，π?
?3?
?π?7．在极坐标系中，已知点P?3，?，则点P在－2π≤θ<2π，ρ∈R时的另外三种极坐标
3??
形式为__________．
5??4??2??答案 ?3，－π?，?－3，π?，?－3，－π?
333
??????
5
?π?8．(极坐标意义的考查)极坐标系中，点A的极坐标是?3，?，则
6??
(1)点A关于极轴对称的点是________； (2)点A关于极点对称的点的极坐标是________；
π
(3)点A关于直线θ＝的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2
2π))
解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角 的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得 到的．
?11π? (2)?3，7π? (3)?3，5π?
答案 (1)?3，??6?6?6???????
三、解答题
π??9．(1)把点M的极坐标?－5，?化成直角坐标；
6??(2)把点N的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． π5π5
解 (1)x＝－5cos ＝－3，y＝－5sin ＝－.
62625??5
∴点M的直角坐标是?－3，－?.
2??2
－1322
(2)ρ＝（－3）＋（－1）＝2，tan θ＝＝. －337
又∵点N在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝π.
6
?7?故点N的极坐标是?2，π?. ?6?
?π??5π?10．(极坐标的应用)已知A、B两点的极坐标分别是?2，?，?4，?，求A、B两点间的
3??6??
距离和△AOB的面积．
解 求两点间的距离可用如下公式： |AB|＝
?5ππ?4＋16－2×2×4×cos?－?＝20＝25.
3??6
6
????S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝?2×4×sin?－??＝×2×4＝4.
3??222??6
11．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标． (1)点P是点Q关于极点O的对称点； π
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
2
解 (1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋
1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)． π
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′
2满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
115ππ1
第三节 简单曲线的极系坐标方程
一、选择题
1．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
( )．
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ 1
D．ρ＝
cos θ
1
C．ρ＝－ cos θ
解析 如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)． 在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM， ∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－答案 C
2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为 A．ρ＝22cos θ C．ρ＝22sin θ
B．ρ＝－22cos θ D．ρ＝－22sin θ
( )．
1
. cos θ
解析 如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点
M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°，
在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM
∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cos θ. 答案 B
7
π??3．极坐标方程ρ＝2sin?θ＋?的图形是 4??
( )．
π?ππ?解析 ∵ρ＝2sin?θ＋?＝2sin θ·cos ＋2cos θ·sin 4?44?＝2(sin θ＋cos θ)， ∴ρ＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x＋y＝2x＋2y， 2?2?2?2?
∴?x－?＋?y－?＝1，
2??2??
∴圆心的坐标为?
2??2
，?. 2??2
2
22
结合四个图形，可知选C. 答案 C
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 A．x＋(y＋2)＝4 C．(x－2)＋y＝4
2
2
2
2
2
2
( )．
B．x＋(y－2)＝4 D．(x＋2)＋y＝4
2
2
2
解析 由已知得ρ＝4ρsin θ， ∴x＋y＝4y，∴x＋(y－2)＝4. 答案 B 二、填空题
5．两曲线ρsin θ＝2和ρ＝4sin θ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________． π??3??答案 ?22，?，?22，π?
44
2
2
2
2
????
6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________．
8