第一讲 坐标系 第一节 平面直角坐标系
一、选择题
1．已知?ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D的坐标是
( )．
A．(9，－1) C．(1，3)
B．(－3，1) D．(2，2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D(x，
y)，
??kAB＝kDC则???kAD＝kBC2－0y－1
＝，??，?－1－3x－5?x＝1，
即?∴?，故D(1，3)．
?，2－y0－1y＝3.?
＝.??－1－x3－5
答案 C
π??2．把函数y＝sin 2x的图象变成y＝sin?2x＋?的图象的变换是
3??π
A．向左平移
6π
C．向左平移
3
π
B．向右平移
6
( )．
π
D．向右平移
3
?π??x′＝x＋λ，?x′＋解析 设y′＝sin2? ?，变换公式为?
6????y′＝μy，
π?π???将其代入y′＝sin2?x′＋?，得μy＝sin2?x＋λ＋?， 6?6???
π??x′＝x－，π6∴μ＝1，λ＝－，∴?
6
??y′＝y.
π??x′＝x－，π??6，故由函数y＝sin 2x的图象得到y＝sin?2x＋?的图象所作的变换为?3????y′＝yπ
是向左平移个单位．
6答案 A
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?
＝1，则曲线C的方程为
?x′＝5x，?
??y′＝3y后，曲线C变为曲线x′＋4y′
( )．
22
1
A．25x＋36y＝1 C．10x＋24y＝1
?x′＝5x，?
??y′＝3y22
D.
B．9x＋100y＝1 2282
x＋y＝1 259
2
2
2
22
解析 将?答案 A
代入x′＋4y′＝1，得25x＋36y＝1，为所求曲线C的方程．
2
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )．
x＝2x′??
A.?1
y＝y′??3
??x＝2x′C.? ?y＝3y′?
x′＝2x??
B.?1
y′＝y?3?
??x′＝2xD.? ?y′＝3y?
??x′＝λx解析 设? 代入第二个方程y′＝sin x′得uy＝sin λ
?y′＝uy?
x，即y＝sin λ u1
1??u＝
x，比较系数可得?3.
??λ＝2答案 B 二、填空题
5．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为____________________________． 解析 ∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4， 即有|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点轨迹为椭圆除去长轴两项两点， 且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b＝5. ∴A点的轨迹方程为＋＝1 (y≠0)． 95答案
2
x2y2
x2y2
9
＋＝1 (y≠0) 5
2
2
??x′＝2x，
6．在平面直角坐标系中，方程x＋y＝1所对应的图形经过伸缩变换?后的图形所
?y′＝3y?
对应的方程是____________．
2
解析 代入公式，比较可得答案
x′2y′2
4＋9
＝1.
x′2y′2
4＋9
＝1
?x′＝3x，???y′＝y7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?
＝9，则曲线C的方程是__________． 答案 x＋y＝1
2
2
后，曲线C变为曲线x′＋9y′
22
8．在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin 3x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是____________________________．
x′＝3x??
答案 ?1
y′＝y?2?
三、解答题
9．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．
解 (代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)， ∵|AB|＝6，∴a＋b＝36.
2
2
①
M分AB的比为.
→
1
2
?x＝2
＝a，3
?1＋13?2?a＝x，∴?? ?2 1?0＋b?b＝3y.21
?y＝1＝3b.?1＋2
a＋×0
将②式代入①式，化简为＋＝1.
164
12
②
x2y2
??x′＝3x，
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：?后，曲线
?y′＝y?
C变为曲线x′2－
9y′＝9，求曲线C的方程．
解 直接代入得曲线C的方程为x－y＝1.
11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y＝tan x得到曲线y＝3tan 2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．
3
2
2
2
1
解 y＝tan x的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝tan
22x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan 2x. 设y′＝3tan 2x′，变换公式为?
?x′＝λ???y′＝μ
x，λ>0y，μ>0
.
μ＝3??
将其代入y′＝3tan 2x′得?1，
λ＝?2?
1??x′＝x2. ∴???y′＝3y第二节 极坐标系
一、选择题
1．点P的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为
( )．
?π?A.?2，?
4??
?5π?C.?2，? 4??
?3π?B.?2，?
4??
?7π?D.?2，? 4??
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式． 答案 B
π??π??2．已知A，B的极坐标分别是?3，?和?－3，?，则A和B之间的距离等于
4??12??
( )．
A.
32＋6
2
B.
32－6
2D.
36－32
2
36＋32C. 2
解析 极坐标系中两点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)的距离|AB|＝ ρ1＋ρ2－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）. 答案 C
2??3．在极坐标系中，已知点P?2，π?，若P的极角满足－π<θ<π，ρ∈R，则下列点中3??与点P重合的是
( )．
2
2
π??4??5??A.?2，?，?2，π?，?－2，π?
3??3??3??
8??4??5??B.?2，π?，?2，π?，?－2，π? 3??3??3??
4