大学物理习题册（A）

集美大学物理教研室 编 2009．1

班级___ 姓名__ _ 学号

第1-1 运动学（一） 一．填空题：

1．已知质点的运动方程：x?2t,y?2?t2 (SI制)，则 ⑴ t = 1 s时质点的位置矢量

???????2i?j，速度2i?2j，加速度?2j；⑵ 第1 s末到第2 s秒末质点的位移2i?3j。 ?????2．一质点具有恒定加速度a?6i?4j，在t?0时。其速度为零，位置矢量r0?10i。

则：⑴任意时刻的速度矢量6ti?4tj；⑵ 质点的轨迹方程3y?2x?20。

??二．选择题：

3．以下说法错误的是：( A D ) (A)质点运动的速率v?dr dtds dt(B)质点运动的速率v?dr dt (C)质点运动的速率v?(D)质点运动的加速度大小a?dv dt三．计算题：

4．一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向西北走

18 m，求：⑴ 合位移的大小和方向；⑵ 求每一段位移中的平均速度。 解：每份位移叠加！

????r?(30?92)i?(92?10)j (1)由图：

?? r18m?15s?30m?25s?10m?10s??22 ?r?(30?92)?(92?10)?17.5m

tg??92?1030?92?0.1580??8.976

??(2) v1?30i25?1.2im/s v2??10j10??jm/s v3??????????1822?1822?i?j??0.62i?0.62jm/s 1515 1

5．一质点沿OY轴直线运动，它在t时刻的坐标是：y?4.5t?2t(SI制)，求： ⑴ t=1~2秒内质点的位移和平均速度；⑵ t=1秒末和2秒末的瞬时速度；⑶ 第2秒内质点所通过的路程；⑷ 第2秒内质点的平均加速度以及t=1秒和2秒的瞬时加速度。 5. 解 (1) y=4.5t2 －3t

当t=1s时 y1=2.5 (m) 当t=2s时 y2=2 (m)

３

23∴△y=y2－y1=－0.5 (m) v? (2) v??y??0.5(m/s) ?tdy?9t?6t2 ∴v1=3 (m/s) v2=－6 (m/s) dt2(3) 先判断v?9t?6t=0，得t?1.5s S = S1－1.5 +S1.5－2=0.875+1.375=2.25 (m) (4) a?v2?v1??9(m/s2) ?ta?dv?9?12t dta1??3m/s2 a2??15m/s2

6．如图河中有一小船，人在离河面一定高度h的岸上通过绳子以匀速度v0拉船靠岸，求当船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度．

解: 假设船头到滑轮的绳长为r，则v0=dr/dt, 由图几何关系：x?v0h?r2?h2船的速度大小为

h2?x2vv0?0

cos?xdxv??dtdr??22r?hdtr方向：向岸靠近。

dv?d?r???船的加速度大小a??22dt??dr?r?h方向：指向岸边,向岸加速。

2??drh2v0?v0??3 ?x?dt??

2

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第1-2 运动学（二） 一．填空题：

1．一质点沿x轴运动，其加速度为a?4t(SI制)，当t=0时，物体静止于x=10 m处，则2 3t时刻质点的速度 2t，位置 10?2t3。

2．已知质点作直线运动的加速度为a??kx，x?0时初速度为vo，则其速度与位置坐标x的关系为v2?v0?kx2。

2二．选择题：

3．下面叙述中哪一种正确： ( B ) (A) 速度为零，加速度一定为零；

(B) 当速度和加速度方向一致，但加速度量值减小时，速度的值一定增加； (C) 速度很大，加速度也一定很大；

4．以初速度v0，仰角?抛出小球，当小球运动到最高点时，其轨道曲率半径为(不计空气阻力)：( D )

2/g (A)v0

2/(2g) (B)v02sin2?/g (C)v0

2cos2?/g (D)v0三．计算题：

12bt运动，v0，b都是常数，求： 2⑴ 任意时刻t的加速度；⑵ t为何值时加速度的大小等于b；

5．质点沿半径为R的圆周按规律s?v0t?⑶ 加速度的大小等于b时质点沿圆周运行了多少圈。 解: (1) v?ds?v0?bt， dt2?dv?v2??(v0?bt)?a?et?en??bet?en

dtRR(2) 由a?1vR2b2?(v0?bt)4?b求得t?0b， R2vs?0 (3) 运行圈数n?2?R4?Rb 3

6．质点在Oxy平面内运动，其运动方程为r?2ti?(19?2t)j（SI制）。求：⑴ 质点的轨迹方程；⑵ 在t1?1.00s到t2?2.00s时间内的平均速度；⑶ t1?1.00s时的速度及切向和法向加速度。

解 (1) 由运动方程得：质点在x轴和y轴上得参数方程x?2t，y?19?2t 所以质点得轨迹方程为：y?19?2212x 2?????? (2) t1?1.00s时, r1?2i?17j； t2?2.00s时, r2?4i?11j

?????r??r2?r1??2i?6j ?v??tt2?t1??????dr (3) 在t1?1.00s时,质点速度v??2i?4tj?2i?4j

dt2???dr222??4j 质点速率v?vx?vy?21?4t，质点的加速度a?dt2 质点的切向加速度at????dv?8t8?et?et?et?3.58et dt51?4t2?a2?at2en?61?9t2??en?1.79en

质点的法向加速度an??7．一架飞机在静止空气中的速率为v1?135km?h?1。在刮风天气，飞机以速率

v2?135km?h?1向北飞行，机头指向北偏东300。请协助飞行员判断风向和风速。

解：飞机为研究对象，v2为绝对速度，v1为相对速度， 风速v3为牵连速度 v2?v1?v3，得v3? ?????v1?v2?2v2v1cos300?70km?h?1

221(1800?300)?750 即风向为东偏北150。 2

4

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第2-1 牛顿定律 一．填空题：

1．假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态，一昼夜的时间有多长

1.4h 。

2．火车在平直轨道上以匀加速度a0向前行驶，在车厢顶部用线悬挂着一小球，悬线与垂直线成?角静止。则?=arctg

a0。 g二．选择题：

3．在mA＞? mB的条件下，可算出mB向右运动的加速度a，如取去mA而代之以拉力T=mA g，算出的加速度为a '，则有：( C ) (A) a > a ' (B) a = a ' (C) a < a '

4．在空气中，上抛一质量为 m的小球，已知小球所受阻力为R??kv，v 为速度。设竖直向上为y轴正向，则小球上升段和下降段的运动微分方程分别为（ A ）和（ A ）。

mAT=mAg mB mBd2ydy(A) m2??mg?k

dtdtd2ydy(C) ?m2??mg?k

dtdt

d2ydy(B) m2??mg?k

dtdtd2ydy(D) m2??mg?k

dtdt

5

三．计算题：

5．图示一斜面，倾角为?，底边AB长为l，质量为m的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦系数为?。试求：⑴ 下滑时间随?变m 化的函数。⑵ 当?为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？

解：如图沿斜面建立坐标轴OX轴,作受力图, 由牛顿第二定律列分量方程: A ? B

mgsin???mgcos??ma……①

又因为物体在斜面上作初速度为0的匀变速直线运动, ?lcos??12at2……② 由①②联立解得: t?2lgcos??sin???cos??……③

当dtd??0时，t取最小值， ?dtd???sin??sin???co?s??co?s?co?s??sin???0，得??12arctg(?1?)

6．工地上有吊车，将甲，乙两块混凝土预制板吊起送到高空。甲块质量为

m1?2.0?102kg，乙块质量为m2?1.0?102kg。设吊车，框架，钢丝绳质量不计。试求

下列两种情况下，钢丝绳所受的张力及乙块对甲块的作用力：⑴ 两物体以10.0m?s?2的加速度上升；⑵ 两物体以1.0m?s?2的加速度上升。从本题的结果，你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？

解 取竖直向上为OY轴正方向，将甲乙混凝土作为整体进行受力分析， 根据牛顿第二定律 F??m1?m2?g??m1?m?a……① 取乙混凝土进行隔离分析 FN2?m2g?m2a……② 由①②式联立解得

F??m1?m2??g?a? FN2?m2?g?a? ∴ （1）当a?10m?s?2时，

绳所受张力 F?5.94?103N

6

?2??FN2??1.98?103N 乙对甲的作用力 FN （2）当a?1m?s?2时，

3 绳所受张力 F?3.24?10N

?2??FN2??1.08?103N 乙对甲的作用力 FN班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第２-２ 牛顿定律应用

1．一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱体可沿绳滑动。今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，圆柱体相对于绳子以匀加速度a'下滑。求：m1、m2相对地面的加速度，绳子的张力，柱体与绳子的摩擦力。(绳的质量、滑轮的质量以及滑轮转动摩擦都不计) 解 受力如图 对m1,有：m1g?T1?m1a1对m2有：f?m2g?m2?a1?a'? f?T1③

②

①

a' a1 m1 m1g m2 a1?a'? m2g ?①+②并用③可得：(m1?m2)g?(m1?m2)a1?m2a'

?a1?(m1?m2)g?m2a'(m?m2)g?m1a'，?a2?a1?a'?1

m1?m2m1?m2' 再由①,有T?f?m1(g?a1)?m1m2(2g?a)(m1?m2)

2．质量为M的均质绳子，长度为l0，一端栓在转轴上，并以恒定角速度?在水平面上旋转。设转动中绳子始终伸直，忽略重力与空气阻力，求距转轴为r处绳中的张力。 解：转动时绳子各段转速不同，张力也不同，取dm?Mdr的质元作圆周运动 l0 有T(r)?T(r?dr)?(MMdr)r?2 即dT???2rdr l0l0M?22 而绳末端为自由端r?l0时，有T?0 积分得T(r)?(l0?r2)

l0 3．光滑水平面上平放着半径为R的固定环，环内的一物体以速率v0开始沿环内侧逆时针方向运动，物体与环内侧的摩擦系数为? ，求：⑴ 物体任一时刻t的速率v；⑵ 物体从开始运动经t秒所经历的路程S。

水平面：7

O?f?N?vor解 （1）受力如图:有?fr?mdvdt(减速!)

?v2?N?mR??f??*N?r2vdvtv? ????dv???v0v2?0RdtRdt故v?v0R(R?v0?t)ds (2) ?vdt?s??ds??vdt??03tt0v0Rv?tRdt?ln(1?0)

R?v0?t?R?14．轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0?10kg。飞机以55.0m?s速率在水平跑道上着陆

后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数??5.0?10N?S求：⑴ 10秒后飞机的速率；⑵ 飞机着陆后10秒内滑行的距离。

解：（1）在水平面上飞机仅受阻力作用，以飞机滑行方向为正方向， 由牛顿第二定律得：

2?1dv???t dtvt?t?2 ∴ ?dv???dt 可得：v?v0?t

v00m2m F?ma?m ∴ 当t?10s时，v?30.0m?s （2）又∵ v?r?1dr dt ∴

tt??2?dr?vdt?v?dt ??0?0?0?02mt?? ∴s?r?r0?v0t??3t?467m 6m5．自地球表面垂直上抛一物体，要使它不返回地面，其初速度最小值是多少？（略去空气阻力作用）。

解：由于物体是竖直上抛，所以物体所受引力与上抛物体的力大小相等，方向相反， 取竖直向上为正方向则，即 ?F引＝F?ma ∴ ?GmmEdv?m

dtr2 8

vhmEvdvmEdr 又∵v?， ∴ ?G2???vdv???G2dr

v0Rdrdtrr2 v2?v0?2??GmEGmE??? h??R 由题得v?0，此时h?? ∴ 上式可化简为 v0?2GmE=2gR R6?11 由R?6.37?10m,G?6.67?103?1 v0?11.2?10m?s

N?m2?kg?2,mE?5.98?1024kg得：

第二宇宙速度！

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第3-1 动量定理 一．填空题：

1．物体所受到一维的冲力F，其与时间的关系如图所示，则该曲线与横坐标t所围成的面积表示物体在?t = t2 - t1时间所受的 冲量的大小。

Ot1t2tF2．质量为m的物体以初速度v0，倾角? 斜向抛出，不计空气阻力，抛出点与落地点在同一水平面，则整个过程中，物体所受重力的冲量大小为2mv0?sin?，方向为竖直向下。 3．设有三个质量完全相同的物体，在某时刻t它们的速度分别为v1 , v2 , v3，并且

?????1??2??3，v1与v2方向相反，v3与v1相垂直，设它们的质量全为m，则该时刻三物体

组成的系统的总动量为mv3。

4．质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动方程为r?acos(?t)i?bsin(?t)j，请问从 t?0到t??????这段时间内质点所受到的冲量是?2mb?j。 ?5．高空作业时系安全带是非常必要的，假如一质量为51.0kg的人，在操作过程中不慎从空竖直跌落下来。由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为

2.0m。安全带弹性缓冲作用时间为0.5s，求安全带对人的平均冲力1.14?103N。 二．计算题：

9

6．一个质量m=0.14 kg的垒球沿水平方向以v1=50 m/s的速率投来，经棒打出后，沿仰角α＝45?的方向向回飞出，速率变为v2=80 m/s。求棒给球的冲量大小和方向；如果球与棒接触时间?t=0.02 s，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重力的几倍？ 解 设垒球飞来之正方向为x轴正方向，则棒对球冲量大小为： ??22I?mv2?mv1?mv1?v2?2v1v2cos??16.9(N/S)

方向由?角给出:mv2sin???180??avctg?152?2'mv1?mv2cos?I?845(N)?t此力为垒球本身重的F/(mg)?616(倍)棒对球平均冲力F?

mv2 ? ?(mv) ?mv1 ?

4?105t7．一个子弹在枪膛中前进时所受的合外力的大小为F?400?，子弹从枪口射出

3时的速率为300m·s-1。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：⑴ 子弹走完枪膛所需的时间；⑵ 子弹在枪膛中所受力的冲量；⑶ 子弹的质量。

4?105t3?400?0，得 t?解:（1）当F?0时 400??0.003s 34?105 （2） I?Fdt???0.0030?4?105?4?105t2t?dt?400t??400?32?3??0.003?0.6N?s

0 （3）I?mv?0， m?

I0.6?kg?0.002kg?2g v300*8．如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5 m处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm = 40 kg·s-1，A以v ＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）

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解：煤粉落在A之前的瞬时速率为v0?2gh， 设煤粉落在A上的作用时间为dt，则在竖直方向的力的大小 满足动量定理：

F?dt?v0qmdt，即F??v0qm

在水平方向的力的大小满足动量定理：

Fdt?vqmdt

h A ?v 即：F?vqm

煤粉对A的作用力的大小为

F?F?2?F2?qmv02?v2?qm2gh?v2?148.6N

tan??2ghF???1.57 Fv 方向为左向下，与水平方向的夹角为arctan1.57

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第3-2 动能定理 势能

一．填空题：

1．一个质点在几个力同时作用下的位移为?r?4i?5j?6k（SI），其中一个恒力可表达成F??3i?5j?9k（SI），这个力在该过程中作功为 67J 。

2．已知地球质量为M，半径为R，一质量为m的火箭从地面上升到距地面高度为2R处，在此过程中，地球引力对火箭作的功为?????2GMm。 3R3．一颗速率为700 m/s的子弹，打穿一块木板后，速率降到500 m/s。如果让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全相同的第二块木板，则子弹的速率将降到 100 m/s 。 4．质量、动量、冲量、动能、势能、功，这些物理量中与参考系选取有关的物理量是 动量、动能、功 。（不考虑相对论效应） 5．保守力做功的特点是 保守力做功与路径无关，只与始末位置有关 ；保守力的功与势能的关系式为 保守力做功等于势能变化的负值 。

二．选择题：

6．一质点在几个外力同时作用下运动时,下述哪种说法正确？ （ C ）

11

(A)质点的动量改变时，其动能一定改变。 (C)外力的冲量是零时，其功一定是零。

(B)质点的动能不变时，其动量也一定不变。 (D)外力的功是零时，其冲量一定是零。

7．质量为m的质点在外力作用下，其运动方程为r?Acos?ti?Bsin?tj，式中A、B、? 都是正的常量。由此可知外力在t = 0到t=? / (2?)这段时间内所作的功为（ C ）

???1(A)m?2(A2?B2) (B)m?2(A2?B2)

2

(D)1m?2(B2?A2)

2 (C)

1m?2(A2?B2)2三．计算题：

8．一个质量为m?2kg的质点，在外力作用下，运动方程为：x = 5 + t，y = 5t-t，求力在t = 0到t = 2秒内作的功。 解 由运动方程知 vx? 2

2

dxdy22?vy ?2t，vy??5?2t ∴v?vxdtdt?1?1 当t=0s时，v1?5m?s 当t=2s时，v2?17m?s

根据动能定理 W?1212mv2?mv1??8J 229．用铁锤把钉子敲入墙面木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板1.00?10m。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？试问木板对钉子的阻力是保守力？ 解：由动能定理，有：0?s1121mv0???kxdx??ks12

022?2设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有

s1??s11?1?2?kxdx???k(s1??s)2?ks12? 0?mv0??s122?2?22得：(s1??s)?2s1 化简后为：s1??s?2s1

第二次能敲入的深度为：?s?2s1?s1?(2?1)?1cm?0.41cm 易知：木板对钉子的阻力是保守力

10．某弹簧不遵守胡克定律，力F与伸长x的关系为F＝52.8x＋38.4x2（SI），求： ⑴ 将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功。⑵ 将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率。

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⑶此弹簧的弹力是保守力吗？ 解：（1）W??x2x1Fdx??x2x1?52.8x?38.4x?dx?31J

2 （2）由动能定理可知W?2W1211?5.35m/s mv?mv02?mv2，即v?m222 （3）很显然，力F做功与路径无关，此弹簧的弹力是保守力。

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第3-3 守恒定律

一．填空题：

1．一维保守力的势能曲线如图所示，则总能E为12 J的粒子的运动范围为

12 10 5 2 4 6 8 10 EP (J) ???,10?mx (m) 0 ；在x＝ 6m -4 -2 -6 时，粒子的动能EK最大；在x ＝ 10m 时，粒子的动能EK最小。

2．如图的系统，物体A，B置于光滑的桌面上，物体A和C，B和D之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿

C A D B C A D B 水平方向相向推压A和B，使弹簧压缩，后拆除外力，则A和B弹开过程中，对 A、B、C、D 组成的系统动量守恒，机械能守恒吗？ 动量守恒，机械能不一定守恒 3．如图所示，有两个高度相同、质量相同、倾角不同的光滑斜面，放在光滑水平面上。在两个斜面上分别放两个大小可以忽略、质量相同的滑块，使两滑块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，以地面为参照系，指出下面几个结论中正确性，并说明理由。 ⑴ 两滑块滑到斜面底端时的动量相同；该结论是否正确？ 不对 理由： 至少方向是不同的 。

⑵ 滑块与楔形物体组成的系统动量守恒；该结论是否正确？不对 理由： 竖直方向重力有冲量不为零 。

⑶ 滑块与楔形物体组成的系统机械能保持不变；该结论是否正确？ 对 理由： 系统只有保守力做功，故机械能守恒 。

⑷ 滑块与楔形物体组成的系统水平方向动量守恒；该结论是否正确？ 对 理由：滑块与楔形物体组成的系统水平方向受力为零，故水平方向动量守恒 。

??h ??h 二．选择题：

4．关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，其中正确的是 （ C ） (A)不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒； (B)所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒； (C)不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒； (D)外力对一个系统做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒。

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5．一质子轰击一?粒子时因未对准而发生轨迹偏转。假设附近没有其它带电粒子，则在这一过程中，由此质子和?粒子组成的系统， （ D ） (A)动量守恒，能量不守恒。 (C)动量和能量都不守恒。

(B)能量守恒，动量不守恒。 (D)动量和能量都守恒。

三．计算题：

6．在光滑水平面上有一质量为mB的静止物体B，在B上又有一质量为mA的静止物体A，今有一小球从左边射到A上，并弹回，于是A以速度v0（相对于水平面的速度）向右边运动，A和B间的摩擦系数为?，A逐渐带动B运动，最后A与B以相同的速度一起运动。问A从运动开始到与B相对静止时，在B上走了多远？

解：由于水平面是光滑的，故而物体A和物体B所组成的系统水平方向动量守恒，设A与B运动相同的速度为v，则有mAv0??mA?mB?v，即v?mAv0

mA?mBA和B间的摩擦之间的摩擦力为?mAg，则A的加速度大小为?g，B的加速度大小设在达到共同的速度时，A相对地面走的路程为S1，B相对地面走的路程为S2

?mAg

mB

，

v?2则有v?v0??2?gS1，

222?mAgmBmBv0S2，即A在B上走的距离为S1?S2?

2??mA?mB?g27．两个质量分别为m1和m2的木块Ａ和Ｂ，用一个质量忽略不计，劲度系数为k的弹簧联接起来，放置在光滑水平面上，使Ａ紧靠墙壁(如图所示)，用力推木块Ｂ使弹簧压缩x0，然后释放，已知m1=m，m2=3m，求：⑴ 释放后，Ａ、Ｂ两木块速度相等时的瞬时速度的大小；⑵ 释放后，弹簧的最大伸长量。

解：放手后，B向右运动。当B运动到弹簧原长处0时，

B速度达到最大值v2o,A才将要动. m 1 A k m 2 B X0 O x 1212有kx0??3m?v2022?v20?k3mx0???①对A、B、K系统:平衡位置

B过平衡位置后,由于vB?vA,弹簧被拉长,且vB?,vA?当vA?vB?v时弹簧拉得最长L

动量导恒3mv20?mv?3mv?4mv?????②

机械能守恒

11112?mv2??3m?v2?kL2???③?3m?v20222214

由②式得：v?3v204?

3kmx04???④2(2)由③式变为：3mv20?4mv2? kL2用①、④式代入：?K2??3k 2?12kL2?3m?x0??4m?2x0??kx04?3m??4m ??L?x02

班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第4-1 刚体定轴转动(一) 一．填空题：

1．刚体转动惯量的物理意义是 表征刚才绕轴转动惯性的大小 ；决定刚体转动惯量的因素是 刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置 。

2．一转速为每分钟150转,半径为0.2 m的飞轮,因受到制动而在2分钟内均匀减速至静止。求:角加速度??/24rad?s，在此时间内飞轮所转动的圈数 150 。 3．如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？ 不一定 如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否为零？ 不一定

L4．一摆结构如图，一长为L、质量为m的均质细金属棒和一半径为R、质

量为M的均质薄圆饼，求对过悬点O且垂直摆面的轴的转动惯量 。om?21212mL?MR2?M?L?R?。 325．均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动，使棒从

RM水平位置自由下摆，棒是否作匀加速转动，并说明理由？不是匀加速转动，因为棒的力矩一直在变化，使得其角加速度一直在改变。

6．一长为L质量为m的均质细杆，两端附着质量分别为m1和m2的小球，且m1>m2 ，两小球直径d1 、d2都远小于L，此杆可绕通过中心并垂直于细杆的轴在竖直平面内转动，

1lml2?(m1?m2)，则它对该轴的转动惯量为若将它由水平位置自静止释放，则它在开124始时刻的角加速度为

26(m2?m1)g。

mL?3(m1?m2)L二．计算题：

7．一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为?0，绕其中心轴转动，⑴ 求圆盘所受的摩擦力矩； ⑵ 问经过多长时间圆盘才停止转动？（设摩擦系数为?）

15

解：（1）由dM?dF?r??dmg?r 得 dm?m2mrdr?2πr?dr? πR2R22r2?mgrdr2m?gr2dr2M?dM???mgR dM? 得 22??0RR3 （2）?M?Jd?212d? ??mgR?mR

dt32dtt03R3R?03Rd? ?dt???d? t? dt?

0?04?g4?g4?g8．一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动；起初角速度为? 0，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M= - k? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从? 0变为? 0/2时所需的时间。

d????J解：由M??k????dt转动定律

kd?分离变量?dt?J?t?02kd?积分:??dt??0?0J? k1J?dt?ln?t?ln2J2k

9．用落体观察法可以测定飞轮绕其中心轴的转动惯量J：将半径为R飞轮支承在O点 上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动（如图所示）。记下重物下落的距离h和时间t，就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。（假设轴承间无摩擦）

解 设绳子对飞轮的拉力为F

则飞轮所受的力矩M?FR 根据转动定律，

FR?J?……①

12at……③ 216

对重物作受力分析，根据牛顿第二定律得出： mg?F?ma……② 又∵重物匀加速下落，h?

a??R……④

由①②③④联立解得：

J?mR2???gt2??2h?1???

第4－2 刚体定轴转动（二）

一．填空题：

1．一长为l，质量为M的均质棒可绕其一端点在竖直面上自由转动；当棒自然下垂时，一质量为m，速率为v的子弹水平射入距转轴为a的棒内，棒偏转角为30°，则子弹的初

g?2?3??Ml?2ma??Ml2?3ma26?速度为

ma。

2．人造卫星绕地球作椭圆轨道运动（地球在椭圆的一个焦点上），若不计其它星球对卫星的作用，则人造卫星的动量p及其对地球的角动量L是否守恒？结论及说明理由： 动量p不守恒，因为受万有引力的作用，冲量不为零，角动量L守恒，因为力矩为零 。 3．一质量为Ｍ、半径为R的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动。若在某时刻，一质量为m的小碎块从盘边缘裂开，且恰好沿竖直方向上抛，则它可

能达到的高度为R2?22g；破裂后圆盘的角动量为12MR2??mR2?。

4．如图，质量为m的小球，拴于不可伸长的轻绳上，在光 滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为R，角速度为? ，绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉R/2时角速m R 度? ′为4?，在此过程中，手对绳所作的功为

3mR22?2。 二．计算题：

F 5．质量为m1和m2的物体A，B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别 为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间，绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。 解：分别对两物体及组合轮进行受力分析 物体A: G1?T1??m1g?T1?m1a1……① 物体B: T2??G2?T2?m2g?m2a2……②

17

组合轮：

?T1R?T2r???J1?J2?a……③

角速度与线速度之间关系： a1?R?……④ a2?r?……⑤ 由上述五个方程联立解得：

a1?m1R?m2rm1R?m2rgRa?gr 22222J1?J2?m1R?m2rJ1?J2?m1R?m2rJ1?J2?m2r2?m2rRJ1?J2?m1R2?m1Rr T1?如m1g T2?m2g６．2222J1?J2?m1R?m2rJ1?J2?m1R?m2r图，长为L质量为m的均匀细杆可绕水平轴O在竖直平面内转动，另有一质量也为m的小球用一轻绳栓住．不计一切摩擦，开始时使杆和绳均在水平位置，再让它们同时由静止释放，若在相同的时间内球与杆转过相同的角度，求：⑴绳的长度a； ⑵若撞后，球与杆一起转动，其角速度?为多大？ 解

aOL(1)设小球角速度为?1,棒角速度为?2,转到竖直位置时:小球mga?1/2ma2?1211?12?2棒mgl??ml??222?3?2由?1??2,得:a?l3????1?2ga??2?3gl

(2)角动量守恒:ma2?1?(1/3)ml2?2?ma2?mL23??????13g/l77．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕O点的转动惯量J???1m1l2) 3 O 解：由于碰撞时间极短，故可以认为碰撞过程角动量守恒 J??lmv?lm?2122vm1 ,l ?v1 m2 ?v2 l2m?1?v? 2vA 俯视图 滑动摩擦力的力矩：dM?r?dF

18

即：dM?rdF?r?gdm?r?g可得：M?m1dr， l?l0r?gm11dr??m1gl l2 由Mdt?J?2?J?1可得：t??J?2m2?v1?v2? ?M?m1g班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第5-1 库仑定律 电场 电场强度

一．填空题：

1．1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克粒子构成的，中子就是由一个带2e/3的上夸克和两个带－e/3的下夸克构成。将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为

?1510?20m），中子内的两个下夸克之间相距2.60?10m，则它们之间的斥力为3.78N。

2．有一边长为a的正六边形，六个顶点都放有电荷．试计算下列二种情形下，在六边形中点处的场强大小和和方向：（a） 0 ；（b）

+q +q +q (a) +q +q -q +q -q (b) +q +q +q +q q2??0a2 方向水平向右。

3．一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d<

E?qd8??0R23,方向指向缺口处。

二．选择题：

4．在坐标原点放一正电荷Q，它在P 点(1,0)产生的电场强度为E．现在，另外有一个负电荷?2Q，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度等于零？（ C ） y (A) x 轴上x>1 (C) x 轴上x<0 (E) y 轴上y<0

5．关于电场强度定义式E=F/q0，下列说法中哪个是正确的？（ B ） (A) 场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比

(B) 对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变 (C) 试探电荷受力F的方向就是场强E的方向

(B) x 轴上00

O

+Q (1,0) P x 19

(D) 若场中某点不放试探电荷q0，则F＝０，从而E＝０

(E) 电荷在电场中某点受到的电场力很大，则该点的场强也一定很大

三．计算题：

6．长为l的细棒上均匀分布着线密度为?的电荷，求：在细棒的延长线上与棒右端相距为d处的场强。

解：如图以棒中点为原点建立坐标轴Ox，在离棒中点为x处的均匀带电细棒上取长为dx的电荷元,其带电量为dq??dx，dq在棒延长线上与棒的一端相距为d处的P点产生的场强大小为dE?dq?24??0(r?x)1?dxl4??0(?d?x)22，方向沿x轴正方向。

dx -l/2 O x r l/2 d P x 所以整根带电细棒在延长线上P点处产生的场强大小为

E??dE??l2l?2?dx14??0(?d?x)22??l4??0d(d?l)，场强方向沿x轴正方向。

7．两个电量均为+q的点电荷相距为2a，O为其连线的中点，试求在其中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离。

??解 如图，两个电量均为?q的点电荷在中垂线上任一点P处各自产生的场强E1、E2大小?相等，关于y轴对称。所以中垂线上任一点P处场强的大小为

Ey?E1E?E1cos??E2cos??2E1cos??qy

2???(a2?y2)3/2?E2P??dEdEq3qy2??0时，场强有极大值，????0 ?qdydy2???(a2?y2)3/22???(a2?y2)5/2由此解得两个电量均为?q的点电荷中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离为

xO?qy??q2j a，最大电场强度为EMax??223??0a 8．如图所示，一均匀带电细棒弯成半径为R的半圆，已知棒上的总电量为q，求半圆

圆心O点处的电场强度.

解：在半圆上取一线元dl，其带电量为dq??dl?qqRd??d?， ?R?y dl ?该电荷元dq在圆心处的场强为dE，其大小为

dqqd?dE??，则半圆圆心处的场强在Ox、Oy轴 2224??0R4??0R?q dEx x dEy? ?dE 上的分量分别为Ey?dEy???dEsin???2??2qd?sin??0 224??0R 20

?Ex??dEx??dEcos???2??2qd?q, cos??22224??0R2??0Rq2?2?0R2?i

??E?Ei所以半圆圆心O点处的电场强度为x?班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第5-2 电场强度通量 高斯定理

一．填空题：

1．一电场强度为E的均匀电场，E的方向与沿x 轴正向，如图所示。则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 0 。

2．有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2 处， 有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量 为

E O x a a O a/2 q q。 6?0二．选择题：

3．一点电荷，放在球形高斯面的中心处．下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量会发生变化?（ B ） (A) 将另一点电荷放在高斯面外

(B) 将另一点电荷放进高斯面内

(C) 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内 (D) 将高斯面半径缩小 4．高斯定理E?dS?S?????dV/?V0适用于以下何种情况？(

A )

(A) 适用于任何静电场 (B) 只适用于真空中的静电场

(C) 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场 (D) 只适用于可以找到合适的高斯面的静电场

三．计算题：

5．两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为?1和?2，且?1>?2，求两平面间电场强度的大小。

解：P为两个无限大均匀带正电的平行平面之间的任意一点，两无限大均匀带电平面在P点处各自产生的场强的大小分别为E1??1?、E2?2，方向相反，所2?02?0以两平面间的电场强度的大小为E?E1?E2?

?1??2 2?0 21

6．真空中面积为S、间距为d的两平行板(S忽略边缘效应，求两板间相互作用力的大小。 解：因Sd2 )，均匀带等量异号电荷 +q 和 - q，

d2，忽略边缘效应，所以两带电平行板A、B可视为两无限大均匀带等量异号

电荷的平行板，带电平行板A两侧都是匀强电场，其场强大小E??q?，而带电平2?02S?0行板B处于平行板A所产生的匀强电场中，所以带电平行板B受到的电场力大小为

qqq2， F??Edq?E??dS?dS??S2S?0S2S?0q2同理可得带电平行板A受到的电场力大小为F?

2S?07．一内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳总电量为Q1，球壳外同心地罩一个半径为

R3的带电球面，球面带电为Q2。求：⑴ 场强E分布；⑵ 作E—r 曲线。（r为场点到球心

的距离） 解：（1）以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷分布呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而由高斯定理

?E?dS?S?q ? E?4?r?02??q，可得E??q?04??0r2

r?R1时，高斯面内无电荷，?q?0，故E1?0

Q1Q1(r3?R13)433R1?r?R2时，高斯面内电荷?q?， ??(r?R1)?33334/3?(R2?R1)3R2?R1Q1(r3?R13)所以E2? 3324??0(R2?R1)rR2?r?R3时，高斯面内电荷?q?Q1，故E3?Q1/4???r2 r?R3时，高斯面内电荷?q?Q1?Q2，故E4?以上电场强度的方向均沿径矢方向。 (2)

Q1?Q2

4??0r2 22

班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第5-3 电势能 电势(积分法) 一．填空题：

1．在电场线分布如图所示的电场中，把一个负点电荷从A点移到B点，电势能将 减少 (填增加，减少或不变)；Ａ、Ｂ两点中 B 点电势较高。

AE????12．均匀静电场，电场强度E?(400i?600j)V?m，则

点a (3，2)和点b (1，0)之间的电势差Uab??2000V。

B二．选择题：

3．真空中产生电场的电荷分布确定以后，则：( C ) (A) 电场中各点的电势具有确定值 (B) 电荷在电场中各点的电势能具有确定值 (C) 电场中任意两点的电势差具有确定值 4．在静电场中下列叙述正确的是：( B ) (A) 电场强度沿电场线方向逐点减弱 (B) 电势沿电场线方向逐点降低

(C) 电荷在电场力作用下一定沿电场线运动 (D) 电势能一定沿电场线的方向逐点降低

5．如图示，直线MN长为2R，弧OCD是以N点为中心，R为半径的半圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷-q。今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功：（ D ） (A) W < 0 且为有限常量 (B) W > 0 且为有限常量 (C) W = ? (D) W = 0

-qMO+qNDPC

23

三．计算题：

6．电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试求球内、外的电势分布。

解: 因电荷Q的分布具有球对称性,所以球内外场强分布具有球对称性，可在球内、外作半径为r的同心球面为高斯面，

??由高斯定理?E?dS?S?q?0i?E?4?rQ2q??i?0 得:E??qi24??0r。

，E1?r?R时（即球外）

?4??0r2，所以球外任意一点的电势

V??r???E1?dr??rQ4??0rQ43?R3dr?2Q4??0r

，?qi?r?R时（即球内）

Qr43Qr3?r?3，故E2?

4??0R33R所以球内任意一点的电势为

V??Rr?R????E2?dr??E1?dr??Rr?QrQdr??R4??0r2dr

4??0R3Q(3R2?r2)(R?r)?? ? 334??R8??0R8??0R0Q22Q7．有两根半径都是R 的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d(d≥2R)，沿轴线方向单位长度上分别带有＋λ和－λ的电荷，如图所示。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线间的电势差。

解：如图建立Ox轴，则由无限长均匀带电直导线的场强E? 可得P点（距离导线轴线为x处）的场强为

?， ? 2??0ro . x?? P x?E???????di?i?i 2??0x2??0(d?x)2??0x(d?x)两导线间的电势差(取沿x轴正方向为积分路径)为

U??d?RRE?dx??d?RREdx??d?RRd?R?11??d?R(?)dx?lnx?ln(d?x)??R?ln2??0xd?x2??0??0R

24

班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第5-4 电势（叠加法） 场强与电势关系 一．填空题：

1．电荷分别为q1，q2，q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上， 如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势V＝

q2 O q1 q3 18??0R?2q1?q2?2q3。

? b

2．半径为R的均匀带电细圆环，电荷线密度为?，则环心处的电势V=E= 0 。

?，场强大小2?03．一“无限长”均匀带电直线，沿z轴放置，线外某区域的电势表达式为V＝Aln(x2+y2)，式中A为常数，该区域电场强度的两个分量为：Ex??2Ax(x?y)，

22Ey??2Ay(x2?y2)。

二．选择题：

4．下列各种说法中正确的是：（ B ） (A) 电场强度相等的地方电势一定相等 (B) 电势梯度较大的地方场强较大 (C) 带正电的导体电势一定为正 (D) 电势为零的导体一定不带电

5．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？（ C ） (A) 在电场中，场强为零的点，电势必为零 (B) 在电场中，电势为零的点，电场强度必为零 (C) 在电势不变的空间，场强处处为零 (D) 在场强不变的空间，电势处处相等

6．如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q．若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：（ C ）

q23qQ (A)

4??0a (C)

43qQ(B)

4??0a2qa .Oa63qQ

4??0a (D)

83qQ 4??0aa3q 25

三．计算题：

7．电荷q均匀分布在长为2a的细棒上。⑴ 求棒的延长线上离棒的中点O为x的P点的电势；⑵ 由场强与电势关系求P点的场强。

解:（1）如图在离棒中点为l处的均匀带电细棒上取一线元dl,其带电量为

dqqdlq? dl，dq在P处产生的电势为dV?4??0(x ?l)8??0a(x?ld)l 2ap . . a -a O 所以整根带电细棒在P点处产生的电势 l x aqdlqx?a?ln V??dV??

?a8??a(x?l)8??ax?a00dq??dl?x ????V??qx?a?q11?q（2）E?Ex?? i??(ln)i??(?)i?i?x?x8??0ax?a8??0ax?ax?a4??0(x2?a2)8．球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带电，电荷体密度为? ，Ａ、Ｂ、Ｃ点分别与球心O相距为a、b、c，求：Ａ、Ｂ、Ｃ三点的电势与场强。

解：（1）作半径为r的同心球面为高斯面，由于电荷分布具有球对称性，电场强度分布也呈球对称性，高斯面上各点的电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而由高斯定理

??E??dS?S?q?0i ? E?4?r2??q?0i 得:E??qi24??0r

R2 A B O . . R1 C . 所以A、B、C三点的场强分别为 EA?0

?(b3?R13)?(R23?R13)， EC? EB?3?0b23?0c2 电场强度沿径矢方向

（2）A、B、C三点的电势分别为

VA??0dr??aR1R2R133??(R?(r3?R13)?222?R1)?dr?dr?(R2?R1) 22?R2?03?0r3?0r2VB??R2b333??(R?(r3?R13)?R)2R?2221?dr??dr?(3R2?b?1) 22R6?0b3?0r3?0r2VC???C?(R23?R13)?(R23?R13) ?dr?3?0r23?0c班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第6-1 静电场中的导体

一．填空题：

26

1．在带电量为Q的金属球壳内部，放入一个带电量为q的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为?q，外表面所带电量为Q?q。

2．将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的孤立导体附近，则导体内的电场强度 不变 ，导体的电势 减小 ，导体的电量 不变 （填增大、不变、减小）。

二．选择题：

3．将一个试验电荷q0(正电荷)放在带有负电荷的大导体外附近一点P处，测得它所受的力的大小为F，若考虑到电量q0不是足够小，则：( B ) (A) F/q0比P点处原先的场强数值小 (C)F/q0等于原先P点处场强的数值

(B) F/q0比P点处原先的场强数值大 (D)F/q0与P点处场强数值关系无法确定

三．计算题：

4．在半径为R的接地导体薄球壳附近与球心相距为d (d>R)的P点处，放一点电荷q，求球壳表面感应电荷q '及其在空腔内任一点的电势和场强。 解：球壳表面及其内部空间各点等电势,因为接地，电势为零。

ROdp对于球心，电势为0，故

?dq'4??0R?q4??0d?0

所以，q'??dq'??qRdq(d?r) 34??0|(d?r)| 空间电场由点电荷q和感应电荷q '这两部分电荷产生的电场叠加而成： 故空腔内r处感应电荷产生的电场E(r)?? 电势由点电荷q和感应电荷这两部分电荷产生的电势叠加而成： 故r处电场V(r)??

q

4??0|(d?r)| 27

5．如图，两块相同的金属板A和B，面积均为S，平行放置，两板间距远小于金属板的线度，两板分别带电qA和qB，求两板四个表面的电荷密度。 解：静电平衡:E内?0

qA σ 1 q B σ 4 (?2??3)?s?????(?E??s?E??s??0)312??2???

????????(?E?1?2?3?4?0)14内?2?2?2?2??

σ σ 2 3 A B ?qA?(?1??2)?s又??qB?(?3??4)?sq?qB??1??4?A2sq?q?2???3?AB2s6．证明静电平衡条件下，金属导体表面任意一点的电场垂直于该点的表面。

解： 如果电场不垂直于表面，则该电场有沿着表面切线方向的分量。导体中的自由电荷会在这分量的作用下沿着表面做定向移动，这破坏了平衡条件。 所以，静电平衡时候，金属表面的电场垂直于表面。

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第6-2 静电场中的电介质、电位移、有电介质时的高斯定理 一．填空题：

1．两块平行带电平板间充满各向同性相对电容率为?r的均匀电介质.若两个极板带有异号等量的面密度为?的自由电荷，则介质中电位移的大小D=?，电场强度的大小E=

?。 ?0?r2．如图，在与电源连接的两块平行金属板间填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中的场强 相等 ， 电位移 不相等 (填相等或不相等)。

?r1?r2二．选择题：

3．半径为R的均匀带电介质球体，电荷体密度为ρ，电容率为?，则介质内半径为r处的点的场强大小为：（ A ） (A) ρr/(3?)

(B)ρr2/(2?r)

(C) ρr2/(2R)

(D) ρ/(4r2?)

4．两块平行金属板两极板始终与一个输出电压一定的电源相连，当两极板间为真空时，电场强度为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介

28

质时，电场强度为E，电位移为D，则：( B ) (A)E?E0/?r,D?D0

(B) E?E0,D??rD0

(D) E?E0,D?D0

(C)E?E0/?r,D?D0/?r

三．计算题：

5．在半径为a的金属球外有一层外半径为b 的同心均匀电介质球壳,电介质的相对电容率为?r,金属球带电Q, 求：⑴介质层内外的场强大小；⑵介质层内外的电势；⑶金属球的电势。 解：

(1)E1? (2)V1?Q4??0rQ4??0rb,(r?b);2,?E2?Q4??0bQ4??0?rr2?QQ,(a?r?b)E3?0,(r?a)

V2?11(?)4??0?rrb(3)V3??E2dr??E3dr?ab11Q(?)?4??0?rab4??0b6．在一半径为R1的长直导线外套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为?r，设沿轴线单位长度上导线的电荷线密度为?，试求介质层内的D,E,P。 解：在介质层内取半径为r ?R1?r?R2?，长为l的闭合圆柱面，由高斯定理

?D?ds??qi得D?2?rl=?l?D?

s?er2?r而E?D?0?r??er;2??0?rr

P?D??0E??1???1??er。er沿径向与导线垂直. ??r?2?r

7．有一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片（ ?2?6.5）作为绝缘材料，其击穿场强为

107V/m，已知高压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场，其场强E1 与陶瓷面法线夹角

??300，大小为E1?2?104V/m．求陶瓷中的电位移D2 和场强E2,该结缘材料是否会

被击穿？

解：如图中所示，设陶瓷内电位移的方向与法线成?2角：

29

tg?2=

?r26.5tan?1=tan300?r11

0=6.5?0.5774=3.753D1=?1E1 n ?1 ?2?75.1

因为陶瓷表面没有自由电荷，所以在法线方向电位移连续

D1cos?1?D2cos?2

小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿。

D2?D1cos?1cos300??1E1cos?2cos75.100.8660.258空气?1 陶瓷?2 ?2 D2=?2E2 ?1?8.85?10-12?2.0?104??5.95?10-7C/m2

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第6-3 电容、电容器；静电场的能量、能量密度 一．填空题：

1．一平行板电容器，两极板间电压为U12，其间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质，电介质厚度为d，则电介质中的电场能量密度w=

1?0?r(U12/d)2。 222．半径为R的孤立导体球，带电量为2Q，其电场能量为Q电量为Q的孤立导体球的电场能量为Q2(2??0R)；半径为R/4，带

(2??0R)。

3．一平行平板电容器被一电源充电后，即将电源断开，然后将一厚度为两极板间距一半的金属板放在两极板之间，则下列各量的变化情况为：⑴电容 增大 ；⑵极板上面电荷 不变 ；⑶极板间的电势差 减小 ；⑷极板间的场强 不变 。（增大、减小、不变）

二．选择题：

4．极板间为真空的平行板电容充电后与电源断开，今将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列几种说法中正确的是：（ D ） (A)极板上的自由电荷面密度增加

(B)电容器的电容增大 (D)电容器两板间电势差增大

(C)电容器两极板间场强的大小减小

三．计算题：

5．两根长l半径?的平行直导线距离为a,且???a,a??l, 求这两根直导线构成的电容器的电容。

30

解：如图建立坐标系，设p点坐标为x，设单位长度导线带电量?，系统带电q??l。p点

x处的电场E(x)?a1q1? ??x?a??, 故两直导线之间的电势差：

2??0lx2??0la?xaqU??E(x)dx??(??1q1?)dx2??0lx2??0la?xqaq ?11(?)dx2??0l?xa?x?q

???0llna?l??0qqa?q/(ln())? U??0l?ln(a/?)根据电容器电容的定义，C?6．一平行板电容器极板面积为S，厚度为d，均等分为左右各一半，如图.左半部体积内充有电容率为?1的介质，右半体积内充有电容率为?2的介质，求该电容器的电容。 解：该电容器可看成左右两个电容并联。

SS?1?2S(???)12 C?C左?C右=2+2 =dd2d7．两个同轴的圆柱，长度都是L，半径分别为R1与R2 (L>>R1,R2)，这两个圆柱带有等值

异号电荷Q，两圆柱之间充满电容率为?的电介质，忽略边缘效应。⑴ 求这个圆柱形电容器的电容；⑵ 求与圆柱轴线垂直距离为r（R1 < r < R2）处一点P的电场能量密度； ⑶ 求电介质中的总电场能量。

解： 由高斯定理，r处的电场强度E(r)?R2Q，

2??rLR2R1 R2 （1）故两圆柱的电势差U?R1?E(r)dr?QQR2 dr?ln?2??rL2??LR1R1r 故C?Q2??L?

RUln2R112Q2Q（2）因为E(r)?，所以，wE??E(r)?

28?2?r2L22??rLQ2?rLdrQ2R2（3）总能量W??wE2?rLdr?? ?ln2224??rL4??LR1R1R18．在点A和点B之间有五个电容器，其连接图如图所示（电容

R2R2 31

值已标出，单位为?F）。⑴ 求A,B之间的等效电容； ⑵ 若A、B之间的电势差为12V,求UAC，UCD，UDB。 解：（1）依题意，A,B之间的电容满足

1111???, CABCACCCDCDB而CAC?4?8?12，CCD?6?2?8，CDB?24， 故

11111111???????，CAB?4?F CABCACCCDCDB128244?6（2）Q?UABCAB?12?4?10?4.8?10C，故：UAC?5Q4.8?10?5???4V， ?6CAC12?10UCDQ4.8?10?5Q4.8?10?5???6V，UDB???2V CCD8?10?6CDB24?10?6班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第7-1 毕奥—萨伐尔定律 一．选择题：

1．一根载有电流I的无限长直导线，在A处弯成半径为R的圆形，由于导线外有绝缘层，在A处两导线靠得很近但不短路，则在圆心处磁感应强度B的大小为：( C ) (A) (?0+1)I/(2?R) (C) ?0I(-1+?)/(2?R)

(B) ?0I/(2?R)

(D) ?0I(1+?)/(4?R)

I O I A R I O R h 2．将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略) 沿轴向割去一宽度为h(h<

i(A) ?0ih/2?R (C) i?0h/4?R 二、计算题：

(B) 0

O ’(D) i?0h

3．载有电流为I的无限长导线，弯成如图形状，其中一段是半径为R的半圆，则圆心处的磁感应强度B的大小为多少？ 解： 选

为正方向

1

B?B1?B2?B3

3 32

????R R 2 I O

??I(1?2), B1??4?R??I??I2B??, B3? 24?R24R

??IB?(??2?1)

?

4?R

4．用相同的导线组成的一导电回路，由半径为R的圆周及距圆心为R/2的一直导线组成(如图)，若直导线上一电源?，且通过电流为I，求圆心Ｏ处的磁感应强度。 解 设大圆弧的电流为I1,小圆弧的电流为I2,则I1?I2?I，选

为正方向

ol1???I?1??S 根据电阻定律有? 可得:I1l1?I2l2

l???I?22?S? RO R/2o??Il 大圆弧电流在圆心处O产生的磁感应强度:大小为B1?011，方向为

4?R?Il 小圆弧电流在圆心处O产生的磁感应强度:大小为B2?022，方向为?

4?R 直导线电流在圆心处O产生的磁感应强度: 大小为B3?3?0I?5?cos?cos??，方向为?R?662?R?4??2?0I?

所以,总电流在圆心处O产生的磁感应强度:B?B1?B2?B3， 大小为:B?3?0I,方向为2?R

5．如图，两线圈共轴，半径分别为R1和R2，电流分别为I1 和I2 ,电流方向相同，两圆心相距2 b,联线的中点为O 。求轴线上距O 为x 处P 点的

?磁感应强度B。如果电流方向相反，情形又如何？

2 b 解：B?B1?B2

R1 I1

33

O P R2 x I2

2?0I1R12I2R2 B? ?223222322[R1?(b?x)]2[R2?(b?x)]?0方向沿着X轴正向 电流方向相反，情形如何？

?? 若I1与I2方向相反，则B1与B2方向也相反，

B?B1?B2、

2?0I1R12I2R2 B? ?223222322[R1?(b?x)]2[R2?(b?x)]?0班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第7-2 磁场的高斯定理 安培环路定理

一．选择题：

1．均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S 面的磁通量的大小为：（ B ） (A) 2?rB

2(B) ?rB

2 (C) 0 (D) 无法确定的量

2．如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则下述各式中哪一个是正确的？（ D ）

??(A) ?B?dl?2I?0 ??(C) ?B?dl???0I

L3L1??(B) ?B?dl??0I

L2L4??(D) ?B?dl???0I

二．填空题：

??3．在安培环路定理?B?dl=?0?Ii中，?Ii是指闭合曲线所包围的所有电流代数和，

Lii

? B是指闭合线L上各点的磁感应强度，它是由L内、外电流共同决定的。

4．如图，在无限长直载流导线的右侧同一平面内，通过面积为S1、S2两个矩形回路的磁通量之比为： 1:1 。 5．真空中毕一萨定律表达式dB?IaS1aS2 2a?0Idl?r?；稳恒磁场的安培环路定理的表达式4?r3?B?dl???I0li； 磁场的高斯定理表达式

?B?ds?0；安培环路定理说明磁场是涡旋

s场；磁场的高斯定理说明磁场是无源场。

三．计算题：

34

6．高压输电线在地面上空25m 处，通过电流为1.8?10A 。⑴ 求在地面上由这电流所产生的磁感应强度多大？⑵ 在上述地区，地磁场为0.6?10磁场相比如何？

?43T，问输电线产生的磁场与地

?0I4??10?7?1.8?103??1.4?10?5T 解：(1)B?2?r2??25?5?4 (2)B/BE?1.4?10/(0.6?10)?0.24

7．如图，电流I均匀地自下而上通过宽度为a的无限长导体薄平板，求薄板所在平面上距板的一边为d的P点的磁感应强度。

解：建立坐标系，如图所示，考虑在x处，取长度为dx的小窄条电流， 则其电流大小为 dI?Idx aI o d 在P点激发的磁感应强度的大小为

P dB?2??a?d?x??0dI?2?a?a?d?x??0Idx

x a 方向 ?

所有小窄条电流在P点激发的磁场方向都是同方向的， 则所有电流在P点的激发的磁感应强度的大小为 B?dB???a02?a?a?d?x??0Idx??0Id?aln 2?ad 方向为 ?

8．如图单层线圈均匀密绕在截面为长方形的整个木环上，共有N匝，求流入电流I后，环内的磁感应强度分布和截面上的磁通量。

I 解： (1)由安培环路定律, 根据对称性有

?B?dl?B2?r??IN

0l?0NI ?B?2?r h

D1D2 35

(2)磁通???Bds??Bhdr?0INhD2dr?2??D/2r?0INhD221

?第7-3 洛伦兹力 安培力 一．选择题：

1．下列说法中正确的是：( AD )

2?lnD1(A)带电粒子垂直射入匀强磁场时，若其运动轨道是圆，则圆周运动的周期与入射速度无关； (B)带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的周期与磁感应强度无关；

(C)由圆线圈中电流在线圈中心激发的磁感应强度大小与线圈半径无关；

(D)一无限长直通电导线通过一圆平面的圆心，通过圆平面的磁通量与平面的法向无关。 2．如图所示，真空中电流元I1dl1在原点O处，沿x轴正方向放置，电流元I2dl2在z轴上，沿z轴正方向放置，两者相距为r，假设电流元1对电流元2的作用力为d f1，电流元2对电流元1的作用力为d f2。则：（ D ）

y ??df?df(A) 12

(B) df1?df2 (C) df1?0,df2??0I1dl1I2dl2 24?rO I1 d l1 x z I2 d l2 (D) df1??0I1dl1I2dl2,df2?0 24?r二．填空题：

3．从太阳射来的速度为0.80?108m/s的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中，该处磁场为4.0?10?7T，此电子回转轨道半径为1.1?103m；若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0?10?5T，其轨道半径为 23 m 。 三．计算题：

4．如图一无限长直导线通以电流I1，与一个电流I2的矩形刚性载流线圈共面，设长直导线固定不动，求矩形线圈受到的磁力大小，问它将向何方向运动。

解：建立坐标系：向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，垂直纸面向外为z 轴正方向，则电流I1产生的磁场为：B??电流CD段受力为：FCD?I2hj????0I1k 2?x A D I1 I2 E h ?IIh??0I1?k???012i

2?r?2?r?36

B F C r b 同理：电流EF段受力为：F电流DE段受力：Fr?bEF???0I1?0I1I2h

??I2hj???k???2??r?b??2??r?b?i????0I1??0I1I2?r?b?

Idxi?k??In?2?j??DE?2?x2?r????rr?b? 同理：电流FC段受力为：F???0I1I2In???jFC2??r??总的磁力为F?FCD?FEF?FDE?FFC???线圈将向左运动

??0I1I2h?IIh??0I1I2h11?012?i?(?)i

?2?r?2?r?br?2??r?b?5．如图相距2a的两条竖直放置的载流长直导线，电流强度均为I，方向相反．长为2b，质量为m的金属棒MN位于两直导线正中间，且在同一平面内，欲使MN处于平衡状态，求MN中的电流强度以及电流流向。

解：由于金属棒受重力，那么可以判断电流方向为M?N

I

M

2a 2b N

I?I?0I建立坐标系，两电流产生的磁感强度大小为B?0?

2?x2?(2a?x)金属棒所受安培力大小为

F??dF??a?ba?b?0I?1?0II??a?b?1???Idx?In????

2??x2a?x???a?b? 由F=mg，可得I???mg?a?b??0IIn???a?b?

6．如图在载流为I1的长直导线旁，共面放置一载流为I2的等腰直角三角形，线圈abc，腰长ab = ac = L，边长ab平行于长直导线，相距L ，求线圈各边受的磁力F。 解 建立坐标系：电流I1产生的磁感强度B?? 边ab受力：Fab??0I1k 2?x??L0L?II??I?I2dyj?B??I2dyj???01k???012i

02??2?L?2L?IIIn?2???I??I2dxi?B???I2dxi???01k???012j

L2??2?x? 边ac受力：Fac?2LL?II?II??I?Fbc??I2dxi?dyj???01k???012dxj??012dyi2?x2?x?2?x? 边bc受力： 2LL?IIIn?2??0I1I2In?2??II?0I1I2 ??012dxj??dyi?012i?j2?x2??2L?y?2?2?L0?? 37

简单解法：F1? F3?

2L?I?0I1?II?II01I2L?012，F2??I2dx?012ln2

L2?x2?L2?2?2L bI1I2 aLc?L?I2?0I1I2201I2dx?ln2 2?x2?班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第7-4、5 磁场对载流线圈的作用（力矩） 磁介质

一．选择题：

1．在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2 等于( C ) (A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 1/4

2．一段长为L的导线被弯成一个单匝圆形线圈，通过此线圈的电流为I，线圈放在磁感应线与线圈平面平行的均匀磁场B中，则作用在线圈上的力矩是：( D ) (A) B I L2 / 4

(B)

2B I L/ 8

2

(C) B I L2 / 8 (D) B I L2 / (4? )

3．对铁磁质加温使其熔化，则变为( A ) (A) 顺磁质

(B) 抗磁质

(C) 仍为铁磁质

(D) 视熔化后温度而定,上述三者均有可能

二．填空题：

4．从微观分子角度看磁性的来源，产生顺磁是 分子磁矩（分子磁矩受到外磁场作用沿外磁场方向排列引起的） ，抗磁是 附加磁矩（电子运动受到外磁场作用产生的附加磁矩，与外场方向相反） ，铁磁质是 磁畴（铁磁质内部形成的一些微小的自发磁化区域，是电子间因自旋引起的强相互作用引起的）。

5．如图所示为三种不同铁磁质的磁滞回线，若要制造电磁铁，应选用图 A 所示材料最为合适，若要制造永磁体，应选用图 B 所示材料最为合适。

(A) (B) (C)

38

三．计算题：

6．一面积为S的平面线圈，载有电流置于磁感强度为B的均匀磁场中，将线圈从力矩最

?大位置转过α角。⑴ 求在此过程中力矩做的功A；⑵ 转角为α时线圈所受的磁力矩M。

解：(1)线圈受磁场的力矩为M?m?B，大小为M?mBsin?， 当???1??2过程中，力矩做的功为 A?????21Md???ISBsin?d??ISB(cos?2?cos?1)

?1?2 所以，当????(??)，A?ISBsin? 22? (2) M?mBsin??ISBsin(?2??)?ISBcos?

7．一根长直同轴电缆，内外导体之间充满磁介质，如图所示，磁介质相对磁导率为?r

(?r<1)，导体的磁化可忽略。沿轴向有稳恒电流I通过电缆，内外导体上电流方向相反。求空间各区域内的磁场强度和磁感应强度。 解：由介质中的安培环路定理Hdl?l ??Iii

?r R1 R2 对r?R1:有2?rH1??0IrIIr2?r?H?,M?0,B?11122?R122?R12?R1II,M2?(ur?1)2?r2?rR3 对R1?r?R2:有2?rH2?I?H2?B2??H2??0?rI2?rIR3?r2对R2?r?R3:有H3?222?rR3?R2?0IR32?r2B3?222?rR3?R2对r?R3:有H4?0,M4?0

??????2??,M3?0班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第8-1 电磁感应定律 动生电动势 一．选择题：

1．如图两个导体回路平行，共轴相对放置，相距为D，若沿图中箭头所示的方向观察到大回路中突然建立了一个顺时针方向的电流时，小回路的感应电

39

流方向和所受到的力的性质是：( C ) (A) 顺时针方向，斥力 (B) 顺时针方向，吸力 (C) 逆时针方向，斥力 (D) 逆时针方向，吸力

2．如图一载流螺线管竖直放置，另一金属环从螺线管端上方沿管轴自由落下，设下落过程中圆面始终保持水平，则圆环在图中A、B、C三处的加速度大小关系为：( B )

(A) aA>aB>aC (B) aB>aA>aC (C) aC>aA>aB (D) aC>aB>aA

3．如图一矩形导体线圈放在均匀磁场中，磁场方向垂直于线圈平面向里，a、b分别为线圈上下短边上的两个点，当线圈以速度v垂直于磁场方向向右运动时，则：( B ) (A) ab两点无电势差，线圈内无电流。

(B) ab两点有电势差，且va>vb，线圈内无电流。 (C) ab两点有电势差，且vb>va，线圈内有电流。 (D) ab两点有电势差，且vb>va，线圈内无电流。

×　　×　　×　　×　　××　　×　　×　　×　　××　　×　　×　　×　　××　　×　　×　　×　　××　　×　　×　　×　　×B×　　×　　×　　×　　×ABCavb二．填空题：

4．桌子上水平放置一个半径 r = 10 cm 的金属圆环，其电阻 R = 2Ω，地球磁场磁感强度的竖直分量为5×10-5 T，若将环面翻转180°，沿环流过任一横截面的电荷q=

??2?r2B??1.57?10?6C。 RR5．半径为 r 的小绝缘圆环，置于半径为 R 的大导线圆环中心，二者在同一平面内，且 r << R。在大导线环中通有正弦电流（取逆时针方向为正）I = I0 sinωt，其中ω、I0 为常数，t 为时间，则任一时刻小线环中感应电动势（取逆时针方向为正）为

?0?r2I0?2Rcos(?t)。

三．计算题：

6．有一测量磁感强度的线圈，其截面积S = 4.0 cm2，匝数N = 160匝，电阻R = 50Ω。线圈与一内阻Ri＝30Ω的冲击电流计相连，若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感应强度B相垂直，然后线圈的平面很快地转到与B的方向平行，此时从冲击电流计中测得电荷值q = 4.0×10C。问此均匀磁场的磁感强度B的值为多少？

-5

40

Nd?， dtdq又有|?|?I(R?Ri)?(R?Ri)，

dt解：由法拉第电磁感应定律???结合①②得：N???(R?Ri)?q， 由题意，???BS，

④

② ③

①

(R?Ri)?q(50?30)?4.0?10?5结合③④得：B???0.05(T) ?4NS160?4.0?107．如图一个边长为a的正方形线圈与一长直导线位于同一平面内，长直导线通以电流 I=I0 sin ? t (式中I0、?为常数)，求方形线圈中感应电动势。 (图中箭头表示电流的正方向) 解：如图建立Ox轴，在x处取dx窄条，则x处

B??0I，d??B?a?dx 2?xO B x dx x a?d所以，线圈中的磁通量为

???d?0Ia?Iaa?ddx?0ln()， 2?x2?dI d 线圈中的感应电动势为

????I?aa?dd???00ln()cos(?t)， dt2?da 正方向为顺时针方向，如图所示。

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第8-2 动生电动势、感生电动势 一．选择题：

1．在下列描述中正确的是：( B ) (A) 感生电场和静电场一样，属于无旋场；

(B) 感生电场和静电场的共同点，就是对场中的电荷具有作用力；

(C) 因为感生电场对电荷具有类似于静电场对电荷的作用力，所以在感生电场中也可类似

于静电场一样引入电势；

(D) 感生电场和静电场一样，能脱离电荷而单独存在.

2．用导线围成的回路(两个以O点为圆心半径不同的同心圆，在一处用导线沿半径方向相连)，放在轴线通过O点的圆柱形(虚线)均匀磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图所示. 如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间而减小，则(A)→(D)各图中哪个图上正确表示了感应

B?

·O O (A) ·O O (B) 41 ·O O (C) ·O O (D) 电流的流向？( B )

二．填空题：

3．如图所示，一导线构成一正方形线圈然后对折，并使其平面垂直置于均

?匀磁场B。当线圈的一半不动，另一半以角速度ω张开时（线圈边长为2 r），

线圈中感应电动势的大小ε＝2B?rsin?。(设此时的张角为θ，见图) 4．如图所示柱形空间有均匀磁场，磁感应强度为B，在不同半径r a、r b （r a< r b）处放置两个大小相等的小环a和b，环轴与柱轴平行，当B以速度dB / d t增加时，两环处的感生电场的比值 E a / E b =ra:rb，两环内的感生电动势的比值

?a?b2a O b = 1 : 1 。

三．计算题：

5．如图所示，一根长为 L 的金属细杆 ab 绕竖直轴 O1O2 以角速度ω在水平面内旋转。O1O2 在离细杆 a 端 L/5 处。若已知地磁场在竖直方向的分量为B。求 ab 两端间的电势差 U a ?U b 。

解 在杆上距离转轴x处取dx宽的一小段，则其动生电动势为

d??B??x?dx，

所以?ob??4L50B??x?dx?L508B?L2，方向为o→b， 251B?L2，方向为o→a， 50同理有?oa??B??x?dx?由此，Ua?Ub??oa??ob??

3B?L2。 106．如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈， 以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线。设t = 0时，线圈位于图示位置，求：⑴ 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量Φ；⑵ 在图示位置时矩形线圈中的电动势ε。

? 42

解 ⑴在线圈中距离长直导线x处取dx宽的窄条，则B? d??B?l?dx， 所以???0I， 2?x?b??ta??t?0Il?Ilb??tdx?0ln； 2?x2?a??t⑵由法拉第电磁感应定律????Il??d??????0??? dt2??b??ta??t?? t=0时，???0Il(b?a)，

2?ab 可见??0，所以电动势方向与B成右手螺旋关系，即为顺时针方向。

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第8-3 自感、互感、磁场能量 一．选择题：

1．在一自感线圈中通过的电流I随时间t的变化规律如图(a) 所示，若以I的正向作为? 的正方向，则代表线圈内自感电动势

I ( O a) t ? 随时间t变化应为下图中的： ( D )

?O(A)?tO(B)t

εO（C)εtO（D） t二．填空题：

2．要使两个平面线圈相距很近，又要使它们之间的互感系数为最小，两线圈应怎样安放置？ 轴线相互垂直（平面线圈1的中心垂直轴与线圈2的平面共面） 。

3．真空中两条相距2a的平行长直导线, 通以方向相同、大小相等的电流Ｉ，Ｏ、Ｐ两点与两导线在同一平面内，与导线的距离如图所

·P。II·O。aaa 43

2?0I2示，则Ｏ点的磁场能量密度为 0 ，Ｐ点的磁场能量密度为。

9?2a24．一无铁芯的长直螺线管，在保持其半径和总匝数不变的情况下，把螺线管拉长一些，则它的自感系数将 变小 。（填“变大”、“变小”或“不变”）

5．自感系数L =0.2 H的螺线管中通以I = 4 A的电流时，螺线管存储的磁场能量W= 1.6J 。

三．计算题：

6．截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L。

解 由安培环路定律可知，当通以电流I时，环内磁感强度为B??0NI2?rR2 R1 h (R1?r?R2)，

所以其自感磁通链数为

?0N2I?m?N??2??R2R1hdr?0N2IhR2?ln r2?R1所以，该螺绕环当自感为

?m?0N2hR2L??ln

I2?R1

7．同轴电缆由半径为R1的实心圆柱导体(称为芯线)和半径为R2 (R2>R1)的同轴薄圆筒导体组成，电流从芯线的一端流入，由外筒流回，芯线与外筒间充满相对磁导率为? r的均匀磁介质，用磁能方法求长b的一段电缆的自感(芯线内部的磁通量可忽略)。 解：设通电流I，由安培环路定理，在距离轴线r处的磁场分布为

b R1(r?R1)?B1?0??0?rI?(R1?r?R2) ?B2?2?r?(r?R2)??B3?0可的磁能为：Wm?R2?R2R12?0?rI2bR2dr?0?rI2bR21B2 2?r?b?dr??ln2?0?r4??R1r4?R1 44

由Wm?

2W??bR12LI，所以L?2m?0rln2

2?R1I2班级____________ 姓名______________ 学号_________________

第9-1 振动 一．填空题：

1．为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上，并让其自由振动，测得振动频率v1=1.0Hz；若再将另一个质量m2=0.5kg的物体单独挂在该弹簧上，测得振动频率v2=2.0Hz，则被测物体的质量m= 2.0 kg。（设振动均在弹簧弹性限度内进行） 2．如图为以余弦函数表示的简谐运动的振动曲线，则其初相?=??3或5?3，P时刻的相位为0或2?。

x(m) 2 1 O t(s) P 二．选择题：

3．下列表述中正确的是： ( D )

(A) 物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐振动。

(B) 质点受回复力（恒指向平衡位置的作用力）作用，则该质点一定作简谐振动。 (C) 拍皮球的运动是简谐振动

d2Q??2Q?0，则该物理量按简谐振动的(D) 某物理量Q随时间t的变化满足微分方程2dt规律变化（?由系统本身的性质决定）。

4．一质点沿x轴作简谐运动，运动方程为 x＝4×10-2 cos(2?t?1?) (SI) ，从t＝0时刻3起，到质点位置在x＝－２cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为： （ C ） (A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s (E) 1/6 s

５．一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为A/2，且向x轴的正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量图为：（ B ）

(A)(B) AO A/2 Ax x-A/2 Ax -A/2OxO A/2O(C) A (D) 45

46

三．计算题：

6．作简谐运动的小球，速度最大值vm=3㎝/s，振幅A＝2㎝。若从速度为正的最大值的某时某刻开始计时，求：⑴振动周期；⑵加速度的最大值；⑶振动表达式。 解：⑴由?m?A?，得???mA?32?4?rad/s，所以T??s； 2?3x 22⑵由am?A??4.5cm/s

⑶由题意可得初识时刻的旋转矢量图如右所示， 可见????23?x?2cos(t?)(cm)

22，所以振动表达式为

A

7．某振动质点的x-t 曲线如图所示，试求：⑴ 运动方程；⑵ 点P对应的相位；⑶ 到达点P相应位置所需时间。

解 ⑴从振动曲线看出A = 0.10 m

t=0时，旋转矢量图如右，可见??0.10 x(m) ?3

0.05 O -0.10 P 5.6 t(s) 3?又t=5.6s时的旋转矢量图，可见?t?

2由?t??t??，所以??所以x?0.10cos( ⑵?P??

⑶由?????t，所以?t?

?t??t?5? 24A0 x 5??t?)(m) 243?????P???3.2 s ? 47

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第9-2 振动的合成、能量 一．填空题：

1．有两个同方向的谐振动分别为x1=4cos(3t +π/4) cm，x2=3cos(3t - 3π/4) cm，则合振动的振幅为 1cm ，初相为 π/4 。

2．一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，已知其中一个分振动的方程为： x1=4cos(3t) cm，其合振动的方程为：x=4cos(3t+π/3) cm，则另一个分振动的振幅为 A2= 4cm ，初相?2= 2π/3 。

3．为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00s），拿到月球上去，如测得周期为4.90s，则月球表面的重力加速度约为 8/4.9 =1.63 m/s 。（取地球表面的重力加速度gE = 9.80 m . s -2）

4．当质点以频率v作简谐运动时，它的动能的变化频率为 2v 。

2

二．选择题：

5．右图表示两个同方向、同频率的谐振动的振动曲线，则它们合振动的初相 ? 为：( A )

(A) ? = 0 (B) ? =π/2 (C) ? =π (D) ? =π/4

y(m) 1 0.5 O -0.5 -1 t(s)

6．两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和2，若它们的振幅之比A2/A1 = 2/1，周期之比T2/T1 = 2/1，则它们的总振动能量之比E2/E1是：( A ) (A) 1:1 (B) 1:4 (C) 4:1 (D) 2:1

48

三．计算题：

7．有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m，相位与第一振动的相差为 ? / 6，已知第一振动的振幅为0.173 m，求第二振动的振幅以及第一、第二两振动之间的相差。

解 如图，用余弦定理

A2?A1?A2?2A1Acos?6?0.1(m)

2A=0.20m

A2

?=π/6 A1=0.173m

θ cos??A?A1?A2?0????2，

2A1A2222即相差为????

?2

8．质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0×10 -2 m作简谐运动，其最大加速度为4.0 m . s -2。求：⑴ 振动的周期；⑵ 物体通过平衡位置时的总能量与动能；⑶ 物体在何处其动能与势能相等？⑷ 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？

2解 ⑴由am?A?，得??am2???20rad/s，所以T??s； A?1011m?2A2?mamA?3?10?3J； 2211222222⑶由EP?m?Acos(?t??)Ek?m?Asin(?t??)，要使Ek?Ep，

22⑵在平衡位置E?Ek?22必有cos(?t??)?sin(?t??)?0.5，所以cos(?t??)??2， 2则x??2A??0.71?10?2m； 2⑷由题意有cos(?t??)?亦即EP?

1132，则有cos(?t??)?sin2(?t??)?， 2441E4Ek?3E 4班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第10-1 平面简谐波 一．填空题：

1．如图是沿x轴正向传播的平面简谐纵波在某时刻的波形图，质点的位移由x轴逆时针方向旋转

y a O b c d x 49

π/ 2的y坐标来表示，则在该时刻媒质质点O，a，b，c，d中运动方向向右的是 b，c ，运动方向向左的是 O，a，d 。

2．位于原点的波源产生的平面波以u = 10 m / s的波速沿x轴正方向传播，使得x=10 m处的P点振动规律为 y = 0.05 cos (2 ? t - ? / 2 )，该平面波的波动方程为：

y?0.05cos?2?(t?x10)?3?2?。

3．已知一平面简谐波的波动方程为y = 0.1 cos (3 t-6 x) m，则周期是2?2 m的两点间相差是 12rad 。

3s，波线上相距y 二．选择题：

4．图中曲线表示t=0时刻正行波的波形图，0点的振动初相是：( A ) (A) -π/ 2

(B) 0

(C) π/ 2

(D) π

u t = 0 x O 三．计算题：

5．已知波源在原点（x = 0）的平面谐波的方程为y = A cos ( B t - C x )，式中A、B、C为正值恒量，试求：⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长；⑵ 写出传播方向上距离波源L处一点的振动方程；⑶ 试求任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的相差。 解：

（1） 振幅：A；波速：u??v?BC；频率：?=B2?；周期：T?2?B；波长：

??2?C。

（2） y?Acos(Bt?CL) （3） ???C?D

6．已知平面余弦波波源的振动周期T=0.5 s，所激起的波长为? = 10 m，振幅为0.1 m，当t = 0时，波源处振动的位移恰为正方向最大值，取波源为原点并设波沿 + x方向传播，求：⑴ 此波的方程； ⑵ 沿波传播方向距离波源为?/2处的振动方程；⑶ 当t = T / 4时波源和距离波源为 ? / 2的点离开平衡位置的位移；⑷ 当t = T / 4时，距离波源? / 4处质点的振动速度。 解：（1）由旋转矢量法可以初相位：??0

50